Matematyka mezopotamska

Obliczanie odsetek składanych służy do obliczania czasu wymaganego do podwojenia kapitału , ale wymaga to rozwiązania równań wykładniczych . Znajdujemy tylko przybliżone rozwiązanie poprzez interpolację liniową .

Algebra

Oprócz obliczeń arytmetycznych babilońscy matematycy opracowali również algorytmy rozwiązywania pewnych równań algebraicznych . Ponownie używali tabel cyfrowych.

Aby rozwiązać równanie kwadratowe , Babilończycy w zasadzie zredukowali się do formy kanonicznej

 x2+bx=vs{\ Displaystyle \ x ^ {2} + bx = c}

gdzie współczynniki b i c niekoniecznie są liczbami całkowitymi, ale gdzie c jest zawsze dodatnie. Wiedzieli, że pozytywne rozwiązanie (jedyne, które miało dla nich sens) równania tej postaci uzyskuje się ze wzoru

x=-b2+(b2)2+vs{\ Displaystyle x = - {\ dfrac {b} {2}} + {\ sqrt {\ lewo ({\ dfrac {b} {2}} \ prawo) ^ {2} + c}}}

i użył tabel kwadratów, aby znaleźć pierwiastki kwadratowe uwzględnione w tym wzorze. Wśród konkretnych stwierdzeń, które można sprowadzić do tego rodzaju obliczeń, znalazło się takie, w którym prosiło się o znalezienie wymiarów prostokąta znając jego powierzchnię i nadmiar jego długości w stosunku do szerokości.

Niektóre równania trzeciego stopnia można rozwiązać za pomocą tabel n 3 + n 2 . Na przykład niech równanie

 wx3+bx2=vs.{\ Displaystyle \ ax ^ {3} + bx ^ {2} = c.}

Mnożąc równanie przez a 2 , a następnie dzieląc go przez b 3 , otrzymujemy

(wxb)3+(wxb)2=vsw2b3.{\ Displaystyle \ lewo ({\ dfrac {ax} {b}} \ prawej) ^ {3} + \ lewo ({\ dfrac {ax} {b}} \ prawo) ^ {2} = {\ dfrac {ca ^ {2}} {b ^ {3}}}.}

Podstawiając y = ax / b , otrzymamy

y3+y2=vsw2b3{\ Displaystyle y ^ {3} + y ^ {2} = {\ dfrac {ca ^ {2}} {b ^ {3}}}}

równanie, które można rozwiązać, sprawdzając tabelę n 3 + n 2, aby znaleźć wartość najbliższą drugiemu członowi. Babilończycy przeprowadzili te obliczenia bez wykonywania operacji algebraicznych, co świadczy o niezwykłej zdolności koncentracji. Jednak nie mieli ogólnego algorytmu rozwiązywania dowolnego równania trzeciego stopnia .

Geometria

Możliwe, że Babilończycy mieli ogólne zasady obliczania powierzchni i objętości niektórych figur geometrycznych. Obliczyli obwód koła, biorąc trzykrotną średnicę, a powierzchnię koła, biorąc jedną dwunastą kwadratu obwodu, co stanowiło wartość π , którą można znaleźć w Biblii . Objętość cylindra obliczono, formując iloczyn jego podstawy na podstawie jego wysokości; z drugiej strony obliczenie objętości stożka ściętego lub piramidy o podstawie kwadratu było niepoprawne: Babilończycy utworzyli iloczyn wysokości przez połowę sumy (to znaczy średnią) podstaw. Znali twierdzenie Pitagorasa jako wzór, bez żadnego śladu dowodu jako takiego. Odkryliśmy w Susa w 1933 roku tabliczkę, w której EM Bruins i M. Rutten myśleli, aby wykryć zależność, która dowodzi użycia 3 + 1/8 jako najlepszego przybliżenia π . Otto Neugebauer potwierdza tę interpretację w swojej książce „Dokładna nauka starożytności”, podczas gdy Eleanor Robson wyraża wątpliwości co do tej interpretacji. 3{\ displaystyle 3}

Babilończycy mierzyli odległości, używając mili babilońskiej, odpowiadającej około 10  km . Ta jednostka miary miała odpowiednik godzinowy , umożliwiło przeliczenie pozycji słońca na niebie na porę dnia.

Trygonometria

Jeśli starożytni Babilończycy od wieków znali równość stosunków między bokami podobnych trójkątów , pojęcie kąta było im obce: więc ograniczyli się do rozważań na temat długości boków.

Na babilońskich astronomów przeprowadziła dokładną kronikę wschodzącego i zachodzącego z gwiazdek , ruch planet i zaćmień Słońca i Księżyca, jak wiele szczegółów, które przejmują się znajomości z odległością kąta mierzonego na sferze niebieskiej .

Babilończycy wydaje się być pierwszym w użyciu trygonometrycznych linie , o czym świadczy tabeli numerów na tablicy w piśmie klinowym , Plimpton 322 Tablet (około 1900 pne), które mogą być interpretowane jako trygonometryczne tabeli z siecznych .

Po ponownym odkryciu cywilizacji babilońskiej okazało się, że greccy matematycy i astronomowie z okresu klasycznego i hellenistycznego , zwłaszcza Hipparch z Nicei , dużo zapożyczali od Chaldejczyków .

Na przykład Franz Xaver Kugler pokazał, co następuje: Ptolemeusz w Almagest wskazuje, że Hipparch korygował czas trwania faz Księżyca przekazywanych przez „nawet starszych astronomów”, opisując obserwacje zaćmień dokonane wcześniej przez „Chaldejczyków”. " do jego. Jednak Kugler wykazał, że okresy przypisywane Hipparchowi przez Ptolemeusza były już używane w efemerydach babilońskich, a mianowicie w zbiorze zwanym „System B” (czasem przypisywanym Kidinnu ). Najwyraźniej Hipparch ograniczył się do potwierdzenia przez swoje obserwacje poprawności wartości okresów, które czytał w pismach Chaldejczyków.

Jest oczywiste, że Hipparch (i po nim Ptolemeusz) miał pełną listę obserwacji zaćmień na przestrzeni kilku stuleci. Najprawdopodobniej zostały one sporządzone z „tabliczek gazetowych”, glinianych tabliczek zawierających wszystkie istotne codzienne obserwacje Chaldejczyków. Zachowane kopie pochodzą z 652 roku pne. AD do 130 AD , ale niebiański wydarzenia zapisane tam najprawdopodobniej sięgają panowania króla Nabonassara  : dla Ptolemeusz rozpoczyna swoją chronologię pierwszego dnia egipskiego kalendarza, pierwszy rok panowania Nabonassara za, c „czyli 26 lutego , 747 pne. J.-C.

Wykorzystanie całej tej masy obserwacji nie mogło być łatwe i nie ma wątpliwości, że sami Chaldejczycy posługiwali się skróconymi tabelami zawierającymi na przykład tylko obserwowane zaćmienia (znaleźliśmy kilka tabliczek z listą wszystkich zaćmień okres odpowiadający „  saros  ”). Już te tabele pozwoliły im obserwować okresowe nawroty pewnych zjawisk. Wśród okresów wykorzystywanych w zbiorze „Systemu B” (por. Almageste IV.2) znajdujemy:

• 223 miesiące ( synodyczny ) = 239 pasaży w perygeum ( miesiąc anomalistyczny ) = 242 przejścia na linii węzłów ( miesiąc drakonicki ). Okres ten nazywany jest okresem saros  : jest bardzo przydatny do obliczania okresów występowania zaćmień .
• 251 miesięcy ( synodyczny ) = 269 pasaży w perygeum
• 5458 miesięcy ( synodyczny ) = 5923 przekroczenia linii węzłowych
• 1 synodyczny miesiąc = 29; 31: 50: 08: 20 dni (w systemie sześćdziesiętnym; 29,53059413… dni w liczbach dziesiętnych = 29 dni 12 godzin 44 min 3⅓ s)

Babilończycy określali wszystkie okresy jako miesiące synodalne, prawdopodobnie dlatego, że używali kalendarza księżycowo-słonecznego . Wybór odstępów czasu między okresowymi zjawiskami niebieskimi zachodzącymi na przestrzeni roku dał różne wartości dla długości roku.

Podobnie było kilka związków między okresami planet . Związki, które Ptolemeusz przypisuje Hipparchowi, zostały już wykorzystane do przepowiedni znalezionych na babilońskich tablicach.

Cała ta wiedza została przekazana Grekom prawdopodobnie wkrótce po podboju Aleksandra Wielkiego ( -331 ). Według filozofa Simplicius (początek VI th  wieku ), Aleksander nakazał tłumaczenie astronomiczny efemerydy Chaldejczyka i powierzył nadzór, jego biograf Kallistenes z Olint , który wysłał je do wuja Arystotelesa . Jeśli Simplicius oferuje nam tylko spóźnione zeznania, jego relacja jest nie mniej wiarygodna, ponieważ spędził jakiś czas na wygnaniu na dworze Sasanidów i miał dostęp do źródeł dokumentalnych, które zniknęły na Zachodzie. Dlatego uderzające jest to, że używa tytułu tèresis (po grecku: „strzeż”), dziwnego dla książki historycznej, ale stanowiącego dokładne tłumaczenie babilońskiego massartu, co oznacza „stać na straży”, ale także „obserwować”. W każdym razie mniej więcej w tym czasie Kalippe z Cyzicus , uczeń Arystotelesa , zaproponował zastosowanie cyklu 76-letniego, który usprawnia cykl Metona , trwający 19 lat. Rozpoczął pierwszy rok swojego pierwszego cyklu podczas przesilenia letniego ( 28 czerwca ) 330 roku pne. AD (data juliańska się wydłuża ), ale później wydaje się, że policzył miesiące księżycowe od miesiąca następującego po zwycięstwie Aleksandra w bitwie pod Gaugamelą jesienią 331 rpne. AD Tak więc Kalippe był w stanie uzyskać dane z babilońskich źródeł i jest możliwe, że kalendarz poprzedza ten z Kidinnu. Wiemy również, że babiloński kapłan znany pod imieniem Berosius napisał około 281 roku pne. Historia BC (raczej mitologiczna) w greckiej Babilonii, Babyloniaca , poświęcona nowemu monarchowi Antiochowi I st  ; i mówi się, że później założył szkołę astrologii na greckiej wyspie Kos . Inni autorzy, którzy przekazywane do wiedzy Grecy babilońskiej z astronomii - astrologii obejmują Soudinès który żył na dworze króla Attalos I st Soter na koniec III th  wieku  przed naszą erą. J.-C.

Tak czy inaczej, tłumaczenie tych zapisów astronomicznych wymagało dogłębnej znajomości pisma klinowego , języka i metod, więc jest prawdopodobne, że zadanie to zostało powierzone Chaldejczykowi, którego imię nie dotarło do nas. W rzeczywistości Babilończycy datowali swoje obserwacje w kalendarzu księżycowo-słonecznym, w którym długość miesięcy i lat nie jest ustalona (29 lub 30 dni w przypadku miesięcy; 12 lub 13 miesięcy w przypadku lat). Co więcej, w tamtym czasie nie używali jeszcze zwykłego kalendarza (opartego np. Na cyklu, jak cykl Metona ), a zaczynali miesiąc z każdym nowiu . Taka praktyka sprawiała, że ​​obliczanie czasu oddzielającego dwa zdarzenia było żmudne.

Wkład Hipparchusa musiał polegać na przeliczeniu tych danych na daty z kalendarza egipskiego , opartego na roku o ustalonym czasie trwania 365 dni (tj. 12 miesięcy po 30 dni i 5 dodatkowych dni): stąd obliczenie przedziałów czasowych jest znacznie prostsze. Ptolemeusz datował wszystkie swoje obserwacje w tym kalendarzu. Pisze ponadto, że „Wszystko, co zrobił (= Hipparch), to wygodniej uporządkowana kompilacja obserwacji planet. " Pliniusz Starszy , zajmując się przewidywaniem zaćmień, pisze:" Hipparch ogłosił po nich (= Tales) pozycje dwóch gwiazd (= Słońca i Księżyca) na następne 600 lat ... " mówią, że Hipparch przewidział zaćmienia na okres 600 lat, ale biorąc pod uwagę ogromną liczbę obliczeń, które to oznacza, jest to wysoce nieprawdopodobne. Bardziej prawdopodobne jest, że Hipparch sporządzi listę wszystkich zaćmień, które miały miejsce między czasami Nabonassera a jego.

Oto inne ślady babilońskich praktyk w dziele Hipparcha:

• Hipparch jest pierwszym greckim autorem, który podzielił okrąg na 360 stopni po 60 minut .
• był pierwszym, który systematycznie posługiwał się liczeniem sześćdziesiętnym .
• użył pechusa („łokcia”), jednostki kąta otwarcia 2 ° lub 2½ °.
• wykorzystał krótki okres 248 dni = 9 anomalistycznych miesięcy.

Matematyka babilońska i matematyka aleksandryjska

W okresie hellenistycznym matematyka i astronomia babilońska wywarły głęboki wpływ na matematyków Aleksandrii , w Egipcie Ptolemeusza, podobnie jak w okresie rzymskim . Wpływ ten jest szczególnie widoczny w pismach astronomicznych i matematycznych Hipparcha , Ptolemeusza , Herona z Aleksandrii i Diofantusa . W przypadku Diofantusa dziedzictwo babilońskie jest tak widoczne w jego Arytmetyce, że niektórzy uczeni argumentowali, iż mógł on być „ zhellenizowanym Babilończykiem  ”. Podobnie babilońskie piętno na dziełach Herona sugeruje, że uczony ten mógł pochodzić z fenickiego pochodzenia .

Matematyka w Mezopotamii po podboju muzułmańskim

Po muzułmańskiego podboju Persji , Mezopotamii wziął arabską nazwę z Iraku . Pod kalifatu Abbasydów , stolica imperium została przeniesiona do Bagdadu , miasta założonego w Iraku w VIII th  wieku . VIII th  century do XIII th  wieku , często wyznaczony termin jako „  Złotego Wieku Islamu  ” Irak Mezopotamia znaleźć środek stanu aktywności matematycznej. Wielu najwybitniejszych matematyków tamtych czasów pracowało w Iraku, w tym Al-Khawarizmi , Al-Abbās ibn Said al-Jawharī , 'Abd al-Hamīd ibn Turk , Al-Kindi (Alkindus), Hunayn ibn Ishaq (Johannitius), Banou Bracia Moussa , dynastia Thābit ibn Qurra , Albatenius , The Purity Brothers , Al-Saghani  (en) , Abū Sahl al-Qūhī , Ibn Sahl , Abu Nasr Mansur ibn Irak , Alhazen , Ibn Tahir al-Baghdadi i Ibn Yahyā al- Maghribī al-Samaw'al . Działalność matematyczna w Iraku ustała po splądrowaniu Bagdadu w 1258 roku.

Uwagi i odniesienia

1. Por. Caveing, The Morning of Mathematicians , str. 14.
2. Por. Taton, str. 51-54.
3. Por. Maurice Caveing , Le Matin des mathématiciens , str. 10.
4. Duncan J. Melville, „  Third Millennium Mathematics  ”, St. Lawrence University,2003.
5. Proust2005 , Conversions
6. E.M. Bruins , „  Overview of Babylonian Mathematics  ”, Journal of the History of Science and its Applications , tom.  3, n O  4,1950, s.  301–314 ( DOI  10.3406 / rhs.1950.2857 , czytaj online , dostęp: 27 sierpnia 2017 )
7. Robson2007 Source book , str.  85
8. Robson2007 Source book , str.  89
9. Christine Proust , „  The sześćdziesiąkowy rachunek różniczkowy w Mezopotamii  ” , na http://culturemath.ens.fr/ ,2005(dostęp 12 maja 2016 ) , Multiplication
10. Robson2007 Source book , str.  82
11. Robson2007 Source book , str.  148
12. Por. CSBC1215 na stronie CultureMATH
13. Proust2005 , Zaawansowane obliczenia numeryczne
14. Jens Høyrup, Algebra in Babylonian Times , Vuibert Adapt-Snes, 2010, s.  18
15. David Fowler, Eleanor Robson, " Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context ", Historia mathematica , 25, 1998, s.  375
16. (w) Jens Høyrup , Lengths, Widths , Surfaces: A Portrait of Old Babylonian Algebra and Its Kin , Springer Science & Business Media, 2013, s. 29 uwaga 50
17. Roger L. Cooke, historii matematyki, kurs Brief , 3 th edition, s. 244
18. Bruins (EM) i Rutten (M.). Matematyczne teksty Susy (Wspomnienia misji archeologicznej w Iranie, t. XXXIV), 1961
19. Otto Neugebauer , Dokładna nauka o starożytności, str. 47 w Google Books
20. Eleanor Robson, Mesopotamian Mathematics, 2100-1600 BC: Technical Constants in Bureaucracy and Education , Clarendon press, 1999, strona 42
21. Zobacz Eves, rozdział 2.
22. (w) Carl B. Boyer , A History of Mathematics , Nowy Jork, Wiley ,1991, 2 II  wyd. , 715,  s. ( ISBN  978-0-471-54397-8 ) , „Grecka trygonometria i mierzenie” , str.  158-159
23. Por. Eli Maor , Trygonometryczne rozkosze , Princeton University Press ,1998, 236  str. ( ISBN  0-691-09541-8 , czytaj online ) , str.  20.
24. Por. Joseph, str. 383-4 i Eli Maor , Trigonometric Delights , Princeton University Press ,1998, 236  str. ( ISBN  0-691-09541-8 , czytaj online ) , str.  32.
25. Franz Xaver Kugler, Die Babylonische Mondrechnung , Freiburg im Breisgau, Herder,1900
26. Almageste , książka IV, rozdz. 2
27. Por. Almageste , IX.3
28. Almagest IX.2
29. Naturalis Historia II.IX (53).
30. Zobacz DM Burton, History of Mathematics , Dubuque, Indiana, Wm.C. Brown Publishers,1991( przedruk  1995) : „Jest całkiem prawdopodobne, że Diofant był zhellenizowanym Babilończykiem . "
31. (en) Carl Benjamin Boyer , Historia matematyki ,1968( przedruk  1991) , „Greek Trigonometry and Mensuration” , str.  171-172 :

    „Od czasów Aleksandra Wielkiego, przynajmniej do upadku cywilizacji klasycznej, niewątpliwie miały miejsce intensywne wymiany między Grecją a Mezopotamią i wydaje się jasne, że arytmetyka babilońska i algebra geometryczna nadal wywierały znaczny wpływ na świat hellenistyczny. Tak więc ten aspekt matematyki jest tak widoczny w Heronie z Aleksandrii (której szczyt przypada na około 100 rne), że moglibyśmy wierzyć, że jest raczej Egipcjaninem lub Fenicjaninem niż Grekiem. Obecnie uważa się, że Heron reprezentuje rodzaj matematyki, która zawsze była praktykowana w Grecji, ale która nie miała swojego przedstawiciela wśród wielkich postaci - może z wyjątkiem Ptolemeusza z Tetrabiblos . "

• (fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „  Babylonian_mathematics  ” ( zobacz listę autorów ) .

Zobacz też

Bibliografia