W matematyce , a dokładniej w analizie , twierdzenie Taubera Wienera odwołuje się do kilku analogicznych wyników zademonstrowanych przez Norberta Wienera w 1932 roku. Dają one niezbędne i wystarczające warunki, aby móc aproksymować funkcję przestrzeni L 1 lub L 2 przez liniowe kombinacje translacji dana funkcja.
Niech f ∈ L 1 ( R ) będzie funkcją całkowitą. Podprzestrzeń wektor generowane przez przekłada się na f , f a ( x ) = f ( x + ) jest gęsta w L 1 ( R ) , wtedy i tylko wtedy, transformaty Fouriera z F nie znikają w R .
Poniższy wynik, równoważny z poprzednim stwierdzeniem, wyjaśnia, dlaczego twierdzenie Wienera jest twierdzeniem Taubera :
Załóżmy, że transformata Fouriera funkcji f ∈ L 1 nie ma rzeczywistych zer, a iloczyn splotu f * h zbliża się do zera w nieskończoności dla jakiejś funkcji h ∈ L ∞ . Następnie iloczyn splotu g * h dąży do zera w nieskończoności dla wszystkich g ∈ L 1 .
Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli dla pewnej funkcji f ∈ L 1, której transformata Fouriera nie znika, to mamy również dla wszystkich g ∈ L 1 .
Wiener twierdzenie ma podobny do 1 ( Z ) : podrzędną przestrzeni objętej przez translacji, f ∈ s 1 ( Z ) jest zwarta, wtedy i tylko wtedy, gdy Dyskretna transformata Fouriera nie znikają w R . Następujące stwierdzenia są równoważne temu wynikowi:
Israel Gelfand wykazał, że wyniki te są równoważne następującej własności algebry Wienera (en) A ( T ) :
Gelfand udowodnił tę równoważność, korzystając z właściwości algebr Banacha , uzyskując w ten sposób nowy dowód wyniku Wienera.
Niech f ∈ L 2 ( R ) będzie całkowitą funkcją kwadratową. Podprzestrzeń wektorowa generowana przez translacje f , f a ( x ) = f ( x + a ) , jest gęsta w L 2 ( R ) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór zer rzeczywistych transformaty Fouriera f jest pomijalny , że oznacza zerową miarę Lebesgue'a .
Odpowiedni wynik dla sekwencji l 2 ( Z ) wynosi: podprzestrzeń wektora wytwarzane przez tłumaczenia sekwencji f ∈ l 2 ( Z ) jest zwarta, wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór zer transformaty Fouriera jest znikomy.
Twierdzenie Wienera-Ikehary (en)
(en) „Wiener Tauberian theorem” , w: Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , czytaj online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">