W matematyce , A pierścień iloraz jest pierścień że jedno konstruktów w zestawie iloraz z pierścieniem za pomocą jednego z jej dwustronnych idei .
Niech A będzie pierścień . W trakcie dodawania i mnożenia z A są kompatybilne ze stosunku równoważności na A w przypadku (i tylko w przypadku) ten jest w postaci: x ~ r ⇔ X - Y ∈ że dla pewnego dwustronnej ideału I o A .
Następnie możemy podać zestaw ilorazów A / I z dodawaniem i mnożeniem ilorazów tych z A :
.Daje to A / I strukturę pierścieniową, zwaną pierścieniem ilorazowym A do I (jego grupą addytywną jest grupa ilorazowa ( A , +) przez I ).
Kanoniczny mapa π : → / I jest wtedy homomorfizmem pierścienia , od rdzenia I .
Zastosowania pierścienia Z / n Z w teorii liczb ilustrują skuteczność wprowadzania pierścieni ilorazowych. Tak więc AX równanie diofantycznego + o = 1 , które mogą być leczone za pomocą metod arytmetycznych dość proste, mogą być również interpretowane jako znak odwrotności w pierścieniu iloraz Z / b Z . Z tego punktu widzenia istnieją rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy klasa a jest elementem odwracalnym pierścienia ilorazowego, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy liczba pierwsza z b . Możliwymi wartościami x są wtedy liczby całkowite, które są rzutowane w Z / b Z na tę odwrotność klasy a .
Szczególnie owocny jest przypadek ilorazów Z / p Z, gdzie p jest liczbą pierwszą . Pierścień Z / p Z jest wówczas polem przemiennym i korzystamy z bogactwa tej struktury. Na małe twierdzenie Fermata albo Wilson Twierdzenie to dwa przykłady w elementarnej arytmetyki, które mogą korzystać z takiego leczenia.
W rozszerzeniu tej idei, w algebrze przemiennej , pierścień ilorazu przez ideał maksymalny jest systematycznie ciałem przemiennym, zwanym ciałem resztkowym . Podobnie jak w poprzednich przykładach, jego użycie może zwrócić informacje o zilustrowanym pierścieniu; może być też celem samym w sobie, jako skuteczna metoda konstruowania nowych pól przemiennych. W poprzednich przykładach wspomniano budowę pole C o liczbach zespolonych według tej techniki; Jest to zwłaszcza przypadek budowy ciała na pękanie w wielomian nierozkładalny współczynnikach w polu przemiennym. Ten proces pozwala również na konstruowanie wszystkich skończonych pól .
Każdy pierścień przemienny A jest ilorazem pierścienia wielomianów przez ideał generowany przez wszystkie elementy postaci lub . Ta uwaga umożliwia udowodnienie dowolnego uniwersalnego twierdzenia algebry przemiennej, aby zadowolić się udowodnieniem jej dla pierścieni wielomianów o współczynnikach całkowitych (dla rozszerzenia tej idei patrz na przykład ogólny dowód twierdzenia Cayleya - Hamiltona ).
Ilorazy pierścieni przez niekoniecznie maksymalne ideały są wszechobecne w geometrii algebraicznej . Pierwszym przykładem jest pierścień funkcji regularnych na afinicznym zbiorze algebraicznym .
Następujące twierdzenie lub bardzo bliskie warianty charakteryzuje iloraz:
Pozwól mi być dwu- stronne ideał pierścienia A ; oznaczają to gatunku kanoniczną projekcję A w A / I . Czy inaczej morfizmem pierścieni z A do pierścienia B zera I . Jest wtedy jeden i tylko jeden morfizm od A / I do B, dla którego .
Ta właściwość uniwersalne może być również używane jako alternatywne określenie „a” iloraz A przez I , to należy rozumieć, że jej występowanie jest następnie okazał się poprzez ponownie budowy na zestaw iloraz pobranej powyżej definicją, a L unikalności do izomorfizm przedstawiono w kilku wierszach.
Stosując ją do jądra , wnioskujemy o następującym twierdzeniu:
Niech φ jest morfizm pierścieni pierścienia A do pierścienia B zera I . Jest unikalne Izomorfizm pomiędzy pierścieniami / Ker φ i Im φ który przełącza schemat poniżej:
Natychmiast wydedukujemy " pierwsze twierdzenie izomorfizmu ":
Niech φ jest morfizm dzwonków , których pierścień jest zauważyć, od A . Więc :
.W związku z tym wzór, mający morfizmem pierścień wychodzący zawsze izomorficzna iloraz A .
Pierścień iloraz pierścienia iloraz pierścień może być interpretowany bezpośrednio jako iloraz A .
Dokładniej, niech A będzie pierścień i być dwu- rozkładem idealnie od A ; oznaczają to gatunku kanoniczną projekcję A w A / I . Uporządkowanym (z włączeniem) dwustronnych idei A / I w kolejności, przestrzegając bijekcji z zestawem dwustronnych idei A zawierającego I właśnie:
Aplikacja jest bijection pomiędzy zestawem dwustronnych ideałów A zawierających I i wszelkich jednostronnych ideałów A / I .
Kiedy już wiemy, że dwustronne ideały A / I mają postać J / I , możemy być bardziej precyzyjni i wyjaśnić strukturę ilorazu, wynik jest znany jako „ trzecie twierdzenie o izomorfizmie ”:
Niech być pierścieniem, że dwustronny ideał A i J dwustronny ideał A zawierającego I . Wtedy J / I jest dwustronnym ideałem A / I i istnieje izomorfizm:
.Stosując te same oznaczenia, co w poprzednim podrozdziale, podpierścienie pierścienia ilorazowego A / I odpowiadają pod-pierścieniom elementu A zawierającego I dokładnie tak, jak były to ideały. Dokładnie:
Aplikacja jest bijection pomiędzy wszystkimi pierścieniami sub- A , zawierającej I i wszystkie sub-pierścienie A / mi .
W tej sekcji, zaczynamy przeciwnie pierścień i podpierścień B do A , a jedna jest zainteresowana pierścieni ilorazów z pensjonatów . To nie jest tak proste, jak w poprzedniej sytuacji: nie są na ogół zestaw pierścieni ilorazów A , które można umieścić w bijekcji ze zbiorem wszystkich pierścieni ilorazowe B .
Nie ma jeszcze coś do powiedzenia, jeśli nie dzielić się z ilorazu przez dowolny dwustronny ideał B , ale przez dwustronny ideał postaci B ∩ I , gdzie I jest ideałem A . Sekund twierdzenie Izomorfizm następnie dostarcza alternatywny opis pierścienia iloraz B / B ∩ I ;
Lub pierścień, B Pierścień podsystem i ja dwustronny ideał A . Wtedy B + I jest podpierścieniem A i B ∩ I ideałem B i istnieje izomorfizm:
.Niech A będzie przemienne pierścień :