Witt wektor

Te wektory Witt są obiekty matematyczne, ogólnie określane jako nieskończonej liczby sekwencji (lub bardziej ogólnie Członkowie pierścienia ). Zostały one wprowadzone przez Ernst Witt w 1936 roku do opisania rozszerzeń nie rozgałęzione z numerami nadwozia p -adic . Te wektory mają strukturę pierścieniową ; dlatego mówimy o pierścieniu wektorów Witta .

Pojawiają się dzisiaj w kilku gałęziach geometrii algebraicznej i arytmetycznej , w teorii grup i fizyce teoretycznej .

Motywacje

Pozostałości ciała dyskretnych pierścieni wyceny

Niech Õ zakończeniu dyskretnych pierścień wartość z pola szczątkowego k . Mamy więc jedną z następujących sytuacji:

jeśli k ma charakterystyczne zero, to O jest utożsamiane z pierścieniem k [[ T ]] szeregu formalnego o współczynnikach w k ;
jeśli k ma charakterystykę p > 0, to istnieją dwie możliwości:
- albo też O jest nadal utożsamiane z pierścieniem szeregów formalnych o współczynnikach w k ;
- albo też O jest pierścieniem o charakterystycznym zera, z którego p generuje maksymalny ideał, który nazywamy pierścieniem wektorów Witta na k oznaczonym W [ k ].

W tym drugim przypadku możemy ustalić zbiór reprezentantów k, a każdy element W [ k ] jest zapisywany jednoznacznie jako szereg

{\ Displaystyle a_ {0} + a_ {1} p + a_ {2} p ^ {2} + \ cdots}

gdzie należą do zbioru wybranych przedstawicieli. $mieć}$

W tym sensie wektory Witta możemy postrzegać jako serie formalne lub nieskończone szeregi elementów pierścienia, na których zdefiniowaliśmy operacje dodawania i mnożenia.

Reprezentacja liczb p- adycznych

Biorąc p liczbą pierwszą, każdy p -adic liczba x można zapisać jednoznacznie jako sumę zbieżnego

{\ Displaystyle x = a_ {0} + a_ {1} p + a_ {2} p ^ {2} + \ cdots}

gdzie współczynniki są elementami {0, 1,…, p - 1} lub ogólnie dowolną reprezentacją pola skończonego . $mieć}$ $\ mathbb F_p$

Naturalne pytanie, które się nasuwa, brzmi: jeśli dodamy lub pomnożymy dwie liczby p- adyczne za pomocą takiego zapisu, jakie są współczynniki wyniku? Okazuje się, że odpowiedź daje dodawanie i mnożenie p- adycznych wektorów Witta .

Definicja

Wielomiany Witta

Niech P będzie liczbą pierwszą . Oznaczmy sekwencji zmiennych i dla każdej liczby całkowitej n z wielomianem Witt : $x$ ${\ Displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {i}, \ ldots)}$

{\ Displaystyle W_ {n} (x) = W_ {n} (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {0} ^ {p ^ {n}} + px_ {1} ^ {p ^ {n-1}} + \ cdots + p ^ {n} x_ {n}.}

Istnieją dwa wielomiany ze współczynnikami całkowitymi

{\ Displaystyle P_ {n} (x, y) = P_ {n} (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}, y_ {0}, \ ldots, y_ {n})}

{\ Displaystyle S_ {n} (x, y) = S_ {n} (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}, y_ {0}, \ ldots, y_ {n})}

takie, że mamy następujące relacje modulo p n +1 :

{\ Displaystyle W_ {n} (P_ {0} (x, y), \ ldots, P_ {n} (x, y)) = W_ {n} (x) W_ {n} (y),}

{\ Displaystyle W_ {n} (S_ {0} (x, y), \ ldots, S_ {n} (x, y)) = W_ {n} (x) + W_ {n} (y).}

W szczególności mamy natychmiast:

{\ Displaystyle S_ {0} = x_ {0} + y_ {0},}

{\ Displaystyle S_ {1} = x_ {1} + y_ {1} + {\ Frac {(x_ {0} + y_ {0}) ^ {p} -x_ {0} ^ {p} -y_ {0} } ^ {p}} {p}}.}

Pierścień Witta wektory

Pierścień wektorów Witta na polu k nazywamy zbiorem o następujących prawach kompozycji: ${\ Displaystyle W [k] \ simeq k ^ {\ mathbb {N}}}$

{\ Displaystyle a + b = (a_ {0}, \ ldots) + (b_ {0}, \ ldots) = (S_ {0} (a, b), \ ldots, S_ {n} (a, b) , \ ldots),}

{\ Displaystyle a \ razy b = (a_ {0}, \ ldots) \ razy (b_ {0}, \ ldots) = (P_ {0} (a, b), \ ldots, P_ {n} (a, b), \ ldots).}

Pierścień Witta jest przemiennym pierścieniem o charakterystycznym zrze, w szczególności jest to pierścień λ ( cal ) .

Ograniczając się do wielomianów stopnia ograniczonego przez n , konstruujemy pierścień ściętych wektorów Witta W n [ k ]. Pełen pierścień uzyskuje się jako granicę :

{\ Displaystyle W [k] = \ lim _ {\ stackrel {\ longleftarrow} {n}} W_ {n} [k]}

a projekcje są homomorfizmami pierścieniowymi. ${\ Displaystyle W [k] \ do W_ {n} [k]}$

Wektory duże Witt

(Aby uniknąć nieporozumień, obiekty odnoszące się do dużych wektorów Witt zostaną zaznaczone pogrubioną czcionką).

W 1960 roku, Ernst Witt i Pierre zegarków sobie sprawę, że wielomian Witt zdefiniowano powyżej, o nazwie „ P -adic” (czasami „ P -typical”), są częścią ogólnej rodziny, że mogą być wykorzystane. Zdefiniować endofunctor z kategorii z przemiennych pierścieni , z których p -adic wektory Witt są iloraz. Funktor nazywany jest funktorem dużych wektorów Witta (czasami funktor „uogólnionych wektorów Witta”). ${\ Displaystyle \ mathbf {W}: \ mathrm {CRing} \ do \ mathrm {CRing}}$ ${\ mathbf {W}}$

Funktor jest reprezentowany przez pierścień wielomianów i izomorficzny z pierścieniem funkcji symetrycznych (en), który jest algebrą Hopfa . Funkcjonalny charakter tej konstrukcji pozwala na zastosowanie jej w szczególności do snopów o odmianie algebraicznej . Funktor W ma lewostronny dodatek, który jest funktorem zapominającym o budowie pierścienia λ. ${\ displaystyle \ mathbf {W}: A \ mapsto \ mathbf {W} [A]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [X_ {i}] = \ mathbb {Z} [X_ {1}, X_ {2}, \ ldots]}$

Spectrum of to grupa schemat zwany schemat Witta . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [X_ {i}]}$

Wielomiany odpowiadające wektorem Large Witt są zdefiniowane w następujący sposób:

{\ Displaystyle \ mathbf {W} _ {n} (X) = \ mathbf {W} _ {n} (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}) = {\ underset {d \ vert n} {\ sum}} dX_ {d} ^ {\ frac {n} {d}}}

Oczywiste jest, że w takim razie : ${\ Displaystyle n = p ^ {k}}$

{\ displaystyle \ mathbf {W} _ {n} (X) = {\ underset {d \ vert n} {\ suma}} dX_ {d} ^ {\ Frac {n} {d}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {W} _ {p ^ {k}} (X) = {\ underset {d \ vert p ^ {k}} {\ suma}} dX_ {d} ^ {\ Frac {n} { re}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {W} _ {p ^ {k}} (X) = \ suma _ {i = 0} ^ {k} p ^ {i} X_ {p ^ {i}} ^ {p ^ { ki}}}

Po ponownym zindeksowaniu znajdujemy „ p -adyczne” wielomiany Witta .

Definiujemy w ten sam sposób i . ${\ Displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y) = \ mathbf {S} _ {n} (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}, Y_ {1} , Y_ {2}, \ ldots, Y_ {n})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y) = \ mathbf {P} _ {n} (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}, Y_ {1} , Y_ {2}, \ ldots, Y_ {n})}$

Ich istnienie i niepowtarzalność zapewnia istnienie i niepowtarzalność szeregu wielomianów o wymiernych współczynnikach (co można zauważyć, chociaż nie ma klasycznej notacji dla tej rodziny wielomianów) takich, że: ${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {n} (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n})}$

{\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {n} (\ mathbf {W} (X)) = \ mathbf {M} (\ mathbf {W} _ {1} (X), \ mathbf {W} _ {2 } (X), \ ldots, \ mathbf {W} _ {n} (X)) = X_ {n}}

Ta sekwencja wielomianów nie ma niestety znanej ogólnej formuły jawnej, ale wzór powtarzalności jest łatwy do znalezienia:

{\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {n} (X) = {\ Frac {1} {n}} (X_ {n} - \ suma _ {d \ vert n, d \ neq n} d \ mathbf { M} _ {d} (X) ^ {\ frac {n} {d}})}

Mamy wtedy wzór na i : ${\ Displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y)}$

{\ Displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y) = \ mathbf {M} _ {n} (\ mathbf {W} (X) + \ mathbf {W} (Y)) = \ mathbf { M} _ {n} (\ mathbf {W} _ {1} (X) + \ mathbf {W} _ {1} (Y), \ mathbf {W} _ {2} (X) + \ mathbf {W } _ {2} (Y), \ ldots, \ mathbf {W} _ {n} (X) + \ mathbf {W} _ {n} (Y))}

{\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y) = \ mathbf {M} _ {n} (\ mathbf {W} (X) \ razy \ mathbf {W} (Y)) = \ mathbf {M} _ {n} (\ mathbf {W} _ {1} (X) \ times \ mathbf {W} _ {1} (Y), \ mathbf {W} _ {2} (X) \ times \ mathbf {W} _ {2} (Y), \ ldots, \ mathbf {W} _ {n} (X) \ times \ mathbf {W} _ {n} (Y))}

Istota wielomianowa o wymiernych współczynnikach i na ogół niecałkowita, wielomiany i a priori o wymiernych współczynnikach. Możemy to jednak pokazać i mieć współczynniki całkowite. ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n} (X)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y)}$

Klasyczne operacje na wektorach Witta

Na pierścieniu wektorów Witta definiujemy morfizm Frobeniusa

{\ displaystyle F: (a_ {0}, a_ {1}, \ ldots) \ mapsto (a_ {0} ^ {p}, a_ {1} ^ {p}, \ ldots)}

a morfizmem Verschiebung (w języku niemieckim: „offset”) zdefiniowano jako morfizmu zastępcy w F . W przypadku W [ k ] faktycznie odpowiada to przesunięciu

{\ Displaystyle V: (a_ {0}, a_ {1}, \ ldots) \ mapsto (0, a_ {0}, a_ {1}, \ ldots)}

Dla pierścieni ściętych wektorów Witta definiujemy morfizm restrykcyjny polegający na „zapomnieniu” ostatniego współczynnika wektora: ${\ Displaystyle R: W_ {n + 1} [k] \ do W_ {n} [k]}$

{\ displaystyle R: (a_ {0}, \ ldots, a_ {n}) \ mapsto (a_ {0}, \ ldots, a_ {n-1})}

Następnie morfizmem Verschiebung jest wyjątkowy morfizmem takie, że . ${\ Displaystyle V: W_ {n} [k] \ do W_ {n + 1} [k]}$ ${\ Displaystyle V \ Circ R = R \ Circuit V}$

We wszystkich przypadkach mamy relację:

{\ Displaystyle R \ Circuit V \ Circ F = F \ Circuit R \ Circuit V = R \ Circuit F \ Circuit V = p.}

Witt cohomology

Jean-Pierre Serre zaproponował użycie pierścienia wektorów Witta jako współczynników potencjalnej kohomologii Weila . Ta konkretna próba nie powiodła się, ale utorowała drogę do kilku uogólnień. Jeśli weźmiemy pod uwagę schemat X , używamy funktorialnego charakteru W do obliczenia , pierścień Witta na pierścieniach sekcji . Cohomology Witt wtedy snop cohomology obecny na stronie z Zariski na X , o współczynnikach w : . ${\ displaystyle {\ mathcal {W}} = W {\ mathcal {O}} _ {X}}$ $WÓŁ$ ${\ displaystyle {\ mathcal {W}}}$ ${\ Displaystyle H ^ {\ punkt} (X, {\ mathcal {W}})}$

Ta kohomologia nie ma zadowalających właściwości: w szczególności nie ma racji bytu skończonych modułów typu W [ k ], nawet jeśli X jest schematem rzutowym. ${\ Displaystyle H ^ {\ punkt} (X, {\ mathcal {W}})}$

Krystaliczny cohomology ponownie wykorzystuje ten pomysł, tym razem z powodzeniem, i jest to model cohomology Weil zadowalające.

Przykłady

Jeśli p jest liczbą pierwszą i dotyczy skończonego z p elementów, to jej pierścień Witt oznaczone pierścieniem całkowite p -adic: . Z drugiej strony jest nierozgałęzionym rozszerzeniem n- rzędu . $\ mathbb F_p$ ${\ Displaystyle W [\ mathbb {F} _ {p}] \ simeq \ mathbb {Z} _ {p}}$ ${\ Displaystyle W [\ mathbb {F} _ {p ^ {n}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$
Jeśli k jest polem doskonałym , to W [ k ] jest dyskretnym pierścieniem wyceny nad k . Dodawanie umożliwia zdefiniowanie mnożenia przez dodatnie liczby całkowite i mamy w szczególności , co pokazuje, że . Mamy więcej . ${\ Displaystyle pa = \ underbrace {a + \ cdots + a} _ {p {\ tekst {razy}}} = (0, a_ {0} ^ {p}, \ ldots, a_ {n} ^ {p} , \ ldots)}$ ${\ Displaystyle W [k] / pW [k] \ simeq k}$ ${\ Displaystyle W [k] / p ^ {n} W [k] \ simeq W_ {n} [k]}$

Bibliografia

(de) Ernst Witt , “ Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p n . Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p ” , J. Reine Angew. Matematyka. , vol. 176,1936, s. 126-140 ( czytaj online ).
(De) Peter Gabriel , „ Universelle Eigenschaften der Wittschen Vektoren und der Einseinheitenalgebra einer Potenzreihenalgebra in einer Veränderlichen ” , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , vol. 72,1970, s. 116-121 ( czytaj online ).
Jean-Pierre Serre , „ O topologii rozmaitości algebraicznych w charakterystycznym p ”, Symposion Internacional de topología algebraica ,1958, s. 24-53.

Bibliografia

Gilles Christol , „ Witt vectors and p-adic analysis ”, Ultrametric Analysis Working Group , t. 3 n o jeden, 1975/76, str. 1-5 ( czytaj online )
André Joyal , „ Pierścienie δ Witt i wektory ”, CR Math. Reprezentant. Acad. Sci. Kanada , t. 7, n O 3,1985, s. 177-182
(en) David Mumford , Wykłady o krzywych na powierzchni algebraicznej , t. 59, Princeton University Press ,1966
Jean-Pierre Serre , lokalny korpus [ szczegóły wydań ]