W matematyce , a zwłaszcza w algebrze , ideał jest niezwykłym podzbiorem pierścienia : jest to podgrupa addytywnej grupy pierścienia, która ponadto jest stabilna przez pomnożenie przez elementy pierścienia. Dlatego pod pewnymi względami ideały są podobne do podprzestrzeni wektorowych - które są addytywnymi podgrupami stabilnymi dzięki zewnętrznemu mnożeniu ; pod innymi względami zachowują się jak wyodrębnione podgrupy - są to podgrupy addytywne, z których można zbudować ilorazową strukturę pierścieniową .
Pojawił się na koniec XIX -go wieku w algebraicznej teorii liczb uogólnić algebraiczna liczby całkowite na czynniki pierwsze w rozkładzie z całości , ideały zostały szybko odegrała kluczową rolę w algebrze i geometrii algebraicznej , szczególnie w wyniku działa " Emmy Noether wyodrębnianie znaczenia warunków ciągów . Poza algebra są one zaangażowane w centrum wydarzeń w XX th century niektóre rozdziały z analizy funkcjonalnej , w tym badania algebr Banacha i analiza harmoniczna przemienne .
W algebrze przemiennej dwa typy ideałów są wszechobecne: maksymalne ideały i niewątpliwie jeszcze więcej ideały podstawowe . W pierścieniu względnych liczb całkowitych zarówno ideały maksymalne, jak i ideały pierwsze (niezerowe) to p Z , gdzie p jest liczbą pierwszą ; w bardziej abstrakcyjnych kręgach przemiennych te rodziny ideałów uogólniają pojęcie liczby pierwszej.
W teorii pierścieni nieprzemiennych musimy uważać na przeciwstawne istnienie dwóch odrębnych pojęć ideału: ideałów lewych (lub prawych ), które są submodułami , oraz ideałów dwustronnych , za pomocą których możemy dokonać ilorazu. Chociaż struktura najbardziej ogólnych pierścieni nieprzemiennych może być niezwykle złożona, mamy większą kontrolę nad tymi, którzy weryfikują warunki skończone odkryte przez Emmy Noether i Emila Artina , a mianowicie warunki łańcuchowe na ich lewych lub prawych ideałach.
Istnieją dwa pojęcia ideału, które pokrywają się w przypadku pierścienia przemiennego, ale odgrywają bardzo różne role bez założenia przemienności mnożenia.
Część I pierścienia A nazywana jest ideałem na lewo (odpowiednio na prawo ) A, gdy:
Za pomocą języka modułów można krótko określone jako lewej idealne (odpowiednio, prawej) w postaci pod-modułu do struktury A -module lewo (wzgl. Prawej) w A, .
Następnie zadzwonić do dwustronnej ideał z A (lub po prostu ideał , gdy nie istnieje ryzyko wprowadzenia w błąd) jakakolwiek część A , która jest jednocześnie idealnym na lewo i idealne na prawo. Kiedy pierścień jest przemienny, wszystkie te pojęcia łączą się, ale odgrywają bardzo różne role w algebrze nieprzemiennej. W rzeczywistości, chociaż czasami ingerują w teorię nieprzemienną (a więc w definicję prostych pierścieni ), ideały dwustronne są w tym kontekście trudne do manipulowania, a zatem są mniej wszechobecne niż ideały po lewej lub po prawej stronie. Można zauważyć, że dwustronne ideały są konstrukcje dla struktury A - - bimodule na A .
Powtarzając to, co zostało powiedziane, że skupia się wyłącznie na ideałach bilateralnych, możemy wyraźnie zmienić ich definicję:
Część I pierścienia A nazywany jest dwustronny ideał z A (lub ideału , gdy nie ma obawy pomyłki, zwłaszcza w przemiennej algebry), gdy:
Szczególne zainteresowanie ideałami bilateralnymi wynika z faktu, że można je opisać inaczej, co wiąże je z pojęciem pierścienia ilorazowego . Biorąc dwustronny idealne I w pierścieniu A The grupa iloraz / I może być wyposażony w strukturze pierścieniowej, w której kanoniczne występ jest homomorfizmem pierścienia , z rdzeniem I . I odwrotnie, każde jądro jest dwustronnym ideałem. Możemy podsumować te informacje następującym stwierdzeniem:
Zestaw w I pierścienia A jest idealnym (dwustronny) tylko wtedy, gdy jest morfizmem pierścieni, które jest pierścień wychodzący i których rdzeń jest ja .
Niektóre własności ideałów dwustronnych można odczytać ze struktury pierścienia ilorazowego: tak więc w pierścieniu przemiennym ideał dwustronny jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy jest polem .
Ideał (lewy, prawy lub dwustronny) zawiera przynajmniej jeden element odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest równy całemu pierścieniu.
Albo A i B dwóch pierścieni i cp morfizmem z pierścieni A w B . Więc :
Odwrotny obraz lewego ideału (resp. Prawo resp. Dwustronne) z B pod φ jest lewa idealny (resp. Prawo resp. Dwustronny) z A . W ten sposób możemy wyjaśnić, dlaczego jądro jest dwustronnym ideałem: to dlatego, że jest odwrotnym obrazem zerowego bilateralnego ideału.
Jeśli chodzi o bezpośredni obraz ideału A , możemy tylko stwierdzić, że jest to ideał (o tej samej naturze) podpierścienia φ (A) . Jeśli φ nie jest suriektywne, nic nie zobowiązuje go do bycia ideałem B : rozważ syn za kanoniczne włączenie A = ℤ do B = ℚ. Wtedy φ ( I ) jest tylko ideałem ℚ, jeśli I jest ideałem zerowym.
Jednak gdy φ jest suriektywne, sytuacja jest szczególnie prosta:
Niech cp morfizmem suriekcją pierścienie A do B . Mapa jest bijekcją między zbiorem ideałów po lewej (odpowiednio po prawej stronie, odpowiednio dwustronnie) A zawierającej Ker ( φ ) i zbiorem ideałów po lewej stronie (odpowiednio po prawej stronie, odpowiednio dwustronnie) od B . Jego wzajemne bijekcja jest .
Ideałem tego samego typu jest przecięcie się dwóch ideałów po lewej stronie (względnie po prawej, względnie po obu stronach) lub bardziej ogólnie rodziny ideałów.
Jeśli p jest częścią pierścienia A nazywamy lewy idealne (odp. Prawy, wzgl. Dwustronnym) generowane przez P przecięcia wszystkich idei na lewo (wzgl. Prawy, wzgl. Dwustronnym) A zawierającego P . Jest najmniejsza idealnym zawierające P .
Można to opisać następująco, przy czym sumy należy rozumieć jako indeksowane przez zbiór skończony:
Ważnym przypadkiem jest sytuacja, gdy P ma tylko jeden element x . Mówimy wtedy o głównym ideale (lewym, prawym lub dwustronnym) generowanym przez x .
Jeśli I i J są dwie lewe idee (odp. Prawy Resp. Dwustronny) pierścienia A jest nazywany suma z I oraz J wszystkich x + y , gdzie x przebiega I i nie przemieszcza J .
To z kolei jest ideałem tego samego typu. Kiedy interpretujemy ideały jako submoduły, ich suma jako ideałów jest tym samym ideałem, co ich suma jako podmodułów . Ilość może być określona jako idealne z tego samego rodzaju generowany przez związek I ∪ J .
Dla przecięcia i sumy, zbiór ideałów po lewej (odpowiednio po prawej, lub dwustronnie) pierścienia A jest kratą .
Mówiąc bardziej ogólnie, dla każdej rodziny ideałów po lewej stronie (odpowiednio po prawej stronie lub po obu stronach) , odnotowana suma rodziny jest zbiorem sum, które zawierają tylko skończoną liczbę wyrazów i są różne . Ten zestaw jest również ideałem tego samego typu, a także jest ideałem tego typu generowanym przez połączenie .
Wspomnieliśmy już powyżej nazwę ideału głównego dla ideału (po lewej, po prawej lub dwustronnie), który może być wygenerowany przez pojedynczy element.
Bardziej ogólnie definiujemy ideał typu skończonego jako ideał (lewy, prawy lub dwustronny), który może zostać wygenerowany przez część skończoną.
W tej sekcji rozumiemy przez „stacjonarny ciąg” ideałów stały ciąg ideałów zaczynający się od określonej rangi (to znaczy dla której istnieje n takie, że ).
Pierścień Noetherian po lewej stronie (odpowiednio po prawej stronie) nazywamy pierścieniem, w którym jakakolwiek sekwencja ideałów po lewej stronie (odpowiednio po prawej stronie) wzrastająca w celu włączenia jest stacjonarna. Mówi się również, że spełnia warunek „ łańcucha wstępującego” na ideałach rozważanego typu. Właściwość ta jest powiązana z pojęciem ideału typu skończonego następującym stwierdzeniem, z dość prostym dowodem:
Pierścień jest Noetherian po lewej stronie (odpowiednio po prawej) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego ideały po lewej stronie (odpowiednio po prawej stronie) są skończone.
Pierścień artyniański po lewej stronie (odpowiednio po prawej) nazywamy pierścieniem, w którym jakakolwiek sekwencja ideałów po lewej stronie (odpowiednio po prawej) malejąca w celu włączenia jest stacjonarna. Mówi się również, że spełnia warunek „łańcucha zstępującego” na ideałach rozważanego typu.
Twierdzenie Hopkins i Levitzki (In) , w bardzo poważne dowody, ma następujący wniosek:
Każdy pierścień artynii po lewej to Noetherian po lewej.
Pojęcia wyszczególnione w tej sekcji dopuszczają uogólnienia w algebrze nieprzemiennej. W tym artykule wprowadzającym są one przedstawione wyłącznie w kontekście pierścienia przemiennego , kontekstu, w którym są szczególnie istotne.
Jeśli I i J są dwie idee pierścienia przemiennego, zwane idealny produkt z I oraz J idealnym zauważył IJ wytworzonej przez wszystkie produkty xy , gdzie x przebiega I i nie przemieszcza J . Jest zatem równy zbiorem sum skończonych, gdzie E jest zbiorem skończonym i .
Przykład: w pierścieniu Z iloczyn ideałów 2 Z i 3 Z to idealne 6 Z - czyli równe ich przecięciu; Z drugiej strony, produkt z 2 Z ideału przez siebie jest 4- Z idealne .
Zawsze tak było, ale włączenie może być ścisłe, jak pokazano w poprzednim przykładzie.
Jeśli I i J są dwie idee przemiennej pierścienia A , którą nazywamy iloraz ideał o I o j o oznaczona zestaw określony przez:
Jest to ideał A .
Jeśli jest to ideałem pierścienia przemiennego , nazywamy rodnik o znanego zestawu utworzonego przez elementy w odniesieniu do których istnieje liczbą naturalną tak, że . Jest to ideał .
Pojęcia ideału pierwszego i ideału maksymalnego, zwłaszcza pierwszego, odgrywają w ogólnej teorii pierścieni rolę podobną do roli liczb pierwszych w arytmetyce na liczbach całkowitych. W pierścień Z, w stosunku liczb całkowitych , maksymalna idee są dokładnie t Z w których p jest liczbą pierwszą; Dodaje się do niego jeden i tylko jeden nie maksymalny ideał pierwszy, ideał {0}.
Idealnym P przemiennej pierścień A jest nazywany ideałem , gdy P jest ścisłe część A i, dla każdego X , Y, z A , gdy produkt xy jest P , a x należy do P lub y należy do P . Ten warunek jest równoważny z żądaniem, aby pierścień ilorazu A / P był całkowy.
Idealne M pierścienia przemiennego A nazywa się ideałem maksymalnym, gdy istnieją dokładnie dwa ideały zawierające M , a mianowicie A i samo M. Ten warunek jest równoważny z żądaniem, aby iloraz pierścienia A / M był polem przemiennym .
Teoria pierwszej faktoryzacji liczb całkowitych jest odtwarzana w dużej klasie pierścieni przemiennych, czyli pierścieniach silni . Bez względu na to, jak duża może być ta klasa, pierścienie nieczynnikowe są powszechne, a bardziej techniczne uogólnienia dotyczące faktoryzacji pierwotnej okazały się najbardziej przydatne. Co więcej, nawet w ujęciu silniowym rozkład nie-zasadniczych ideałów pierwszych dotyczy także ideałów nie-zasadniczych, na których rozkład elementów nie ma wpływu, a zatem rzuca dodatkowe światło.
Rozkład ideału na ideały pierwotne, ideały nieredukowalneW „addytywnej teorii” ideałów przeważającą operacją jest przecięcie: dekompozycja ideału będzie zapisaniem go jako przecięcia ideałów typu podstawowego. Nie jest to niezwiązane z rozkładem liczby całkowitej na pierwotne czynniki całkowite .
Pierwszy krok w tym kierunku może być rozłożona w idealnym przecięcia nieredukowalnych idei, które definiują nieredukowalnego idealne jako właściwego ideału że nie rozkłada się jako przecięcie dwóch idei I . Każdy ideał główny jest nieredukowalny, a w pierścieniu Noether, każdy ideał jest skończonym przecięciem nieredukowalnych ideałów.
Następnie określić podstawową idealny I jako właściwego ideału przemiennej pierścienia A , który spełnia następujące właściwości: wszystkie A i B z tak, że AB ∈ że jeśli ∉ że to istnieje naturalną liczbę całkowitą n , tak że b n ∈ Ja . Jeśli chodzi o iloraz pierścieni, I jest więc pierwszorzędowy wtedy i tylko wtedy, gdy którykolwiek dzielnik zera w pierścieniu A / I jest zerowy .
W pierścieniu Noetherian każdy nieredukowalny ideał jest najważniejszy.
Z tego, co poprzedza twierdzenie Laskera-Noethera, wnioskujemy :
W Noetherian pierścień każdy ideał można przedstawić jako skończone przecięcie pierwotnych ideałów.
Nie ma wyjątkowości reprezentacji, nawet jeśli wymagamy, aby była minimalna, ale mamy stwierdzenia, które zapewniają, że dwie różne reprezentacje nie są zbyt daleko od siebie.
Multiplikatywna teoria ideałów, pierścienie DedekindaŻądając więcej pierścienia, możemy pójść dalej i rozłożyć ideał, zapisując bliżej faktoryzacji liczb całkowitych na czynniki pierwsze; będziemy wtedy musieli szukać pisma jako produktu ideałów, a nie jako przecięcia: w Z ideał p 2 Z można sam zapisać jako iloczyn p Z , ale nie można go przedstawić jako przecięcia ideałów różni się od niego.
Po pierwsze, ograniczenie wymiaru pierścienia, który badamy, gwarantuje, że przecinająca się reprezentacja pierwotnych ideałów jest również reprezentacją jako produkt:
Niech A będzie Noetherian integralny pierścień wymiaru 1 (to znaczy, gdzie każdy niezerowy ideałem jest maksymalna). Każdy ideał A można przedstawić jako produkt ideałów pierwotnych.
Po drugie, jeśli pierścień jest również całkowicie zamknięty , jego pierwotnymi ideałami są dokładnie siły pierwszych ideałów. Prowadzi to do wprowadzenia pierścieni Dedekinda , które są integralnymi pierścieniami noeterian o wymiarze 1 całkowicie zamkniętymi, i prowadzi do następującego wyniku, w którym również mamy wyjątkowość rozkładu:
Niech A będzie pierścieniem Dedekinda. Każdy ideał A można przedstawić w wyjątkowy sposób (aż do rzędu czynników) jako iloczyn ideałów pierwszych.
PrzykładyW tych przykładach oznaczamy ( a ) główny ideał wygenerowany przez a oraz ( a , b ) ideał wygenerowany przez a i b .
Donoszono, na początku odcinka przejścia że iloraz pierścieniem A za pomocą dwustronnego ideału że indukuje bijection pomiędzy idei A zawierających I i idee A / I . To uprzedzenie szanuje pierwotny charakter ideałów.
Albo że ideałem przemiennej pierścień A . Kanoniczne zestawy projekcyjne bijection pierwsze-idee A zawierającego I i zestaw głównych idei A / I .
Ideały zawarte w I można ze swej strony odizolować od innych poprzez proces lokalizacji . Mamy wtedy następujące stwierdzenie:
Niech I doskonałą ideał pierścienia przemiennego A . Zestawy lokalizacja bijekcja wszystkich głównych ideałów A zawarty w I i zestaw ideał pierwszy pierścienia znajduje ja .
Wymiar KrullStruktura uporządkowana przez włączenie zbioru ideałów pierwszych jest źródłem jednej z możliwych definicji wymiaru pierścienia, zgodnej z intuicją geometryczną dotyczącą pierścieni występującą w geometrii algebraicznej . Wymiar Krull o przemiennej pierścień A jest określony jako największy N , dla których nie istnieje ściśle rosnącego łańcucha głównych idei A w postaci:
Topologia widma i widma maksymalnegoZestaw głównych idei przemiennej pierścień A jest nazywany pierwszego widma od A . Można go wyposażyć w topologię zwaną Zariski, która uogólnia topologię Zariskiego zbioru algebraicznego . Po tej określonej topologii przestrzeń topologiczna spec ( ) mogą być wyposażone w belkę pierścieni, miejscowego . Obiekt jest więc podstawą definicji diagramów , które uogólniają rozmaitości algebraiczne .
Jeśli widmo pierwsze, ze względu na jego konstrukcję funktorską , jest szczególnie odpowiednie dla geometrii algebraicznej , to w analizie funkcjonalnej , szczególnie w teorii unitarnych przemiennych algebr Banacha , często wymagane jest widmo maksymalne , zbiór ideałów maksymalnych . Może być wyposażony w oddzielną topologię . Transformacja Gelfand (IN) , a następnie pozwala, kiedy jest to za pomocą wstrzyknięć do interpretowania elementy Algebra Banacha jak funkcje w widmie Algebra.
Teoria ideałów jest stosunkowo nowe, ponieważ został stworzony przez Richarda DEDEKIND w późnym XIX -tego wieku. W tym czasie część społeczności matematycznej interesowała się liczbami algebraicznymi, a dokładniej algebraicznymi liczbami całkowitymi .
Pytanie dotyczyło tego, czy algebraiczne liczby całkowite zachowują się jak względne liczby całkowite , w szczególności „unikalny” rozkład na czynniki nierozkładalne. Wydawało się z początku XIX -go wieku, nie zawsze było w przypadku : 6, które mogą się rozkładać w pierścieniu Z [ i √ 5 ] w postaci 2 × 3 lub w postaci (1 + i √ 5 ) (1 - i √ 5 ).
Ernst Kummer , ostrzegany przed pospiesznym uogólnieniem przez Lejeune Dirichlet , zdał sobie sprawę z faktu, który uważał za wyjątkowo godny ubolewania ( maksyma dolendum ): w przeciwieństwie do względnych liczb całkowitych, kombinacje liniowe ze względnymi współczynnikami całkowitymi potęg d 'danego pierwiastka jedności (w późniejszym terminologia: liczby całkowite ciała cyklotomicznego ) niekoniecznie rozkładają się w unikalny sposób (z wyjątkiem czynników „jednostkowych”) na produkty nierozkładalnych elementów. Aby zachować wyjątkowość rozkładu, Kummer w artykule z 1847 roku wprowadził pojęcie idealnych liczb zespolonych.
Chodzi o to, aby uczynić rozkład na czynniki pierwsze unikalnymi przez sztuczne dodawanie innych liczb (w ten sam sposób, w jaki i jest dodawane do liczb rzeczywistych, na przykład w celu uzyskania liczb z ujemnymi kwadratami). W powyższym przykładzie „wymyślimy” cztery „idealne” liczby a , b , c i d, takie jak:
W ten sposób 6 rozkłada się w unikalny sposób na:
W 1871 roku Dedekind stworzył zdefiniowane w tym artykule pojęcie ideału pierścienia. Ideały Dedekind to nowa formalizacja i uogólnienie ideałów liczb zespolonych (en) Kummer. Dedekind interesuje się głównie pierścieniami algebraicznych liczb całkowitych, które są całkowe. To właśnie w tej dziedzinie można znaleźć najciekawsze wyniki dotyczące ideałów. Tworzy na zbiorze ideałów pierścienia całkuje operacje podobne do dodawania i mnożenia w liczbach całkowitych względnych.
Teoria ideałów pozwoliła na znaczący postęp w algebrze ogólnej , ale także w badaniu krzywych algebraicznych (geometria algebraiczna).
W innych kontekstach matematycznych różne obiekty są również nazywane ideałami, z których każdy jest powiązany lub w pewnym sensie analogiczny do ideałów pierścienia omówionych w tym artykule:
Ponadto sekcja „ aspekt historyczny ” została napisana przy użyciu Jacquesa Bouveresse , Jeana Itarda i Émile Sallé, Histoire des mathematics [ szczegóły wydań ].
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">