Pierścień artyński
W przemiennej Algebra An artinian pierścień jest pierścieniem spełniającą zstępującego stan łańcucha na jego idei . Pierścienie artyńskie zawdzięczają swoją nazwę austriackiemu matematykowi Emilowi Artinowi .
Definicja
Mówimy, że przemienny (jednolity) pierścień A jest pierścieniem artyńskim, jeśli jest modułem A - artyńskim , innymi słowy, jeśli jakakolwiek malejąca sekwencja ideałów A jest stacjonarna. Jest to równoważne stwierdzeniu, że każdy niepusty zbiór ideałów A dopuszcza minimalny element (dla relacji włączenia).
W przypadku pierścienia nieprzemiennego (unitarnego) definiujemy również pojęcia artyniana po lewej stronie i artyniana po prawej stronie (odnoszące się do ideałów po lewej i po prawej stronie). Jeśli pierścień jest prosty , to znaczy jeśli jest różny od zera i nie dopuszcza innych ideałów bilateralnych niż {0} i on sam, pojęcia artyniana po lewej stronie i artyńskiego po prawej są zbieżne.
Przykłady
- Każdy gotowy pierścionek jest artyński.
- Każde ciało jest artyńskie.
- Pierścień liczb całkowitych nie jest artyński:Z⊋2Z⊋22Z⊋23Z⊋⋯.{\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ supsetneq 2 \ mathbb {Z} \ supsetneq 2 ^ {2} \ mathbb {Z} \ supsetneq 2 ^ {3} \ mathbb {Z} \ supsetneq \ cdots.}Podobnie i bardziej ogólnie, integralny pierścień, który nie jest ciałem, nie może być artyński.
- Niech się pierścień noetherowski i M maksymalny ideał od A . Wtedy A / M n , gdzie n jest ściśle dodatnią liczbą całkowitą, jest pierścieniem artyńskim. Rzeczywiście, ma skończoną długość jako moduł A.
- Jeśli k jest ciałem , pierścienie ilorazu k [T] / (T n ) są artyńskie. To jest szczególny przypadek poprzedniego przykładu. Pierścienie te są podstawą teorii deformacji w geometrii algebraicznej . Mówiąc bardziej ogólnie, skończone-wymiarowe k- algebry są artyńskimi pierścieniami, ponieważ są one artyńskimi k -modułami, a ich ideały to k - podmoduły .
- Jeśli A jest pierścieniem Noetherian i jeśli P jest minimalnym ideałem pierwszym (tj. Nie zawiera innego ideału pierwszego), to zlokalizowane A P jest pierścieniem artyńskim. W geometrii algebraicznej pierścień artyński pojawia się jako lokalny pierścień schematu Noether w ogólnym punkcie .
Nieruchomości
-
Charakterystyka :
- Pierścień przemienny jest artyński wtedy i tylko wtedy, gdy, zgodnie z tym, co poprzedza, jest Noetherianem i ma zerowy wymiar Krulla;
- Albo miejscowy pierścień z maksymalnym idealnego M . Wtedy A jest artynianem wtedy i tylko wtedy, gdy M n = 0 dla ściśle dodatniej liczby całkowitej n .
Uwagi i odniesienia
(en) MF Atiyah i IG Macdonald , Wprowadzenie do algebry przemiennej , Addison-Wesley , 1969, rozdz. 8
-
N. Bourbaki , Elementy matematyki , Algebra , Rozdział 8, § 7, propozycja 1, (ii), s. VIII.115 ; definicja 1, s. VIII. 116 i wniosek 1, b, s. VIII.117 . Zauważ, że w Bourbaki, prosty pierścień jest zdefiniowany inaczej niż w tym artykule.
-
N. Bourbaki , Elementy matematyki , Algebra , Rozdział 8, str. VIII.5 .
-
N. Bourbaki, Elementy matematyki, Algebra, rozdział 8 , str. VIII.7 .
-
N. Bourbaki, Elementy matematyki, Algebra, rozdział 8 , Paryż, 1981, trzcina. 2012, częściowo dostępne w Google Books i na stronie internetowej Springer Publishing , s. VIII.5-6 .
-
N. Bourbaki, Elementy matematyki , Algebra , Rozdział 8, str. VIII.8 .
-
(w) David Eisenbud , Algebra przemienna z widokiem na geometrię algebraiczną , Springer , al. " GTM " ( N O 150)2004( 1 st ed. 1995) ( czytaj on-line ) , s. 76(w tej pracy - por . s. 11 - zakłada się, że wszystkie pierścienie są przemienne).
-
Serge Lang , Algebra [ szczegóły wydań ], Dunod, 2004, s. 456 , ćwiczenie 10.9.
-
(w) Robert B. Ash, Kurs algebry przemiennej ( czytaj online ) , „ Podstawowy rozkład i powiązane bonusy ” , str. 12-13, propozycje 1.6.5 i 1.6.7.
Powiązany artykuł
Pierścień półdoskonały (w)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">