Kohomologia kryształów
Krystaliczny cohomology jest cohomology Weil dla systemów wprowadzonych przez Alexander Grothendieck w 1966 roku i opracowane przez Pierre Berthelot . Rozszerza to zakres rozprzestrzeniania się kohomologii o moduły na pierścieniach wektorów Witta na podstawie ciała .
Motywacja i historia
Przypuszczenia Weila
W badaniu kompaktowych różniczkowalnych rozmaitości, formuła Lefschetz za pozwala obliczyć liczbę stałych punktów o morfizmu kolektora w sobie. Formuła ta jest naprzemienną sumą śladów, działającą na przestrzenie wektorowe kohomologii De Rham rozważanej rozmaitości.
Prace André Weil na algebraicznych rozmaitości ponad pól skończonych pokazały, że wiedza o zeta funkcji kolektora jest równoważna z liczbą punktów wymiernych to posiada ponad wszystkich skończonych rozszerzeń pola podstawy. Weil zauważył, że punkty wymierne są dokładnie stałymi punktami iterowanego endomorfizmu Frobeniusa . Następnie Weil sugeruje, że teoria kohomologiczna dla rozmaitości na polu skończonym z wartościami w skończonych wymiarach przestrzeni wektorowej nad polem o charakterystycznym zera w naturalny sposób uogólniłaby wynik Lefschetza.
faqnie{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q ^ {n}}}ϕnie{\ Displaystyle \ phi ^ {n}}
Warunki konieczne dla takiej teorii kohomologicznej zostały sformalizowane, a rzekoma teoria ochrzciła „ kohomologię Weila ”.
Kohomologia Ét-adic étale
Konstrukcja kohomologii Weila jest jednym z celów, które Alexander Grothendieck stawia sobie we wczesnych dniach teorii schematu . Po zdefiniowaniu ich étale topology i odpowiadającej im kohomologii , rozwija on wraz ze swoimi studentami, dla dowolnej liczby pierwszej ℓ, która nie dzieli q , kohomologię ℓ-adyczną .
Niech k będzie pole, z charakterystycznym p , a k jest algebraiczny zamknięcie z k . Niech X będzie odrębnym schematem typu skończonego nad k i ℓ liczbą pierwszą. Grupy Etale z X ⊗ k są
H.ja(X⊗k¯,Zℓ)=lim←H.ija(X⊗k¯,Z/ℓnieZ){\ Displaystyle H ^ {i} (X \ otimes {\ bar {k}}, \ mathbb {Z} _ {\ ell}) = \ lim _ {\ leftarrow} H _ {\ text {et}} ^ { i} (X \ otimes {\ bar {k}}, \ mathbb {Z} / \ ell ^ {n} \ mathbb {Z})}
H.ja(X⊗k¯,Ql)=Ql⊗H.ja(X⊗k¯,Zl){\ Displaystyle H ^ {i} (X \ otimes {\ bar {k}}, \ mathbb {Q} _ {l}) = \ mathbb {Q} _ {l} \ otimes H ^ {i} (X \ otimes {\ bar {k}}, \ mathbb {Z} _ {l})}
Są to skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe, gdy ℓ jest różne od p lub jeśli X jest właściwe.
W stronę kohomologii krystalicznej
Niech k będzie ciałem o charakterystyce p > 0, niech X będzie czystym i gładkim wykresem wymiaru d na k . Mamy kilka teorii kohomologicznych:
- Jej étale ℓ-adyczna kohomologia (ze współczynnikami w ℤ p ): konstrukcyjnie naśladuje właściwości „zwykłej” kohomologii, to znaczy odpowiadającej topologii Zariskiego , ma jednak znaczenie tylko „pod warunkiem, że ℓ ≠ p ;
- Jego kohomologia Hodge'a lub jego kohomologia De Rham : jeśli X / k jest czysty i gładki, otrzymujemy k- wektory i nie możemy policzyć punktów wymiernych;
- Jego kohomologia Serre, gdzie znajduje się snop wektorów Witta na snopie strukturalnym.H.ja(X,WOX){\ Displaystyle H ^ {i} (X, W {\ mathcal {O}} _ {X})}WOX{\ displaystyle W {\ mathcal {O}} _ {X}}
Dzięki kohomologii étale Grothendieck udowodnił formułę Lefschetza, z którą wiąże się pierwsza hipoteza Weila. Druga hipoteza pojawia się jako konsekwencja dwoistości Poincarégo . Wreszcie Pierre Deligne udowodnił dwa ostatnie przypuszczenia.
Pozostałe pytania dotyczą jednak redukcji schematu do p , do czego nie pozwala na podejście kohomologia ℓ-adyczna.
Zainspirowany pracami Dwork'a i Monsky-Washnitzera, Grothendieck proponuje podniesienie X na czystym i gładkim diagramie Z / W (k) (z k doskonałym o charakterystyce p > 0 i W (k) pierścieniem wektorów Witta). Możemy następnie rozważyć kompleks De Rham Z na W (k) i przyjąć jego hiperkohomologię. Intuicja była taka, że grupy te nie zależą od wyboru, a priori arbitralnego, Z / W (k) mieszczącego się w X / k .
Definicja
Podzielone moce
Albo W w pierścieniu i I idealne z A . Podzielona struktura mocy (lub PD-strukturę ) w I jest szereg zastosowań
γnie:ja→W{\ displaystyle \ gamma _ {n}: ja \ do A}dla dowolnego dodatniego lub zerowego n , takiego jak:
-
γ0(x)=1{\ Displaystyle \ gamma _ {0} (x) = 1}i za wszystko ;γ1(x)=x{\ Displaystyle \ gamma _ {1} (x) = x}x∈ja{\ displaystyle x \ in I}
-
γnie(x)∈ja{\ Displaystyle \ gamma _ {n} (x) \ in I}jeśli n ≥ 1 i ;x∈ja{\ displaystyle x \ in I}
-
γnie(x+y)=∑ja+jot=nieγja(x)γjot(y){\ Displaystyle \ gamma _ {n} (x + y) = \ suma _ {i + j = n} \ gamma _ {i} (x) \ gamma _ {j} (y)}dla ;x,y∈ja{\ displaystyle x, y \ in I}
-
γnie(λx)=λnieγnie(x){\ Displaystyle \ gamma _ {n} (\ lambda x) = \ lambda ^ {n} \ gamma _ {n} (x)}za wszystko i ;x∈ja{\ displaystyle x \ in I}λ∈W{\ displaystyle \ lambda \ in A}
-
γnie(x)γm(x)=(m+nienie)γm+nie(x){\ Displaystyle \ gamma _ {n} (x) \ gamma _ {m} (x) = {m + n \ wybierz n} \ gamma _ {m + n} (x)}za wszystko i ;x∈ja{\ displaystyle x \ in I}m,nie∈NIE{\ Displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}
-
γm(γnie(x))=(mnie)!m!(nie!)mγmnie(x){\ Displaystyle \ gamma _ {m} (\ gamma _ {n} (x)) = {\ Frac {(mn)!} {m! (n!) ^ {m}}} \ gamma _ {mn} ( x)}za wszystko i dla każdego .x∈ja{\ displaystyle x \ in I}m,nie∈NIE{\ Displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}
W szczególności, jeśli W (k) oznacza pierścień wektorów Witta, (p) jest ideałem W (k), a struktura PD jest podana przez .
γnie=pnie/nie!{\ Displaystyle \ gamma _ {n} = p ^ {n} / n!}
Niech k będzie idealne pole z charakterystycznym p > 0, a X będzie k -schema. Oznaczamy przez W = W (k) pierścień wektorów Witta nad k i
Wnie=W/pnie{\ Displaystyle W_ {n} = W / p ^ {n}}Miejsce krystaliczne to miejsce zdefiniowane w następujący sposób:
VSrjas(X/Wnie){\ displaystyle \ mathrm {Cris} (X / W_ {n})}
- Obiekty są diagramami przemiennymi
U↪jaV↓↓Spmivsk→SpmivsWnie{\ displaystyle {\ begin {matrix} U & {\ stackrel {i} {\ hookrightarrow}} & V \\\ downarrow && \ downarrow \\\ mathrm {specyfikacja} \, k & \ rightarrow & \ mathrm {specyfikacja} \, W_ {n} \ end {matrix}}}z otwartym Zariski, i zamkniętym zanurzeniem schematów tak, że ideał jest wyposażony w strukturę PD kompatybilną z kanoniczną strukturą PD na .
U⊂X{\ Displaystyle U \ podzbiór X}Wnie{\ displaystyle W_ {n}}kmir(OV→OU){\ Displaystyle \ mathrm {ker} ({\ mathcal {O}} _ {V} \ do {\ mathcal {O}} _ {U})}pWnie⊂Wnie{\ displaystyle pW_ {n} \ podzbiór W_ {n}}
- Morfizmy to diagramy przemienne utworzone z otwartego zanurzenia i morfizmu zgodnego z podzielonymi mocami.(U,V,δ)→(U′,V′,δ′){\ Displaystyle (U, V, \ delta) \ do (U ', V', \ delta ')}U↪U′{\ Displaystyle U \ hookrightarrow U '}V→V′{\ displaystyle V \ do V '}
- Rodziny pokrywające są rodzinami morfizmów, takich jak otwarte zanurzenie i(Uja,Vja,δja)→(U,V,δ){\ Displaystyle (U_ {i}, V_ {i}, \ delta _ {i}) \ do (U, V, \ delta)}Vja→V{\ displaystyle V_ {i} \ do V}V=⋃jaVja{\ displaystyle V = \ bigcup _ {i} V_ {i}}
Kategoria wiązek w miejscu krystalicznym to toposy zwane toposami krystalicznymi i odnotowane . W szczególności ta struktura gwarantuje funkcjonalność: jeśli jest morfizmem k- schematów, możemy go skojarzyć z morfizmem
(X/Wnie)vsrjas{\ Displaystyle (X / W_ {n}) _ {\ mathrm {ostre}}}fa:X→Y{\ displaystyle f: X \ do Y}
fa-1:(Y/Wnie)vsrjas→(X/Wnie)vsrjas{\ displaystyle f ^ {- 1} :( Y / W_ {n}) _ {\ mathrm {cris}} \ to (X / W_ {n}) _ {\ mathrm {cris}}}.
Kohomologia kryształów
Niech F będzie wiązką w miejscu krystalicznym, a (U, V) obiektem w miejscu. Kojarząc sekcje F na do wolnym W o V definiujemy zwitek o V dla topologii Zariski . Za morfizm
(U×VW,W){\ Displaystyle (U \ razy _ {V} W, W)}
sol:(U,V)→(U′,V′){\ Displaystyle g: (U, V) \ do (U ', V')}na stronie otrzymujemy morfizm
solfa∗:sol-1fa(U′,V′)→fa(U,V){\ Displaystyle g_ {F} ^ {*}: g ^ {- 1} F _ {(U ', V')} \ do F _ {(U, V)}}który spełnia w szczególności warunek przechodniości i taki, który jest izomorfizmem, jeśli V → V ' jest otwartym zanurzeniem i . I odwrotnie, jeśli dla dowolnego obiektu (U, V) w miejscu nadamy snop dla topologii Zariski na V , jak również dla dowolnego morfizmu g, jak powyżej morfizmu przejścia, który spełnia wywołane właściwości, definiujemy snop na krystaliczne miejsce. Wiązki strukturalne łączy się belkę z dowolnego obiektu krystalicznej miejscu .
solfa∗{\ displaystyle g_ {F} ^ {*}}U=U′×V′V{\ Displaystyle U = U '\ razy _ {V'} V}fa(U,V){\ displaystyle F _ {(U, V)}}solfa∗{\ displaystyle g_ {F} ^ {*}} OX/Wnie{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X / W_ {n}}}(U,V,δ){\ Displaystyle (U, V, \ delta)}OV{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {V}}
Krystaliczny kohomologie jest kohomologie wiązki strukturalnym:
H.ja(X/Wnie)=H.ja((X/Wnie)vsrjas,OX/Wnie){\ Displaystyle H ^ {i} (X / W_ {n}) = H ^ {i} \ lewo ((X / W_ {n}) _ {\ mathrm {cris}}, {\ mathcal {O}} _ {X / W_ {n}} \ right)}
H.ja(X/W)=limnie⟵H.ja(X/Wnie){\ Displaystyle H ^ {i} (X / W) = \ lim _ {\ stackrel {\ longleftarrow} {n}} H ^ {i} (X / W_ {n})}
Uwagi i odniesienia
-
Zasadniczo: jakie są p -adyczne wartości współczynników wielomianów zaangażowanych w wyrażanie funkcji zeta jako ułamka wymiernego? A co z ograniczeniem reprezentacji absolutnej grupy Galois (on ) do ?solwl(Q¯/Q){\ Displaystyle \ mathrm {Gal} ({\ bar {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q})}H.ja(X⊗Q¯,Qℓ){\ Displaystyle H ^ {i} (X \ otimes \ mathbb {\ bar {Q}}, \ mathbb {Q} _ {\ ell})}solwl(Qp¯/Qp){\ Displaystyle \ mathrm {Gal} ({\ overline {\ mathbb {Q} _ {p}}} / \ mathbb {Q} _ {p})}
-
(w) Bernard Dwork , „ O racjonalności funkcji zeta w odmianie algebraicznej ” , American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, tom. 82, n o 3,1960, s. 631–648 ( ISSN 0002-9327 , DOI 10.2307 / 2372974 , JSTOR 2372974 , Math Reviews 0140494 ).
-
Nieformalnie chodzi o to, że „ ”.γnie(x)=xnie/nie!{\ Displaystyle \ gamma _ {n} (x) = x ^ {n} / n!}
-
Jest to rzeczywiście liczba całkowita, którą można zinterpretować z kombinatorycznego punktu widzenia jako liczbę sposobów podziału mn obiektów na m klas po n .
-
To znaczy, że jeśli oznaczymy tę strukturę PD, otrzymamy jeśli .δ{\ displaystyle \ delta}δ(pw)=γnie(p)wnie{\ Displaystyle \ delta (pa) = \ gamma _ {n} (p) a ^ {n}}pw∈kmir(OV→OU){\ displaystyle pa \ in \ mathrm {ker} ({\ mathcal {O}} _ {V} \ do {\ mathcal {O}} _ {U})}
Zobacz też
Bibliografia
- (en) Pierre Berthelot i Arthur Ogus , Notes on Crystalline Cohomology , Princeton University Press , wyd . „Roczniki studiów matematycznych”,1978( zbMATH 0383.14010 , czytaj online )
- Pierre Berthelot , Kryształowa kohomologia schematów charakterystycznych p> 0 , t. 407, Springer-Verlag , pot. "Notatki do wykładów z matematyki",1974, 604 str. ( ISBN 978-3-540-06852-5 , DOI 10.1007 / BFb0068636 , recenzje matematyczne 0384804 )
- (en) Alexander Grothendieck , „Kryształy i kohomologia schematów de Rham” , w: Jean Giraud, Alexander Grothendieck, Steven Kleiman i Michèle Raynaud, Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas , vol. 3, Holandia Północna, pot. „Zaawansowane studia z matematyki czystej”,1968( Recenzje matematyczne 0269663 , czytaj online ) , s. 306–358
- Alexander Grothendieck, SGA 5 (1972)
- Alexander Grothendieck, Pierre Deligne i Nick Katz, SGA 7 (1972)
- (en) Luc Illusie , „Report on crystalline cohomology” , in Algebraic geometry , vol. 29, Amer. Matematyka. Soc., Coll. „Proc. Miły. Czysta matematyka. ",1975( Recenzje matematyczne 0393034 ) , s. 459-478
- Luc Illusie , „Crystalline cohomology (after P. Berthelot)” , w: Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453-470), Exp. Nr 456 , t. 514, Springer-Verlag , pot. „Notatki do wykładów z matematyki. ",1976( Recenzje matematyczne 0444668 , czytaj online ) , s. 53-60
- (en) Luc Illusie , „Crystalline cohomology” , w: Motives (Seattle, WA, 1991) , vol. 55, Amer. Matematyka. Soc., Coll. „Proc. Miły. Czysta matematyka. ",1994( Recenzje matematyczne 1265522 ) , s. 43–70
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">