Wycena

W matematyce , a dokładniej w geometrii algebraicznej i teorii liczb , miarą wielości jest wycena , czyli wycena Krulla . Pojęcie to jest uogólnieniem pojęcia stopnia lub kolejności anulowania formalnego wielomianu w algebrze , stopnia podzielności przez liczbę pierwszą w teorii liczb , rzędu bieguna w analizie złożonej lub liczby punktów styku między dwoma rozmaitościami algebraicznymi w geometrii algebraicznej .

Definicja

Nazywa się wartość stosowania do pierścienia przemiennego jednostki niezerowe do Abelowych grupy uporządkowany związek nieskończony $(A, +, \ razy)$ ${\ displaystyle (G, +, <)}$

{\ Displaystyle v: A \ longrightarrow G \ cup \ {\ infty \}}

który sprawdza następujące właściwości:

${\ Displaystyle \ forall x \ w A \ v (x) = \ infty \ Longleftrightarrow x = 0}$ ;
${\ Displaystyle \ forall x, y \ w A, \ v (xy) = v (x) + v (y)}$ ;
${\ Displaystyle v (x + y) \ geqslant \ min (v (x), v (y))}$ , co jest związane z trójkątną nierównością w przestrzeniach metrycznych .

Uwagi:

Używamy klasycznych konwencji i wszystkiego . ${\ displaystyle a <\ infty}$ ${\ displaystyle a + \ infty = \ infty}$ ${\ displaystyle a \ in G}$
Niektórzy autorzy ograniczają się do wycen na polu przemiennym .
Niezależnie od tego, czy A jest polem, czy nie, v jest morfizmem monoidów z ( A *, ×) do ( G , +).
Gdy jest organem, V jest morfizmem grup w ( A * X) do związku ( G , +), tak, że V ( *) jest podgrupa o G .
Kiedy A jest polem, czasami wymagamy, aby v było suriektywne , ale zawsze możemy wrócić do tej sytuacji, zastępując G przez v ( A *).

Mówi się, że dwie wartości $v$ i $v '$ na A są równoważne, jeśli istnieje izomorfizm uporządkowanych półgrup

{\ Displaystyle \ lambda: v (A ^ {*}) \ do v '(A ^ {*}) \ quad {\ tekst {na przykład}} \ quad v' = \ lambda \ Circ v.}

Oceny dyskretne

Kiedy grupa G to ℤ, $v$ nazywa się wyceną Dedekinda lub wyceną dyskretną . Dwie dyskretne wartości $v$ i $v '$ na $A$ są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są proporcjonalne , tj. Jeśli istnieje niezerowe wartości wymierne $k$ takie, że

{\ Displaystyle \ forall x \ w A ^ {*}, \ v '(x) = kv (x).}

Do klasy równoważności dyskretnych wycen na ringu nazywa swoje miejsca .

Trywialna wycena

Wycena

{\ displaystyle {\ begin {tablica} {rrcl} v: & A & \ longrightarrow & G \ cup \ {\ infty \} \\ & x & \ longmapsto & {\ begin {przypadki} \ infty & \ mathrm {si } \ x = 0 \\ 0 & \ mathrm {inaczej} \ end {sprawy}} \ end {tablica}}}

nazywa się trywialną wyceną .

Nieruchomości

Właściwości ogólne

Niech $A będzie$ niezerowym unitarnym pierścieniem przemiennym wyposażonym w wycenę $v$ . Więc :

${\ Displaystyle v (1) = V (-1) = 0}$ ;
${\ Displaystyle \ forall x, y \ w A, \ v (xy) \ geqslant \ min (v (x), v (y))}$ ;
${\ Displaystyle \ forall x, r \ w A, \ v (x) \ neq v (r) \ Rightarrow v (x + y) = \ min (v (x), v (y))}$ ;
$A$ jest uczciwy ;
istnieje unikalna wycena $w$ na polu ułamków $Frac ( A ),$ która rozciąga się na $v$ :

{\ Displaystyle \ forall p / q \ w \ operatorname {Frac} (A), \ w (p / q) = v (p) -v (q)}

Dyskretne oceny ciała racjonalnego

Miejsca ℚ, tj. Dyskretne wyceny na ℚ do współczynnika proporcjonalności, to:

trywialna wycena;
wyceny p -adyczne ( patrz poniżej ).

Powiązana wartość bezwzględna

Niech $v będzie$ wyceną na $A$ z wartościami rzeczywistymi, a $ρ$ ∈] 0, 1 [. Z nim powiązane $v$ o ultrametric wartość bezwzględną (pojęcie wartość bezwzględna jest zwykle utworzony na pole, lecz idealnie definiowanych w każdym pierścieniu i zawsze wywołuje odległości na jego podstawowego zbioru, patrz poniżej) | ∙ | $v$ przez pozowanie

{\ displaystyle \ forall x \ in A ^ {*}, \ | x | _ {v} = \ rho ^ {v (x)}}

Odległość związane z tym wartość bezwzględna ( ) pozwala $A$ pierścień topologiczna którego topologii wywnioskować z ultrametric odległości . ${\ Displaystyle d (x, y) = | xy | _ {v}}$

Jeśli $A$ jest polem, to jest polem o wartościach, więc jego wypełniony pierścień (for ) jest polem o wartościach całkowitych. Przez przedłużanie nierówności bezwzględna wartość tego dopełnienia jest nadal ultrametryczna. Na przykład, pola ℚ $p$ i k (( T )) można otrzymać za pomocą tej konstrukcji. ${\ Displaystyle (A, | \ cdot | _ {v})}$ $re$

Przykłady

Poniższe aplikacje są wycenami.

Kolejność anulowania wielomianu

Niech $K$ będzie pole, $K [ X ]$ pierścień wielomianów ze współczynnikami w $K$ i $ma$ takie elementu $K$ . Definiujemy aplikacji „zlecenia rezygnacji na ”

{\ displaystyle {\ begin {tablica} {rrcl} v_ {a}: & K [X] & \ longrightarrow & \ mathbb {Z} \ cup \ {\ infty \} \\ & P & \ longmapsto & \ sup \ left \ {k \ in \ mathbb {N} \ | \ \ exist R \ in K [X], \ P (X) = (Xa) ^ {k} R (X) \ right \} \ end {array} }}

który z niezerowym wielomianem $P$ wiąże rząd wielokrotności pierwiastka $a$ w $P$ (porządek, który jest równy 0, jeśli $a$ nie jest pierwiastkiem, i nieskończoność, jeśli $P$ jest równe zero).

Jeśli $P$ jest niezerowe, $v a ( P )$ jest równe stopniowi najmniejszego niezerowego jednomianu $P ( a + X )$ .

Uwaga: Jeśli $a$ należy do rozszerzenia L z K (na przykład do algebraicznego domknięcia K ), wycena $v a$ na L [ X ] jest ograniczona do wyceny na K [ X ].

Kolejność anulowania ułamka wymiernego

Niech $K$ będzie pole, $K ( X )$ korpus funkcji wymiernych z współczynników $K$ i $ma$ takie elementu $K$ . Definiujemy aplikację

{\ displaystyle {\ begin {tablica} {rrcl} v_ {a}: & K (X) & \ longrightarrow & \ mathbb {Z} \ cup \ {\ infty \} \\ & P / Q & \ longmapsto & v (P) - v (Q) \ end {tablica}}}

który z wymiernym ułamkiem łączy różnicę rzędów anulowania licznika i mianownika w $a$ . Jeśli $v ( R )$ ma wartość dodatnią, to jest polecenie anulowania $R$ w Jeśli $v$ $($ $R$ $)$ jest ściśle ujemna, jest porządek bieguna o $R$ w .

Odwrotność stopnia wielomianu

Niech $K$ będzie pola i $K [ X ]$ pierścień wielomianów z współczynników $K$ . Definiujemy aplikację

{\ displaystyle {\ begin {tablica} {rrcl} v _ {\ infty}: & K [X] & \ longrightarrow & \ mathbb {Z} \ cup \ {\ infty \} \\ & P & \ longmapsto & - \ deg P \ end {tablica}}}

co do wielomianu $P$ wiąże stan przeciwny do jego stopnia , z konwencją, że stopień zerowego wielomianu wynosi $-\infty$ .

Zamówienie z serii Laurent

Na polu k (( T )) formalnego szeregu Laurenta nad polem przemiennym k mamy wycenę poprzez powiązanie wszystkich szeregów Laurenta z ich porządkiem.

Rząd funkcji meromorficznej

Jeśli U jest niepustym, połączonym, otwartym zbiorem ciała liczb zespolonych i jeśli a jest punktem U , mamy wycenę nad ciałem funkcji meromorficznych na U przez skojarzenie dowolnej funkcji meromorficznej z jej porządkiem w punkcie a .

Wycena p -adic

Dla $p$ liczby pierwsze , możemy zdefiniować aplikację

{\ displaystyle {\ begin {tablica} {rrcl} v_ {p}: & \ mathbb {Z} & \ longrightarrow & \ mathbb {N} \ cup \ {\ infty \} \\ & n & \ longmapsto & {\ begin {przypadki} \ infty & {\ mbox {si}} n = 0 \\\ max \ {k \ in \ mathbb {N} \ | \ p ^ {k} {\ mbox {divide}} n \} & {\ mbox {inaczej}} \ end {sprawy}} \ end {tablica}}}

który na całkowitą $n$ stowarzyszonych wykładnik z $P$ na czynniki pierwsze $N$ , z konwencją $v p (0) = \infty$ . Mapa $v p$ nazywana jest $p$ - wartościowaniem adycznym na ℤ i kontynuowana jest na polu ułamków ℚ. Ta wartość określa absolutną p -adic wartość , dla której zakończenie ℚ jest pole ℚ $p$ o $s$ -adic numerów .

Pierścień oceny

Niech K będzie przemiennym polem obdarzonym wartością v . Elementy K z wyceną dodatnią lub zerową tworzą podpierścień R zwany pierścieniem wyceny związanym z wyceną v na K :

{\ Displaystyle R = \ {x \ w K \ | \ v (x) \ geqslant 0 \}}

Korpus z frakcji o R jest K .

Mamy v (1 / x ) = - V ( x ) dla każdej niezerowej elementów x w K , a zatem x jest odwracalna elementem R tylko wtedy, gdy V ( x ) = 0. W związku z tym, R jest pierścieniem lokalna, której unikalny maksymalny ideał M składa się z elementów ściśle pozytywnej wyceny:

{\ Displaystyle M = \ {x \ w K \ | \ v (x)> 0 \}}

Na przykład (dla zwykłych wycen na tych polach) pierścień wartości ℚ $p$ to ℤ $p,$ a pierścień k (( T )) (gdzie k oznacza pole przemienne) to k [[ T ]]. Te dwa przykłady to także dyskretne pierścienie wyceny .

Istnieją różne charakterystyki pierścieni ratingowych:

Niech R będzie integralny pierścień i K jego pole frakcji . Następujące warunki są równoważne:

R to pierścień wyceny (dla niektórych wycen na K );
dla każdego elementu x w K , które nie należą do R , odwrotność X należy do B ;
na zbiorze głównych ideałów R porządek określony przez włączenie jest całkowity ;
na zbiorze ideałów R porządek zdefiniowany przez włączenie jest całkowity.

Dwie wartości v i v ' na K są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam pierścień wyceny.

Dla każdego pola k i dowolnej całkowicie uporządkowanej grupy abelowej G istnieje pole wartościowe ( K, v ), którego grupa rzędów to G i której pole resztkowe R / M wynosi k .

Uwagi i odniesienia

N. Bourbaki , Algebra przemienna , str. VI.1.2.
Bourbaki AC , str. VI.3.2.
Bourbaki AC , str. VI.3.4.

Powiązany artykuł

FRACTRAN