Warunki łańcuchowe (w górę i w dół ) to dwie właściwości matematyczne na rzędach początkowo zidentyfikowanych przez Emmy Noether w kontekście algebry przemiennej .
W częściowo uporządkowanym zbiorze ( V , ≤) warunek łańcucha rosnącego oznacza następującą właściwość:
lub też własność (ekwiwalent, ponieważ jest to relacja porządkowa)
Wstępny warunek łańcucha dla ( V , ≤) jest równoważny następującej właściwości:
Rzeczywiście, z jednej strony warunek ten, nazywany czasem warunkiem maksymalnym ( (en) warunkiem maksymalnym lub warunkiem maksymalnym ), byłby sprzeczny z istnieniem rosnącej nieskończonej sekwencji. Z drugiej strony, jeśli nie jest zweryfikowana, konstruuje się ściśle rosnący ciąg nieskończony, wybierając kolejno w niepustej części bez elementu maksymalnego element x 0 , następnie ścisłą górną granicę x 1 tego itd. Tak skonstruowany ciąg ( x n ) (przez indukcję i aksjomat wyboru - a dokładniej: aksjomat wyboru zależnego , ponieważ istnieje policzalna nieskończoność wyborów, a każdy z nich zależy od wcześniejszych wyborów) rośnie w nieskończoność.
( V , ≤) spełnia warunek zstępującego łańcucha, jeśli jakakolwiek malejąca sekwencja jest stacjonarna, tj. Kolejność przeciwna ( V , ≥) spełnia warunek rosnącego łańcucha. Równoważny warunek minimalny - każda niepusta część ma element minimum - jest niczym innym jak zwykłą dobrze ugruntowaną definicją .
Emmy Noether przedstawia to w swoim artykule Idealtheorie w Ringbereichen z 1921 roku . Podkreśla w przypisie, że pojęcie to zostało wprowadzone już wcześniej przez Dedekinda (w przypadku pól liczbowych) i Laskera (w przypadku wielomianów). Jest pierwszą, która wprowadziła to w ogólne ramy swojego artykułu, dotyczące pierścieni przemiennych, z których każdy ideał jest generowany w sposób skończony.
Dlatego mówi się, że pierścień przemienny jest Noetherian, jeśli zbiór jego ideałów , częściowo uporządkowanych przez włączenie, spełnia ten warunek. Kiedy ta częściowa kolejność weryfikuje stan zstępującego łańcucha, mówi się, że pierścień jest artyński . Następstwem twierdzenia Hopkinsa-Levitzkiego (w) jest to, że każdy artynian pierścieniowy jest Noetherianem. ℤ jest noeterianem, ale nie artyńskim: 2 n ℤ tworzą ściśle malejącą nieskończoną sekwencję ideałów.
Ideały przemiennego pierścienia A są po prostu jego podmodułami, a A posiada naturalną strukturę modułu A. -Module mówi się noetherian (resp. Artinian ) jeżeli zbiór jej Submoduły spełnia rosnące (resp. Malejąco) Stan łańcuchów. Poprzedni wniosek (każdy pierścień artynii jest Noetherian) nie rozciąga się na moduły:
Przykład modułu Artinian, ale nie Noetherian.Niech P będzie liczbą pierwszą . P - Prüfer grupa ℤ [1 / s ] / ℤ jest podgrupa z tej grupa przemienna ℚ / ℤ , stąd ℤ module sprężystości. Jest to moduł artyński, ponieważ jego właściwe podgrupy są skończone. Ale to nie jest Noetherian, ponieważ otrzymujemy ściśle rosnącą nieskończoną sekwencję submodułów uznając, dla dowolnej liczby naturalnej n , podgrupy składające się z elementów, których kolejność jest dzielnik z p n .