Liczba p -adic
W matematyce , a dokładniej w numerze teorii , dla ustalonej liczby pierwszej p , to p -adic numery tworzą szczególną rozszerzenie na polu z liczb wymiernych , odkrytej przez Kurt Hensel w 1897 roku.
Q{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}![\ mathbb {Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a)
Przemienne liczba p -adic można utworzyć przy zakończeniu od w podobny sposób do budowy liczb rzeczywistych przez The sekwencji Cauchy'ego , ale wartość bezwzględną mniejszą znaną, o nazwie absolutne P -adic .
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
Q{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}![\ mathbb {Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a)
P -adic liczba może być pomyślany jako sekwencja cyfr bazowej p ewentualnie nieskończony w lewo przecinkiem (zawsze ograniczony na prawo od kropki dziesiętnej) z dodatkiem i namnażania, które są w przeliczeniu na dla liczb dziesiętnych zwykle.
Główną motywacją, która doprowadziła do powstania p -adycznych pól liczbowych, była możliwość wykorzystania technik całych szeregów w teorii liczb, ale ich użyteczność znacznie wykracza poza te ramy. Ponadto, całkowita p -adic wartość na korpusie jest nie Archimedesa wartość bezwzględna : otrzymujemy na organ jest inną analizę ze zwykłej analizy na liczb rzeczywistych, które nazywamy p -adic analizy .
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}![\ mathbb {Q} _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e)
Historia i motywacja
Algebraiczna konstrukcja zbioru liczb p- adycznych została odkryta przez Kurta Hensela w 1897 roku, starając się rozwiązać problemy teorii liczb metodami naśladującymi te z analizy rzeczywistej lub zespolonej . W 1914 r. József Kürschák (en) opracował koncepcję wyceny, uzyskując topologiczną konstrukcję tych liczb. W 1916 roku Aleksander Ostrowski pokazuje, że nie ma innego zakończenia z ni a (wynik znany jako twierdzenie Ostrowskiego ). W 1920 roku Helmut Hasse na nowo odkrył liczby p- adyczne i użył ich do sformułowania zasady lokalno -globalnej .
Q{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}
R{\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}![\ mathbb {Q} _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e)
Budowa
Podejście analityczne
Budowa do końcaQp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
Dla danej liczby pierwszej p definiujemy w następujący sposób wartość bezwzględną p -adic on , a następnie wartościowe pole liczb p -adic .
Q{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}![\ mathbb {Q} _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e)
- P -adic wartość z niezerową względną całkowitą (oznaczone ) jest wykładnik P w rozkładu z na produkt czynniki pierwsze (to specjalny przypadek dyskretnej wyceny ). Pozujemy .vp(w){\ displaystyle v_ {p} (a)}
vp(0)=+∞{\ displaystyle v_ {p} (0) = + \ infty}![{\ displaystyle v_ {p} (0) = + \ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559652dcdc06736c4ee03206ae3675bf1fe3e2ae)
- Wycenę tę rozszerzamy o pozowanie:
Q{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}
vp(wb)=vp(w)-vp(b){\ displaystyle v_ {p} \ lewy ({\ frac {a} {b}} \ prawy) = v_ {p} (a) -v_ {p} (b)}
,
co nie zależy od przedstawiciela wybranego dla racjonalnego.
- Absolutne P -adic wartość jest określona przez:
| |p{\ styl wyświetlania | ~ | _ {p}}
|r|p=p-vp(r){\ displaystyle | r | _ {p} = p ^ {- v_ {p} (r)}}
(w szczególności ,: w pewnym sensie, im bardziej podzielna przez p , tym mniejsza jest jego wartość bezwzględna p -adic).|0|p=p-∞=0{\ displaystyle | 0 | _ {p} = p ^ {- \ infty} = 0}
r{\ styl wyświetlania r}
- Ciało , opatrzone wartością bezwzględną (ponownie odnotowaną ), może być następnie zdefiniowane jako dopełnienie wycenianego ciała .Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
| |p{\ styl wyświetlania | ~ | _ {p}}
(Q,| |p){\ styl wyświetlania (\ mathbb {Q}, | ~ | _ {p})}![{\ styl wyświetlania (\ mathbb {Q}, | ~ | _ {p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72677c709b4124e3965f158bc62e5415efedcc28)
Niektóre różnice między iQp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
R{\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}
Taka konstrukcja pozwala uznać go za arytmetyczny odpowiednik . Jednak świat p -adyczny zachowuje się zupełnie inaczej niż świat rzeczywisty.
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
R{\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}![\ mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
-
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
nie jest całkowicie uporządkowanym ciałem ( patrz poniżej ).
- W , sekwencja ma tendencję do i sekwencja , dla liczby pierwszej różnej od , nie ma granic.Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
(pnie){\ styl wyświetlania \ lewy (p ^ {n} \ prawy)}
0{\ styl wyświetlania 0}
(1/qnie){\ styl wyświetlania \ lewy (1 / q ^ {n} \ prawy)}
q{\ styl wyświetlania q}
p{\ styl wyświetlania p}![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
- Ponieważ wartość bezwzględna na jest zdefiniowana na podstawie wyceny, wartość bezwzględna po zakończeniu jest również ultrametryczna , więc powiązana odległość jest odległością ultrametryczną . Ma to konsekwencje m.in. , że:
Q{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}![\ mathbb {Q} _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e)
szereg był zbieżny wystarczy, że jego wyraz ogólny dąży do 0;Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}![\ mathbb {Q} _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e)
- przestrzeń topologiczna jest wymiarze 0 (to znaczy, że ma podstawę z otwarte-zamknięte ), tak całkowicie odłączony (to znaczy, każda pojedyncza jego własny podłączone urządzenie );Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
![\ mathbb {Q} _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e)
- itp.
W , jeśli sekwencja zbiega się do elementu niezerowego, to jest stała od pewnej rangi.Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
(tynie){\ styl wyświetlania (u_ {n})}
(|tynie|p){\ styl wyświetlania \ po lewej (| u_ {n} | _ {p} \ po prawej)}
Z{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z}}
nie jest zamknięty w ( patrz następny akapit).Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
Konstrukcje Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
jest ciałem ułamków jego pierścienia wartościującego (liczby p -adyczne wartości dodatniej lub zerowej), oznaczonych i nazwanych pierścieniem liczb całkowitych p -adycznych . Ten sub-ring z jest przyczepność na . Dlatego mogliśmy zbudowali ją bezpośrednio jak pierścień zakończonego z .
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
Z{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z}}
Z{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z}}![\ mathbb {Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc)
Oceny dotyczące Q{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}
Ostrowski wykazał, że każda nietrywialna wartość bezwzględna on jest równoznaczna albo ze zwykłą wartością bezwzględną, albo z bezwzględną wartością p- adyczną. mówi się, że jest znormalizowany (można przyjąć za rzeczywistą inną niż : uzyskano by równo równoważną odległość skojarzoną ). Zaletą normalizacji jest „formuła iloczynowa” dla dowolnej niezerowej racjonalności . Ten wzór pokazuje, że wartości bezwzględne (do równoważności) nie są niezależne.
Q{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}
| |∞{\ styl wyświetlania | ~ | _ {\ infty}}
| |p{\ styl wyświetlania | ~ | _ {p}}
w-vp(r){\ displaystyle a ^ {- v_ {p} (r)}}
w>1{\ styl wyświetlania a> 1}
p{\ styl wyświetlania p}
|r|∞∏p|r|p=1{\ displaystyle | r | _ {\ infty} \ prod _ {p} | r | _ {p} = 1}
r{\ styl wyświetlania r}
Q{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}![\ mathbb {Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a)
Na przykład dla : for i .
r=350=2-1⋅3⋅5-2{\ displaystyle r = {3 \ ponad 50} = 2 ^ {-1} \ cdot 3 \ cdot 5 ^ {- 2}}
|r|p=1{\ styl wyświetlania | r | _ {p} = 1}
p>5{\ styl wyświetlania p> 5}
|r|∞|r|2|r|3|r|5=r⋅2⋅3-1⋅52=1{\ displaystyle | r | _ {\ infty} | r | _ {2} | r | _ {3} | r | _ {5} = r \ cdot 2 \ cdot 3 ^ {-1} \ cdot 5 ^ { 2} = 1}![{\ displaystyle | r | _ {\ infty} | r | _ {2} | r | _ {3} | r | _ {5} = r \ cdot 2 \ cdot 3 ^ {-1} \ cdot 5 ^ { 2} = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0e48908011b16453084edf3cedf8abcea7dfd1)
Podejście algebraiczne
W tym podejściu zaczynamy od zdefiniowania pierścienia całkowego liczb p -adycznych , następnie definiujemy pole liczb p -adycznych jako pole ułamków tego pierścienia.
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}![\ mathbb {Q} _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e)
Zdefiniować pierścień jako rzutowej granicy pierścieni , gdzie morfizmem jest zmniejszenie modulo . Liczba całkowita p- adyczna jest więc ciągiem takim, że dla wszystkich n ≥ 1 :
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
Z/pnieZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}
Z/pnie+1Z→Z/pnieZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n + 1} \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}
pnie{\ styl wyświetlania p ^ {n}}
(wnie)nie≥1{\ styl wyświetlania (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}![(a_ {n}) _ {{n \ geq 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c330f0add202927a34692e8b4d496e7928cf0bd2)
wnie∈Z/pnieZ i wnie≡wnie+1(modpnie){\ displaystyle a_ {n} \ in \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z} \ quad {\ tekst {et}} \ quad a_ {n} \ równoważne a_ {n + 1} {\ pmod {p ^ {n}}}}![a_ {n} \ in \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z} \ quad {\ text {et}} \ quad a_ {n} \ equiv a _ {{n + 1}} {\ pmod {p ^ {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47cb5f8dd67181cb104855295865f80bd4cdc38)
.
Następnie udowadniamy, że pierścień ten jest izomorficzny z pierścieniem zbudowanym w „podejściu analitycznym” ( patrz wyżej ), a nawet jest pierścieniem topologicznym , widzianym jako ( zwarty ) podpierścień iloczynu pierścieni dyskretnych .
Z/pnieZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}![\ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f568eec3d80f812c3d02a19a445f088e888c180)
Kanoniczny morfizmem od w to injective bo to jedyny całkowita podzielna przez wszystkich uprawnień .
Z{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z}}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
0{\ styl wyświetlania 0}
p{\ styl wyświetlania p}![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
Na przykład 7 jako liczba 2-adyczna będzie ciągiem (1, 3, 7, 7, 7, 7, 7,…).
Każdy ciąg, którego pierwszy element nie jest zerem, ma odwrotność, ponieważ p jest unikalnym elementem pierwszym pierścienia (jest to pierścień wartościujący dyskretny ); to jest brak tego obiektu, która stałaby taką samą konstrukcję znaczenia (algebraiczne), jeśli wzięliśmy się liczbą złożoną dla p .
(wnie){\ styl wyświetlania (a_ {n})}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}![\ Z p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc1df7227ef11fe88dccd2dae3adc7bbdeae5f4)
Na przykład odwrotność 7 cali jest sekwencją rozpoczynającą się od 1, 3, 7, 7, 23, 55 (ponieważ 7 × 55 ≡ 1 mod 2 6 ).
Z2{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {2}}![\ mathbb {Z} _ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92aedfb5c02eff978ab963421ce930f46801657e)
Możemy zauważyć który zatem zawiera pierścień uzyskany przez dodanie do wszystkich odwrotności liczb pierwszych z wyjątkiem
p (ten
podpierścień jest
pierścieniem lokalnym ,
zlokalizowanym w p ).
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
Z{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z}}
Z{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z}}
Ponieważ ponadto nie jest dzielnikiem zera w , pole uzyskuje się po prostu przez dodanie do pierścienia odwrotności do p , którą oznaczamy (pierścień generowany przez i , podając wyrażenia wielomianowe w , odpowiednik konstrukcji ułamków dziesiętnych ).
p{\ styl wyświetlania p}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
Qp=Zp[1p]{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} = \ mathbb {Z} _ {p} \ po lewej [{\ tfrac {1} {p}} \ po prawej]}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
1p{\ displaystyle {\ tfrac {1} {p}}}
1p{\ displaystyle {\ tfrac {1} {p}}}
re=Z[110]{\ displaystyle \ mathbb {D} = \ mathbb {Z} \ lewy [{\ tfrac {1} {10}} \ prawy]}![{\ displaystyle \ mathbb {D} = \ mathbb {Z} \ lewy [{\ tfrac {1} {10}} \ prawy]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abff5f085225c6dd8a9ab964955bddf23e0da35e)
Obliczenia w Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
Kanoniczny rozkład Hensela
Z powyższego każdy niezerowy element jest zapisywany jednoznacznie jako seria (automatycznie zbieżna dla metryki p -adycznej ) postaci:
r{\ styl wyświetlania r}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}![\ mathbb {Q} _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e)
r=Σja=k∞bjapja{\ displaystyle r = \ suma _ {i = k} ^ {\ infty} b_ {i} p ^ {i}}![{\ displaystyle r = \ suma _ {i = k} ^ {\ infty} b_ {i} p ^ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ac5dfb2dc13f134c206c93daa72927adaa3e39)
gdzie jest względną liczbą całkowitą, a gdzie są liczbami całkowitymi między i , które są różne od zera. Ten zapis jest kanoniczny dekompozycja jako p -adic numeru . Można to wywnioskować od razu z przypadku , tj. : if , dane z są równoważne z od . Możemy zatem reprezentować p -adiczną liczbę całkowitą przez nieskończony ciąg na lewo od cyfr w podstawie p , podczas gdy inne elementy dodatkowo będą miały skończoną liczbę cyfr na prawo od przecinka dziesiętnego. To pisanie działa w skrócie w przeciwieństwie do tego, do czego przywykliśmy w pisaniu liczb rzeczywistych.
k{\ styl wyświetlania k}
bja{\ styl wyświetlania b_ {i}}
0{\ styl wyświetlania 0}
p-1{\ styl wyświetlania p-1}
bk{\ styl wyświetlania b_ {k}}
r{\ styl wyświetlania r}
r∈Zp{\ displaystyle r \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
k∈NIE{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}
r=(wnie)∈Lim←Z/pnieZ{\ displaystyle r = (a_ {n}) \ in \ varprojlim {\ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}}
bja{\ styl wyświetlania b_ {i}}
wnie{\ styl wyświetlania a_ {n}}
wnie≡Σk≤ja<niebjapjamodpnie{\ displaystyle a_ {n} \ równoważnik \ suma _ {k \ leq i <n} b_ {i} p ^ {i} \ mod p ^ {n}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}![\ mathbb {Q} _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e)
Na przykład z :
p=2{\ styl wyświetlania p = 2}![p = 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62e4100b94c1939c67f2d4b8580d26c78106c44)
-
1=1×20=...0000012=12{\ styl wyświetlania 1 = 1 \ razy 2 ^ {0} = \ ldots 000001_ {2} = 1_ {2}}
(dla dowolnej naturalnej liczby całkowitej , rozwinięcie 2-adyczne jest po prostu rozwinięciem w podstawie 2 );
-
...1111112=Σja=0∞2ja=-1{\ displaystyle \ ldots 111111_ {2} = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {i} = - 1}
(w , dowolny szereg geometryczny pierwszego wyrazu i przyczyny zbiega się do , ponieważ );Z2{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {2}}
w{\ styl wyświetlania a}
2{\ styl wyświetlania 2}
w1-2=-w{\ displaystyle {\ frac {a} {1-2}} = - a}
|2|2=2-1<1{\ styl wyświetlania | 2 | _ {2} = 2 ^ {-1} <1}![{\ styl wyświetlania | 2 | _ {2} = 2 ^ {-1} <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b0b3fbb9dd96853585de80a7d158169770c3e9)
- to samo (od ) .|4|2=2-2{\ styl wyświetlania | 4 | _ {2} = 2 ^ {-2}}
...010101010112=1+Σnie=0∞22nie+1=1+21-4=13{\ displaystyle \ ldots 01010101011_ {2} = 1 + \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {2n + 1} = 1 + {\ frac {2} {1-4}} = {\ frak {1} {3}}}![{\ displaystyle \ ldots 01010101011_ {2} = 1 + \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {2n + 1} = 1 + {\ frac {2} {1-4}} = {\ frak {1} {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146c799843706e05653aee5f04c47aff59b5c7c8)
Algorytmy wykorzystujące dekompozycje Hensela
-
Dodanie jest bardzo podobne do tego z , z tym samym systemem potrąceń:R{\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}
![\ mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
Przykład : inQ5{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {5}}
...3332415+...1111425...4444335{\ displaystyle {\ zacząć {tablica} {cccccccc} & \ ldots & 3 & 3 & 3 & 2 & 4 & {1_ {5}} \\ + & \ ldots & 1 & 1 & 1 & 1 & 4 & { 2_ {5}} \\\ hline & \ ldots & 4 & 4 & 4 & 4 & 3 & {3_ {5}} \ end {array}}}![{\ begin {tablica} {cccccccc} & \ ldots & 3 & 3 & 3 & 2 & 4 & {1_ {5}} \\ + & \ ldots & 1 & 1 & 1 & 1 & 4 & {2_ {5 }} \\\ hline & \ ldots & 4 & 4 & 4 & 4 & 3 & {3_ {5}} \ end {array }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2587095b2c6bdcc86d5f1b652ef9d3be26bad3f5)
- Możemy łatwo wywnioskować wzór na coś przeciwnego : ponieważ w ,Q5{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {5}}
![\ mathbb {Q} _ {5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88bfd401ca50c90bbacc9b9ee096faa6460b8065)
...3332415+...1112045...0000005{\ displaystyle {\ zacząć {tablica} {cccccccc} & \ ldots & 3 & 3 & 3 & 2 & 4 & {1_ {5}} \\ + & \ ldots & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 & { 4_ {5}} \\\ hline & \ ldots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {0_ {5}} \ end {array}}}![{\ displaystyle {\ zacząć {tablica} {cccccccc} & \ ldots & 3 & 3 & 3 & 2 & 4 & {1_ {5}} \\ + & \ ldots & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 & { 4_ {5}} \\\ hline & \ ldots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {0_ {5}} \ end {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aeb48a1b1b03a044aaa0df84bdc504d1f29868a)
,
czy to
-...333241=...111204{\ displaystyle - \ ldots 333241 = \ ldots 111204}![{\ displaystyle - \ ldots 333241 = \ ldots 111204}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70629294ed8575bdd755721c6b4426fe4ae5f77)
w . Podobnie (możemy zweryfikować, że ponieważ , dodanie do powoduje przesunięcie przeniesienia na całej długości zapisu, aby w końcu dać 0).
Q5{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {5}}
-1=...444445{\ displaystyle -1 = \ ldots 44444_ {5}}
45+15=105{\ styl wyświetlania 4_ {5} + 1_ {5} = 10_ {5}}
1{\ styl wyświetlania 1}
...444445{\ styl wyświetlania \ ldots 44444_ {5}}![{\ styl wyświetlania \ ldots 44444_ {5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42c2a0d9a4c43faf313ce0463c44e2d45b28336)
-
Mnożenie odbywa się w podobny sposób:
Przykład 1 : wQ5{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {5}}
1435×32534151034⋅5112315{\ displaystyle {\ begin {array} {ccccc} && 1 & 4 & {3_ {5}} \\\ razy &&& 3 & {2_ {5}} \\\ hline && 3 & 4 & {1_ {5} } \\ 1 & 0 & 3 & 4 & {\ cdot _ {5 }} \\\ hlinia 1 & 1 & 2 & 3 & {1_ {5}} \ end {tablica}}}![{\ begin {tablica} {ccccc} && 1 & 4 & {3_ {5}} \\\ razy &&& 3 & {2_ {5}} \\\ hline && 3 & 4 & {1_ {5}} \\ 1 & 0 & 3 & 4 & {\ cdot _ {5}} \ \\ hlinia 1 & 1 & 2 & 3 & {1_ {5}} \ end {tablica}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6dfbca3fddb575bc130395cc7d1e553af131703)
Przykład 2 : podobnie, inQ3{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {3}}
...02020213×113...02020213...202021⋅3...00000013{\ displaystyle {\ zacząć {tablica} {ccccccccc} & \ ldots & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & {1_ {3}} \\\ razy &&&&&&&& 1 & {1_ {3}} \\\ hlinia & \ ldots & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & {1_ {3}} \\ & \ ldots & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & {\ cdot _ {3}} \ \\ hline & \ ldots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {1_ {3}} \ end {array}}}![{\ displaystyle {\ zacząć {tablica} {ccccccccc} & \ ldots & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & {1_ {3}} \\\ razy &&&&&&&& 1 & {1_ {3}} \\\ hlinia & \ ldots & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & {1_ {3}} \\ & \ ldots & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & {\ cdot _ {3}} \ \\ hline & \ ldots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {1_ {3}} \ end {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826c4fe61b70ef448939c7d3d510ee5b56881792)
,
co pokazuje, że .
...02020213=14{\ displaystyle \ ldots 0202021_ {3} = {\ frac {1} {4}}}![{\ displaystyle \ ldots 0202021_ {3} = {\ frac {1} {4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab8acbc974bd350f2528dbe4b9e72e77ec776df)
-
Dzielenie dwóch liczb całkowitych wymaga bardziej algebraicznej analizy.
Przykład 1 : Napiszmy w . Zwróć uwagę przede wszystkim na to, że jego 7-adic wycena wynosi 0. Tak więc z .
13{\ displaystyle {1 \ ponad 3}}
Q7{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {7}}
13∈Z7{\ displaystyle {1 \ ponad 3} \ in \ mathbb {Z} _ {7}}
13=...w2w1w0{\ displaystyle {1 \ ponad 3} = \ ldots a_ {2} a_ {1} a_ {0}}
0⩽wja<7{\ displaystyle 0 \ leqslant a_ {i} <7}![0 \ leqslant a_ {i} <7](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc795c5b460ebae032553b13584c2bf9168cc4c)
3 jest odwracalnym modulo 7, ponieważ . Umożliwia to również napisanie następującej relacji Bézout:
3×5=1 + 2×7≡1[7]{\ styl wyświetlania 3 \ razy 5 = 1 \ + \ 2 \ razy 7 \ równoważnik 1 [7]}![3 \ razy 5 = 1 \ + \ 2 \ razy 7 \ równoważ 1 [7]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f036f9e7807763d7dd06c464b580cb9acac40486)
1=3×5 - 7×2(*){\ displaystyle 1 = 3 \ razy 5 \ - \ 7 \ razy 2 \ qquad (*)}![1 = 3 \ razy 5 \ - \ 7 \ razy 2 \ qquad (*)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23c782ccf876f810f13adff7bc06e25c9653378)
Skąd :
13=5+7×-23{\ displaystyle {1 \ ponad 3} = 5 + 7 \ razy {\ frac {-2} {3}}}![{\ displaystyle {1 \ ponad 3} = 5 + 7 \ razy {\ frac {-2} {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9fe33346d8c0a4753cbc94c0f51bad837bb502f)
i na tym etapie mamy: .
13=...w2w15{\ displaystyle {1 \ ponad 3} = \ ldots a_ {2} a_ {1} 5}![{1 \ ponad 3} = \ ldots a_ {2} a_ {1} 5](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/457abd106f9dc648fea04d29ec0df6da11a86832)
Przejdźmy dalej i pomnóżmy przez -2:
(*){\ styl wyświetlania (*)}![(*)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae74f24018ce1ff0dc698dbe8181555eb4cd768)
-2=3×(-10)+7×(4){\ styl wyświetlania -2 = 3 \ razy (-10) +7 \ razy (4)}![-2 = 3 \ razy (-10) +7 \ razy (4)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da8f4c1afd640138cc1393931fda04aca1650d8)
i zorganizuj uzyskanie współczynników od 0 do 6:
-2=3×(4-2×7)+7×(4)=3×4 + 7×(4-3×2){\ displaystyle -2 = 3 \ razy (4-2 \ razy 7) +7 \ razy (4) = 3 \ razy 4 \ + \ 7 \ razy (4-3 \ razy 2)}![-2 = 3 \ razy (4-2 \ razy 7) +7 \ razy (4) = 3 \ razy 4 \ + \ 7 \ razy (4-3 \ razy 2)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75328fc332504a0afa08327d62cda5d2eaa6561)
Skąd :
-23=4+7×-23{\ displaystyle {\ frac {-2} {3}} = 4 + 7 \ razy {\ frac {-2} {3}}}![{\ displaystyle {\ frac {-2} {3}} = 4 + 7 \ razy {\ frac {-2} {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b81a75352e1a333ecd52b730315fd7f630b6f33)
i obserwujemy okresowość, odkąd wracamy do .
-23{\ displaystyle {\ frac {-2} {3}}}![{\ displaystyle {\ frac {-2} {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02efc6195ee557f9da48bebbd6a2dae9524ff57)
W bilansie: to znaczy:
13=5+7×-23=5+7×(4+7×(4+7×...)){\ displaystyle {1 \ ponad 3} = 5 + 7 \ razy {\ frac {-2} {3}} = 5 + 7 \ razy \ pozostało (4 + 7 \ razy \ pozostały (4 + 7 \ razy \ ldots) \ po prawej) \ po prawej)}![{\ displaystyle {1 \ ponad 3} = 5 + 7 \ razy {\ frac {-2} {3}} = 5 + 7 \ razy \ pozostało (4 + 7 \ razy \ pozostały (4 + 7 \ razy \ ldots) \ po prawej) \ po prawej)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69893ff63b566af324537c8851200be1491f24e6)
13=5+4×7+4×72+...{\ displaystyle {1 \ ponad 3} = 5 + 4 \ razy 7 + 4 \ razy 7 ^ {2} + \ ldots}![{1 \ ponad 3} = 5 + 4 \ razy 7 + 4 \ razy 7 ^ {2} + \ ldots](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec2b0a9003f3ddd94b7a791cd77cc70c3d10948)
stąd 7-adyczne pismo:
13=...44457{\ displaystyle {1 \ ponad 3} = \ ldots 4445_ {7}}![{\ displaystyle {1 \ ponad 3} = \ ldots 4445_ {7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25c23d3a6ec11da4fcb0c9a24424691409daece)
.
Przykład 2 : write Przejdźmy się . Wiemy o tym, ponieważ jego wycena 7-adic wynosi –1: będzie to zatem liczba 7-adic „przecinek”.
421{\ displaystyle {4 \ powyżej 21}}
Q7{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {7}}
421∉Z7{\ displaystyle {4 \ powyżej 21} \ notin \ mathbb {Z} _ {7}}![{4 \ ponad 21} \ notin \ mathbb {Z} _ {7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b4195a975aa79e62d44809aaea6befe9be2573)
Piszemy : 421=17×(4×13){\ displaystyle {4 \ ponad 21} = {1 \ ponad 7} \ razy \ w lewo (4 \ razy {1 \ ponad 3} \ w prawo)}
Teraz wiemy o tym, mnożąc przez 4:
13=...44457{\ displaystyle {1 \ ponad 3} = \ ldots 4445_ {7}}![{1 \ ponad 3} = \ ldots 4445_ {7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25c23d3a6ec11da4fcb0c9a24424691409daece)
43=4×...44457=...444467{\ displaystyle {4 \ ponad 3} = 4 \ razy \ ldots 4445_ {7} = \ ldots 44446_ {7}}![{4 \ ponad 3} = 4 \ razy \ ldots 4445_ {7} = \ ldots 44446_ {7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9e38b67baee6be8b88552ed175e1601f3bbcb8)
.
Pozostaje tylko podzielić przez 7, ale to oznacza przesunięcie przecinka w lewo (jesteśmy w bazie 7):
421=...4444,6{\ displaystyle {4 \ ponad 21} = \ ldots 4444 {,} 6}![{\ displaystyle {4 \ ponad 21} = \ ldots 4444 {,} 6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db50dc021046b6dd6d60b698b0abaaeb697ac9b2)
.
Przykład 3 : Obliczanie w . Wiemy ( twierdzenie Eulera ), że 9 dzieli , aw rzeczywistości 1736 , i ; mamy zatem i wreszcie .
19{\ styl wyświetlania 1 \ ponad 9}
Q5{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {5}}
56-1{\ styl wyświetlania 5 ^ {6} -1}
56-1=15624=9×{\ displaystyle 5 ^ {6} -1 = 15624 = 9 \ razy}
1736=1+2×5+4×25+3×125+2×625=234215{\ displaystyle 1736 = 1 + 2 \ razy 5 + 4 \ razy 25 + 3 \ razy 125 + 2 \ razy 625 = 23421_ {5}}
19=-17361-56=-1736(1+56+512+518+...)=-...10234210234215{\ displaystyle {1 \ ponad 9} = {\ frac {-1736} {1-5 ^ {6}}} = - 1736 \ pozostało (1 + 5 ^ {6} + 5 ^ {12} + 5 ^ { 18} + \ kropki \ po prawej) = - \ ldots 1023421023421_ {5}}
19=...34210234210245{\ displaystyle {1 \ ponad 9} = \ ldots 3421023421024_ {5}}![{\ displaystyle {1 \ ponad 9} = \ ldots 3421023421024_ {5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f94a2b977d2152339fef6f0a278b8000c857b8)
-
Rozdzielczości równań algebraicznych z wykorzystaniem olejków więc lematu z Hensel ; ten potwierdza w szczególności, że jeśli wielomian o współczynnikach in ma pierwiastek prosty w , to ma jeden w .
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
Zp/pZp≃Z/pZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} / p \ mathbb {Z} _ {p} \ simeq \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}![\ Z p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc1df7227ef11fe88dccd2dae3adc7bbdeae5f4)
- Zatem 2 dopuszcza dwa pierwiastki kwadratowe w (mianowicie 3 i 4); dlatego ma dwa (przeciwne) w . Począwszy od ,
metoda Newtona zastosowana do wielomianu (czyli ciągu określonego przez ) daje , które jest wartością przybliżoną przez pierwiastek od 2 do bliski; wyprowadzamy przybliżone wartości pierwiastków i ; moglibyśmy również otrzymać je cyfra po cyfrze, rozwiązując kolejno równania , skąd , następnie , itd.Z/7Z{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} / 7 \ mathbb {Z}}
Z7{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {7}}
ty0=3{\ styl wyświetlania u_ {0} = 3}
X2-2{\ styl wyświetlania X ^ {2} -2}
tynie+1=tynie-tynie2-22tynie{\ displaystyle u_ {n + 1} = u_ {n} - {\ frac {u_ {n} ^ {2} -2} {2u_ {n}}}}
ty2=193/132{\ styl wyświetlania u_ {2} = 193/132}
Z7{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {7}}
74{\ styl wyświetlania 7 ^ {4}}
...2137{\ styl wyświetlania \ ldots 213_ {7}}
...4547{\ styl wyświetlania \ ldots 454_ {7}}
(3+7x)2=2mod72{\ styl wyświetlania (3 + 7x) ^ {2} = 2 \ mod 7 ^ {2}}
x=1{\ styl wyświetlania x = 1}
(10+49tak)2=2mod73{\ displaystyle (10 + 49y) ^ {2} = 2 \ mod 7 ^ {3}}![{\ displaystyle (10 + 49y) ^ {2} = 2 \ mod 7 ^ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085cb5c4f647dd18751e8a7bd29944d1bce9ed90)
- Bardziej ogólnie, jeśli to dla wszystkich z niepodzielnym przez , dopuszcza dwa pierwiastki kwadratowe w .p>2{\ styl wyświetlania p> 2}
w,b∈Zp{\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
b{\ styl wyświetlania b}
p{\ styl wyświetlania p}
b2+pw{\ styl wyświetlania b ^ {2} + pa}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}![\ Z p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc1df7227ef11fe88dccd2dae3adc7bbdeae5f4)
- Podobnie z dowolną liczbą pierwszą, jeśli i nie podzielną do tego czasu, wielomian dopuszcza pierwiastek w . Ponieważ dowodzi to, że jest to kwadrat w .p{\ styl wyświetlania p}
w,b∈Zp{\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
b{\ styl wyświetlania b}
p{\ styl wyświetlania p}
P(X)=wX2+bX+p{\ styl wyświetlania P (X) = aX ^ {2} + bX + p}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
4wP(X)=(2wX+b)2-(b2-4wp){\ displaystyle 4aP (X) = (2aX + b) ^ {2} - (b ^ {2} -4ap)}
b2-4wp{\ displaystyle b ^ {2} -4ap}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}![\ Z p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc1df7227ef11fe88dccd2dae3adc7bbdeae5f4)
Nieruchomości
Niepoliczalność
Zbiory i są równoważne i niepoliczalne . Dokładniej, mają moc ciągła , ponieważ powyższy rozkład Hensel zapewnia bijection o w i surjection z w .
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
{0,1,2,...,p-1}NIE{\ displaystyle \ {0,1,2, \ kropki, p-1 \} ^ {\ mathbb {N}}}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
Z×{0,1,2,...,p-1}NIE{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ razy \ {0,1,2, \ kropki, p-1 \} ^ {\ mathbb {N}}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}![\ mathbb {Q} _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e)
Własności algebraiczne
Liczba p- adyczna jest racjonalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozkład Hensel jest okresowy od pewnego rzędu, tj. jeśli są dwie liczby całkowite i takie, że . Na przykład liczba całkowita p -adic nie znajduje się w .
Σja=k∞bjapja{\ styl wyświetlania \ suma _ {i = k} ^ {\ infty} b_ {i} p ^ {i}}
NIE≥k{\ styl wyświetlania N \ geq k}
r>0{\ styl wyświetlania r> 0}
∀nie≥NIE,bnie+r=bnie{\ displaystyle \ forall n \ geq N, b_ {n + r} = b_ {n}}
Σjot=0∞p2jot{\ styl wyświetlania \ suma _ {j = 0} ^ {\ infty} p ^ {2 ^ {j}}}
Q{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}![\ mathbb {Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a)
Ciało zawiera zatem jego charakterystyka zero.
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
Q{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}![\ mathbb {Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a)
Jednak nie jest to całkowicie uporządkowane, ponieważ ( patrz wyżej ) 1-4 p to kwadrat w .
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}![\ Z p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc1df7227ef11fe88dccd2dae3adc7bbdeae5f4)
Dla różnych liczb pierwszych p i q , pola i nie są izomorficzne , ponieważ q 2 - pq nie jest kwadratem in (jego q -adyczne wartościowanie nie jest podzielne przez 2) , ale jest kwadratem in jeśli p > 2 ( patrz wyżej ).
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
Qq{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {q}}
Qq{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {q}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}![\ mathbb {Q} _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e)
Strukturę multiplikatywnej grupy „jednostek p- adycznych” ( grupy odwracalności pierścienia ) oraz struktury grupy dana jest wzorem :
Zp×{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ razy}}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
Qp×{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {\ razy}}![{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {\ razy}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11bc65ad8b3b0169f3558eb7ff5b90587314603c)
Zp×≃Z/(p-1)Z×Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ razy} \ simeq \ mathbb {Z} / (p-1) \ mathbb {Z} \ razy \ mathbb {Z} _ {p}}![{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ razy} \ simeq \ mathbb {Z} / (p-1) \ mathbb {Z} \ razy \ mathbb {Z} _ {p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be01e8aaedc9bf840144811b8fedbed733aab021)
jeśli
p 2 , , i .
Z2×≃Z/2Z×Z2{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} ^ {\ razy} \ simeq \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ razy \ mathbb {Z} _ {2}}
Qp×≃Z×Zp×{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {\ razy} \ simeq \ mathbb {Z} \ razy \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ razy}}![{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {\ razy} \ simeq \ mathbb {Z} \ razy \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ razy}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a1ca31da8815684a6d5c2df53dfdf749bcf7b6)
Szkic demonstracyjny
- Aplikacja jest izomorfizmem z produktem w .(nie,ty)↦pniety{\ styl wyświetlania (n, u) \ mapsto p ^ {n} u}
Z×Zp×{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ razy \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ razy}}
Qp×{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {\ razy}}![{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {\ razy}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11bc65ad8b3b0169f3558eb7ff5b90587314603c)
-
Zp×{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ razy}}
jest bezpośrednim iloczynem dwóch podgrup i .{x∈Zp|xp-1=1}≃(Zp/pZp)×≃(Z/pZ)×≃Z/(p-1)Z{\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {Z} _ {p} \ mid x ^ {p-1} = 1 \} \ simeq (\ mathbb {Z} _ {p} / p \ mathbb {Z} _ {p}) ^ {\ razy} \ simeq (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) ^ {\ razy} \ simeq \ mathbb {Z} / (p-1) \ mathbb {Z}}
1+pZp{\ displaystyle 1 + p \ mathbb {Z} _ {p}}![{\ displaystyle 1 + p \ mathbb {Z} _ {p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fd010e7c5db11f9f04f2c6e148a920ae9b12c7)
-
1+pZp{\ displaystyle 1 + p \ mathbb {Z} _ {p}}
jest izomorficzny, jeśli p ≠ 2 do grupy addytywnej (przez p -adyczne funkcje wykładnicze i logarytmiczne (in) ), while .Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
1+2Z2={±1}×(1+4Z2)≃Z/2Z×Z2{\ displaystyle 1 + 2 \ mathbb {Z} _ {2} = \ {\ pm 1 \} \ razy (1 + 4 \ mathbb {Z} _ {2}) \ simeq \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ razy \ mathbb {Z} _ {2}}![{\ displaystyle 1 + 2 \ mathbb {Z} _ {2} = \ {\ pm 1 \} \ razy (1 + 4 \ mathbb {Z} _ {2}) \ simeq \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ razy \ mathbb {Z} _ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f7dd430a1d2e35c601dcad99656b8c5780a070)
Wywnioskujemy, że:
- P -adic liczba u należy się wtedy i tylko wtedy, gdy jest to n -tego pierwiastka w do nieskończoności liczb całkowitych n . Dzięki temu można to pokazaćZp×{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ razy}}
typ-1{\ styl wyświetlania u ^ {p-1}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
organizm nie ma innych niż trywialne Automorfizmy ;Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
- o p ≠ 2 , grupa korzeni jedności w to cykliczny z rzędu p - 1 (na przykład 12 e cyclotomic jest podpole z ). Leży zatem, przynajmniej p - 1> 2 , to pole nie jest całkowicie można zamówić, a przynajmniej na , że jeżeli P i Q są różne następnie i nie są izomorficzne.Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
Q13{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {13}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
{p,q}≠{2,3}{\ styl wyświetlania \ {p, q \} \ neq \ {2,3 \}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
Qq{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {q}}![\ mathbb {Q} _ {q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9040be3c270399b700887a461a4b3563b18f96b)
Algebraiczne zamknięcie z ma nieskończoną stopnia (w odróżnieniu od , który jest kwadratowa rozszerzenie ). Tam też z nieredukowalnych wielomiany w każdym stopniu : np wielomian Eisenstein , a nawet jednolita wielomianem stopnia n ze współczynnikami w i nieredukowalnego modulo p . Stopień ten jest policzalny , ponieważ jest rozszerzeniem algebraicznym , a więc sumą jego skończonych podrozszerzeń , których liczba jest skończona dla każdego stopnia zgodnie z lematem Krasnera .
Qpw{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {a}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
R{\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}
Qp[X]{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} [X]}
nie>0{\ styl wyświetlania n> 0}
Xnie-p{\ styl wyświetlania X ^ {n} -p}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}![\ Z p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc1df7227ef11fe88dccd2dae3adc7bbdeae5f4)
Pole jest przy założeniu, że aksjomat wyboru AC, izomorficzna do dziedziny liczb zespolonych, ponieważ (z AC, i aż do izomorfizmu ) w dowolnym niezliczonej nieskończonej kardynała, istnieje tylko algebraicznie zamknięte pole charakterystycznym 0 . Odwrotnie, niż istnienie osadzania z w to zgodne z tej teorii mnogości bez aksjomatu wyboru .
Qpw{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {a}}
VS{\ styl wyświetlania \ mathbb {C}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
VS{\ styl wyświetlania \ mathbb {C}}![\ mathbb {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
Wyposażony w odległość p- adyczną, jest naturalnie utożsamiany z wytworzoną przestrzenią metryczną ( kompaktowa, a więc kompletna ). Dla każdego rzeczywistego B > p , mapa jest homeomorfizm od dnia jej wizerunku , a to - jak - homeomorficzny przestrzeni Cantora , według twierdzenia Brouwera który topologicznie charakteryzuje ten ostatni.
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
{0,1,2,...,p-1}NIE{\ displaystyle \ {0,1,2, \ kropki, p-1 \} ^ {\ mathbb {N}}}
{0,1,2,...,p-1}NIE→R,(bja)↦Σja=0∞bjab-ja{\ displaystyle \ {0,1,2, \ kropki, p-1 \} ^ {\ mathbb {N}} \ do \ mathbb {R}, \; (b_ {i}) \ mapsto \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} b_ {i} B ^ {- i}}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
mi0⊂R{\ styl wyświetlania E_ {0} \ podzbiór \ mathbb {R}}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
mi0{\ styl wyświetlania E_ {0}}![E_0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411d268de7b1cf300d7481e3fe59f3b20887e0d0)
Przestrzeń metryczna (kompletna konstrukcyjnie) jest przestrzenią lokalnie zwartą (ponieważ zwarta jest otwartym pojemnikiem ), naturalnie homeomorficzna, dla wszystkich B > p , do zbioru (gdzie zdefiniowano powyżej). Alexandrov compactified z znowu jest - podobnie jak E ∪ {+ ∞} ⊂ ℝ - homeomorficzny przestrzeni Cantora.
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
0{\ styl wyświetlania 0}
mi=∪nie∈NIEbniemi0⊂R{\ displaystyle E = \ filiżanka _ {n \ in \ mathbb {N}} B ^ {n} E_ {0} \ podzbiór \ mathbb {R}}
mi0{\ styl wyświetlania E_ {0}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
Algebraiczną zamknięcie z nie jest lokalnie zwarta : jest to równoznaczne z tym, że jest nieskończonej stopniu. Ponieważ ten stopień to ℵ₀ , nie jest nawet kompletny . Jego ukończenie nazywa się ciałem Tate i odnotowuje (lub czasami ). Jest algebraicznie domknięta (a zatem algebraicznie izomorficzna z , jak ) i jej stopień transcendencji przez wynosi 2 ℵ₀ .
Qpw{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {a}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
Qpw^{\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Q} _ {p} ^ {a}}}}
VSp{\ styl wyświetlania \ mathbb {C} _ {p}}
Ωp{\ displaystyle \ Omega _ {p}}
VS{\ styl wyświetlania \ mathbb {C}}
Qpw{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {a}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}![\ mathbb {Q} _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e)
Jedyne rzeczywistymi funkcjami od zera pochodnej są ciągłe funkcje . Nie dotyczy to . Na przykład funkcja
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}![\ mathbb {Q} _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e)
Qp→Qp,x⟼{|x|p-2gdyby x≠0,0gdyby x=0{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} \ do \ mathbb {Q} _ {p}, \, x \ longmapsto \ lewo \ {{\ start {macierz} | x | _ {p} ^ {- 2 } & {\ mbox {si}} x \ neq 0, \\ 0 & {\ mbox {si}} x = 0 \ end {matrix}} \ prawo.}![{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} \ do \ mathbb {Q} _ {p}, \, x \ longmapsto \ lewo \ {{\ start {macierz} | x | _ {p} ^ {- 2 } & {\ mbox {si}} x \ neq 0, \\ 0 & {\ mbox {si}} x = 0 \ end {matrix}} \ prawo.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ca5187767b20bb2a3247f5e19d2d87c0885742)
ma zerową pochodną we wszystkich punktach, ale nie jest nawet lokalnie stała w punkcie 0.
Dla wszystkich należących odpowiednio do , istnieje sekwencja, w której zbiega się ku in i ku in dla wszystkich pierwszych.
r,r2,r3,r5,r7...{\ styl wyświetlania r, r_ {2}, r_ {3}, r_ {5}, r_ {7} \ ldots}
R,Q2,Q3,Q5,Q7...{\ displaystyle \ mathbb {R}, \ mathbb {Q} _ {2}, \ mathbb {Q} _ {3}, \ mathbb {Q} _ {5}, \ mathbb {Q} _ {7} \ ldots }
Q{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}
r{\ styl wyświetlania r}
R{\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}
rp{\ displaystyle r_ {p}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
p{\ styl wyświetlania p}![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
Rozszerzenia i aplikacje
Liczba e (określona przez serii ) nie należy do żadnej z p pól -adic. Jednak zachowując definicję , możemy pokazać to i to, jeśli , to . Dlatego staje się a priori możliwe określenie, dla wszystkich , e jako danej P -tego pierwiastka z e p . Taka liczba nie należy jednak do jej algebraicznego domknięcia (a więc do jej zakończenia ), a tak zdefiniowany wykładnik zależy od wybranego pierwiastka. Bardziej ogólnie, można określić w dziedzinie Tate funkcji wykładniczej (Pl) , która jednak nie ma tak dobrych właściwości jak wykładniczą o wartościach zespolonych . W szczególności nie ujawnia żadnego analogu liczby ; Sytuację tę rozwiązał Jean-Marc Fontaine , który w 1982 roku skonstruował pierścień „ p- adycznych liczb zespolonych ” (en) (wymawiane „ de Rham ”).
Σ1/nie!{\ styl wyświetlania \ suma 1 / n!}
mix=Σnie∈NIExnie/nie!{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {x} = \ suma _ {n \ in \ mathbb {N}} x ^ {n} / n!}
mi4∈Q2{\ displaystyle \ mathrma {e} ^ {4} \ in \ mathbb {Q} _ {2}}
p≠2{\ styl wyświetlania p \ neq 2}
mip∈Qp{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {p} \ in \ mathbb {Q} _ {p}}
p{\ styl wyświetlania p}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
QpŻ{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q} _ {p}}}}
VSp{\ styl wyświetlania \ mathbb {C} _ {p}}
2πja{\ styl wyświetlania 2 \ pi \ matematyka {i}}
breR+{\ displaystyle {\ bf {B_ {dR} ^ {+}}}}
b{\ styl wyświetlania {\ bf {B}}}
Jednym z pierwszych zastosowań liczb p- adycznych było badanie form kwadratowych na liczbach wymiernych; tak więc w szczególności twierdzenie Minkowskiego-Hasse twierdzi, że taka forma ma racjonalne (nietrywialne) rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy ma je we wszystkich dziedzinach , a także w .
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
R{\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}![\ mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
Uwagi i referencje
(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z
anglojęzycznego artykułu Wikipedii zatytułowanego
" p-adic number " ( patrz lista autorów ) .
-
(De) Kurt Hensel , „ Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen ” , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , tom. 6,1897, s. 83-88 ( czytaj online ).
-
Dokładniej, Hensel starał się badać pewne właściwości arytmetyki liczb algebraicznych z użyciem formalnego serię .
-
(w) Israel Kleiner (w) , " Teoria pola: od równań do aksjomatyzacji - część II " , Amer. Matematyka. Miesięcznie , obj. 106 N O 9,1999, s. 859-863 ( JSTOR 2589621 ), Ponownie (z (w) Israel Kleiner " - Part I " , ibid. , N ° 7,1999, s. 677-684 ( JSTOR 2589500 )) W (o) I. Kleiner, Historia algebry abstrakcyjnej , Birkhauser,2007, 168 s. ( ISBN 978-0-8176-4684-4 , czytaj online ) , rozdz. 4 („Historia teorii pola”) , s. 63-78.
-
Przypadkowo natknął się na księgarnię z książką Hensela, która tak go zafascynowała, że postanowił kontynuować naukę pod jego kierunkiem.
-
Gouvêa , Propozycja 3.3.9 i Problem 102, podgląd w Książkach Google .
-
Sylvain Barré, „ A gdyby liczby mogły być nieskończone po lewej stronie przecinka, a nie w prawo… ” , na temat Images des maths ,kwiecień 2009.
-
Gouvêa , Cor. 3.3.11 i 3.3.12, podgląd w Książkach Google .
-
Neukirch 1991 , s. 164-165.
-
Dalsze dowody, patrz Lemat 1 (en) Richard G. Swan , „ Factorization of polynomals over finite fields ” , Pacific J. Math. , tom. 12 N O 3,1962, s. 1099-1106 ( czytaj online ).
-
Robert 2000 , s. 39.
-
(w) Renata Scognamillo i Umberto Zannier (de) , Uwagi wprowadzające do pierścieni wyceny i pól funkcyjnych w jednej zmiennej , Edizioni della Normale ,2014( czytaj online ) , s. 64, Ćwiczenie 2.6.1 (ii). Dla odmiany zob. Ribenboim 1972 lub Ribenboim 2012 , s. 102.
-
(w) Kazuya Kato , Nobushige Kurokawa i Takeshi Saitō ( tłumacz , japoński) Teoria liczb 1: Sen Fermata , AMS ,2000( 1 st ed. 1996) ( czytaj on-line ) , rozdz. 2, § 5 („Multiplikatywna struktura pola liczby p- adycznej”) , s. 69-74.
-
Amice 1975 , s. 55.
-
W celu uzyskania bezpośrednich dowodów zob. na przykład Ribenboim 2012 , s. 102-103 lub Robert 2000 , s. 53.
-
Ribenboim 2012 , s. 102-103; Robert 2000 , s. 53.
-
Robert 2000 , s. 50-53, reguła również przypadek , obliczając . Warianty, patrz (w) „ Czy Q_r jest algebraicznie izomorficzny z Q_s, podczas gdy r i s oznaczają różne premie? » , Na MathOverflow .{p,q}={2,3}{\ styl wyświetlania \ {p, q \} = \ {2,3 \}}
Qp×/(Qp×)2{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {\ razy} / (\ mathbb {Q} _ {p} ^ {\ razy}) ^ {2}}
-
Amice 1975 , s. 70.
-
Patrz np. Robert 2000 , s. 132 , Laurent Berger, „ Lokalne Pola ” , o ENS Lyon , gr. 7.1, lub (en) „ Algebraiczne rozszerzenia p-adycznych ciał domkniętych ” , na MathOverflow .
-
(en) " Czy Con (ZF) implikuje Con (ZF + Aut C = Z / 2Z)? » , Na MathOverflow ,28 lutego 2010.
-
Robert 2000 , s. 10 .
-
Amice 1975 , s. 68, wniosek 2.6.11, posługuje się innym argumentem: grupa wyceny to .Q{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}
-
Dla uogólnienia, patrz (w) Siegfried Bosch (de) , Ulrich Güntzer i Reinhold Remmert , Non-Archimedean Analysis , al. " GMW " ( N O 261)1984( czytaj online ) , s. 150, Lemat 1.
-
Amice 1975 , s. 73-74, ćwiczenie 2.7.4.
-
Jednak w dzisiejszych czasach, to notacja oznacza raczej z kulistą zakończenie z ( Robert 2000 , str. 137-145).VSp{\ styl wyświetlania \ mathbb {C} _ {p}}
-
Por. Robert 2000 , s. 138-139 lub, dla uogólnienia, (en) " Czy dopełnienie ciała algebraicznie domkniętego względem normy jest również algebraicznie domknięte? » , na stosie matematyki ,2011, który zawiera linki do demonstracji Pete'a L. Clarka ( s. 15 ) i Briana Conrada .
-
(w) Peter Bundschuh i Kumiko Nishioka, „ Algebraiczna niezależność nadQp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
” , J. Twierdzenie. Numery Bordeaux , obj. 16 N O 3,2004, s. 519-533 ( czytaj online ).
-
Rachunek ultrametryczny: wprowadzenie do analizy P-Adic , WH Schikhof, Cambridge University Press, 2007, ( ISBN 978-0-521-03287-2 )
-
Colmez 2012 , s. 199.
Zobacz również
Powiązane artykuły
Bibliografia
-
Yvette Amice , P-adic Numbers , PUF ,1975( przeczytaj online )Podstawowe wprowadzenie do liczb p -adycznych . Warunkiem wstępnym jest znajomość arytmetyki modularnej oraz pewna złożona analiza zmiennej. W pracy dokonano przeglądu liczb całkowitych i p -adycznych , pól wartościowania dyskretnego , pól pełnowartościowych , przestrzeni Banacha i p -adycznych funkcji analitycznych , a kończy się kryteriami racjonalności szeregów formalnych. Dostępna książka napisana przez specjalistę od analizy p- adycznej.
-
Nicole Berline i Claude Sabbah , Funkcja Zeta , Éditions de l'École polytechnique, 2003, podgląd w Google BooksMówimy o p -adycznych liczbach , p -adycznych przestrzeniach Banacha , miarach i dystrybucjach na , i oczywiście p -adycznej funkcji zeta .VSp{\ styl wyświetlania \ mathbb {C} _ {p}}
Zp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Z} _ {p}}
ζp{\ styl wyświetlania \ zeta _ {p}}
- Zbiorowe, dzisiejsze lekcje matematyki , tom. 2, Cassini, 2003Artykuł o liczbach p- adycznych napisał Jean-Marc Fontaine .
-
Pierre Colmez , Elementy analizy i algebry (oraz teorii liczb) , Éditions de l'École polytechnique,2012, 2 II wyd.Mówi o liczbach p -adic, o przestrzeniach Banacha p -adic funkcji jednej zmiennej p -adic i funkcji zeta p -adic .ζp{\ styl wyświetlania \ zeta _ {p}}
-
(en) Fernando Q. Gouvêa , p-adic Numbers: An Introduction [ szczegół wydania ]Bardzo jasne, dostępne dla student 3 -go roku. Motywowana konstrukcja (s) liczb p -adycznych , analiza elementarna, rozszerzenia skończone , analiza na . Wiele poprawionych ćwiczeń.Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
VSp{\ styl wyświetlania \ mathbb {C} _ {p}}
- (en) Jürgen Neukirch , „ Liczby p- adyczne” , w Heinz-Dieter Ebbinghaus (de) et al. , Liczby , kol. " GTM " ( N O 123)1991( czytaj online ) , s. 155-178
-
Paulo Ribenboim , Arytmetyka ciał , Hermann ,1972, rozdz. 4 („ Liczby p- adyczne”)Mówimy o wartości bezwzględnej pola, uzupełnieniu pola wartościowego, liczbach p -adycznych , funkcjach wykładniczych i logarytmicznych, wartościowaniu pola, polach o wartościach henselowskich i zwartości pierścienia wartościującego.
- (en) Paulo Ribenboim, Teoria wartości klasycznych , Springer ,2012( 1 st ed. 1999) ( czytaj on-line ) , rozdz. 2 i 3
- (en) Alain M. Robert (en) , Kurs analizy p-adycznej , coll. " GTM " ( N O 198)2000( przeczytaj online )
-
Jean-Pierre Serre , Kurs arytmetyczny ,1970[ szczegóły wydań ]Pierwsza część ustala klasyfikację form kwadratowych na : dwie takie formy są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są równoważne na wszystkich i na (często uważane za " ").Q{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q}}
Qp{\ styl wyświetlania \ mathbb {Q} _ {p}}
R{\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}
Q∞{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {\ infty}}
Link zewnętrzny
(en) Fernando Q. Gouvêa, „ Hensel's - adic Numbers: wczesna historiap{\ styl wyświetlania p}
” ,1999