Idealne ciało

W matematyce, a zwłaszcza w algebrze w kontekście teorii Galois , pole doskonałe jest ciałem przemiennym, od którego można oddzielić wszystkie rozszerzenia algebraiczne .

Pola doskonałe są przydatne dla teorii Galois, ponieważ twierdzenia założycielskie, takie jak twierdzenie o elementach pierwotnych lub twierdzenie podstawowe teorii Galois, wykorzystują w hipotezach fakt, że rozważane rozszerzenie jest rozłączne.

Doskonałe ciała są stosunkowo często, w rzeczywistości każdy korpus charakterystycznej zero (takie jak te z liczb wymiernych , na liczbach rzeczywistych lub liczbach zespolonych ) jest doskonała. Dotyczy to również pól skończonych .

Definicja

• O polu mówi się, że jest doskonałe, jeśli wszystkie jego algebraiczne rozszerzenia są rozłączne .

Niech K ciała i L algebraicznym Rozszerzenie K . Powiedzenie, że rozszerzenie jest rozłączne, oznacza, że ​​każdy minimalny wielomian nad K elementu L jest rozłączny, tj. Nie dopuszcza żadnego wielokrotnego pierwiastka w swoim algebraicznym domknięciu . Możemy zatem przeformułować definicję w:

• Pole K mówi się, że doskonałe jeśli nierozkładalny wielomianu o K [ X ] jest rozłączne.

Przykłady

• Każde pole skończone jest doskonałe (por. Właściwości akapitu) .

• Każde pole o zerowej charakterystyce jest doskonałe (patrz właściwości akapitu) . Innymi słowy: pole liczb wymiernych i jego rozszerzenia (jak pole liczb rzeczywistych lub p-adycznych ) są doskonałe.

• Każde pole algebraiczne nad ciałem doskonałym jest samo w sobie ciałem doskonałym (patrz sekcja dotycząca właściwości) .

• Z drugiej strony, w niezerowej charakterystyce p (liczba pierwsza) nie wszystkie pola są doskonałe. Rozważmy L = F p ( X ) pole ułamków wymiernych nad ciałem skończonym kardynala p , K podpole F p ( X p ), a nieredukowalny wielomian P ( Y ) = Y p -X p z K [ Y ] . Wtedy element X z L jest wielokrotnym pierwiastkiem (rzędu p ) z P ( Y ), którego nie można zatem rozdzielić.

Nieruchomości

Kryterium rozdzielności

Analiza rozłącznych rozszerzeń umożliwia ustalenie kryteriów rozdzielalności wielomianu lub rozszerzenia.

1. Wielomian można oddzielić wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą pierwszą z jego formalną pochodną.
2. Wielomian nierozkładalny jest rozłączne wtedy i tylko wtedy, gdy jego pochodna formalna nie jest zerem.
3. Załóżmy, że K o charakterystyce p i P ( X ) jest nieredukowalnym wielomianem. Można go rozdzielić wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma wielomianu Q ( X ) w K [ X ] takiego, że mamy równość P ( X ) = Q ( X p ).
4. Niech L będzie algebraicznym rozszerzeniem K i M algebraicznych rozszerzenie L . Potem M jest oddzielić przez K , wtedy i tylko wtedy, gdy M jest oddzielić przez L i L jest oddzielić przez K .
5. Każde pole algebraiczne powyżej ciała doskonałego samo w sobie jest ciałem doskonałym.

Właściwości od 1 do 4 przedstawiono w szczegółowym artykule, a 5 wynika bezpośrednio z 4.

Charakterystyka idealnych ciał

Twierdzenie  -  ciało jest doskonałe wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma żadnej cechy ani charakterystyki , gdy endomorfizm Frobeniusa jest suriektywny (tj. Każdy element K ma pierwiastek p th in ). W szczególności każde ograniczone ciało jest doskonałe. K.{\ displaystyle K}p>0{\ displaystyle p> 0} x↦xp{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {p}}K.{\ displaystyle K}

Demonstracja

• Jeśli pole K ma charakterystykę zerową, to jest doskonałe.

Niech P ( x ) będzie nierozkładalny jednostka wielomianem K [ X ] i n jego stopnia ( n > 0). Wtedy wyraz najwyższego stopnia jego formalnej pochodnej jest równy nX n -1 , a więc nie zero (ponieważ w charakterystyce 0, n nie jest zerem), więc ta pochodna nie jest zerem, więc P ( X ) jest rozłączna.

• Przypadek cechy omówiono w paragrafie Wielomian i rozdzielność artykułu o endomorfizmie Frobeniusa.p>0{\ displaystyle p> 0}

Zobacz też

Powiązane artykuły

• Idealne ogrodzenie

• Prawie wykończone nadwozie

Linki zewnętrzne

• Krótka prezentacja rozszerzeń algebraicznych autorstwa Bernarda Le Stuma, University of Rennes 1 , 2001
• Kurs DEA z teorii Galois prowadzony przez Alaina Krausa, University of Paris VI , 1998
• Oddzielne rozszerzenia w witrynie les-mathematiques.net
• (en) Eric W. Weisstein , „  Perfect Field  ” , na MathWorld
• (pl) „  doskonałe pole  ” na PlanetMath

Bibliografia

• Teorie Régine i Adrien Douady , algebry i Galois [ szczegóły wydań ]
• Serge Lang , Algebra [ szczegóły wydania ]
• Pierre Samuel , Algebraiczna teoria liczb [ szczegół wydania ]