Liczba bardzo złożona

Liczba wysoce złożona to ściśle dodatnia liczba całkowita, która ma ściśle więcej dzielników niż liczba poprzedzająca ją.

Raymond Badiou zaproponował nazwanie ich liczbami plutonów ( plutos , boskość bogactwa).

Historyczny

Definicję i nazewnictwo tych liczb wprowadził w 1915 roku Srinivasa Ramanujan .

Jednak Jean-Pierre Kahane zasugerował, że koncepcja ta była znana Platonowi, który ustanowił w 5040 r . Idealną liczbę mieszkańców miasta, jego własność polegała na tym, że posiadał wiele podziałów, co pozwalało na podzielenie ich na wiele podgrup o tej samej wielkości. Bardziej prawdopodobne jest, że 5040 został po prostu wybrany ze względu na jego właściwość równości . ${\ Displaystyle 7! = 2 \ razy 3 \ razy 4 \ razy 5 \ razy 6 \ razy 7}$

Pierwsze wartości

Pierwsze dwadzieścia jeden wysoce złożonych liczb jest następujące (osiem z nich, podkreślonych, jest nawet bardzo złożonych ):

Numery wysoce związków (ciąg dalszy A002182 z OEIS )	1	2	4	6	12	24	36	48	60	120	180	240	360	720	840	1,260	1,680	2,520	5,040	7,560	10,080
Liczby dodatnie dzielników (ciąg dalszy A002183 z OEIS )	1	2	3	4	6	8	9	10	12	16	18	20	24	30	32	36	40	48	60	64	72
faktoryzacja podstawowa		2	2²	2 3	2² 3	2³ 3	2² 3²	2⁴ 3	2² 3 5	2³ 3 5	2² 3² 5	2⁴ 3 5	2³ 3² 5	2⁴ 3² 5	2³ 3 5 7	2² 3² 5 7	2⁴ 3 5 7	2³ 3² 5 7	2⁴ 3² 5 7	2³ 3³ 5 7	2⁵ 3² 5 7
rozkład na produkt pierwiastków		2	2 2	6	2 6	2 2 6	6 2	2 3 6	2 30	2 2 30	6 30	2 3 30	2 6 30	2 2 6 30	2 2 210,	6 210,	2 3 210,	2 6 210,	2 2 6 210,	6 2 210,	2 3 6 210,

Możemy zauważyć, że pierwszych 7 silni :, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040jest silnie złożonych, ale 8!=40320tak nie jest.

Zmniejszenie wykładników rozkładu na iloczyn czynników pierwszych

Aby dać wyobrażenie o postaci liczby wysoce złożonej, możemy powiedzieć, że jest to liczba mająca możliwie najmniejsze czynniki pierwsze , która nie jest taka sama zbyt wiele razy. Rzeczywiście, jeśli rozważymy rozkład liczby całkowitej na czynniki pierwsze w następujący sposób: $n> 1$

n = p_ {1} ^ {{c_ {1}}} \ times p_ {2} ^ {{c_ {2}}} \ times \ cdots \ times p_ {k} ^ {{c_ {k}}}

gdzie są pierwsze liczby pierwsze, a ostatni wykładnik jest różny od zera, to liczba dzielników wynosi: ${\ Displaystyle p_ {1} = 2 <p_ {2} = 3 <... <p_ {k}}$ $k$ ${\ displaystyle c_ {k}}$ $nie$

(c_ {1} +1) \ times (c_ {2} +1) \ times \ cdots \ times (c_ {k} +1).

W konsekwencji, aby była wysoce złożona, konieczne jest, aby (w przeciwnym razie, zamieniając dwa błędne wykładniki, zmniejszamy przy zachowaniu tej samej liczby dzielników: na przykład 18 = 2 1 × 3 2 można zastąpić 12 = 2 2 × 3 1 , każdy ma 6 dzielników). Ten warunek konieczny jest równoważny z: jest rozkładalny na produkty pierwiastków . Dlatego każda liczba wysoce złożona jest liczbą praktyczną . $nie$ ${\ Displaystyle c_ {1} \ geqslant c_ {2} \ geqslant ... \ geqslant c_ {k}}$ $nie$ $nie$

Ten warunek jest niestety niewystarczający; na przykład spełnia warunek rozpadu, ale nie jest wysoce złożony: ma również 12 dzielników, będąc jednak ściśle mniejszym. ${\ Displaystyle 96 = 2 ^ {5} .3}$ ${\ Displaystyle 60 = 2 ^ {2} .3,5}$

Możemy również pokazać, że zawsze , z wyjątkiem dwóch szczególnych przypadków i . $c_ {k} = 1$ $n = 4$ ${\ displaystyle n = 36}$

Własność obfitości

Liczby bardzo złożone, ściśle większe niż 6, są również licznymi liczebnymi . Potrzeba jednego spojrzenia na trzy lub cztery najwyższe dzielniki określonej liczby wysoce złożonej, aby potwierdzić ten fakt.

Ocena asymptotyczna

Jeśli reprezentuje ilość wysoce złożonych liczb, które są mniejsze lub równe , w szczególności Ramanujan to wykazał $Q (x)$ $x$

\ lim _ {{x \ to \ infty}} Q (x) / \ ln x = + \ infty,

co dowodzi, że istnieje nieskończona liczba wysoce złożonych liczb.

Dokładniej, istnieje stałe b takie, że

({\ ln x}) ^ {{35/32}} \ leq Q (x) \ leq ({\ ln x}) ^ {b}.

Redukcja od zostało udowodnione przez Paul Erdős w 1944 roku i wzrost o Jean-Louis Nicolas (PL) w 1971 roku. $Q (x)$

Przykład

Wysoce złożona liczba 10080 = 2 5 × 3 2 × 5 × 7 ma 72 dzielniki.
1 × 10080	2 × 5040	3 × 3360	4 × 2520	5 × 2016	6 × 1680
7 × 1440	8 × 1260	9 × 1120	10 × 1008	12 × 840	14 × 720
15 × 672	16 × 630	18 × 560	20 × 504	21 × 480	24 × 420
28 × 360	30 × 336	32 × 315	35 × 288	36 × 280	40 × 252
42 × 240	45 × 224	48 × 210	56 × 180	60 × 168	63 × 160
70 × 144	72 × 140	80 × 126	84 × 120	90 × 112	96 × 105
Liczby zaznaczone pogrubioną czcionką są same w sobie bardzo złożone. Brakuje tylko dwudziestej liczebnie złożonej liczby 7560 (= 3 × 2520).

Liczba 10 080 jest również „ 7-krucha ”, to znaczy, że wszystkie jej czynniki pierwsze są mniejsze lub równe 7.

posługiwać się

Niektóre z tych liczb są używane w tradycyjnych systemach pomiarowych i są zwykle używane w inżynierii ze względu na ich użycie w skomplikowanych obliczeniach frakcji , takich jak 12 i 60.

Uwagi i odniesienia

(en) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Wysoce złożony numer ” ( zobacz listę autorów ) .

Raymond Badiou, " O liczbach całkowitych" bogatych w dzielniki " , Bulletin de l'APMEP N ° 249 ,Wrzesień 1965, s. 409-414 ( czytaj online )
(i) S Ramanujana , „ liczba wysoce złożone ” , Proc. London Math. Soc. (2) , t. 14,1915, s. 347-409 ( DOI 10.1112 / plms / s2_14.1.347 , zbMATH 45.1248.01 ).
(w) Kahane, Jean-Pierre, " Zwoje Bernoulliego i podobne środki po-Erdős: osobiste przekąski " , Uwagi Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego ,luty 2015, s. 136–140.
(w :) P. Erdős , „ złożone to wysoce liczbowe ” , J. London Math. Soc. , vol. 19,1944, s. 130-133 ( czytaj online ).
J.-L. Nicolas, „Dystrybucja wysoce złożonych liczb Ramanujana”, Kanada. J. Math. , lot. 23, nr 1, 1971, s. 116-130 .

Zobacz też

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

(en) Eric W. Weisstein , „ Highly Composite Number ” , na MathWorld
(en) Bill Lauritzen, „ Versatile Numbers: Self-Organisation, Emergence and Economics ” ,sierpień 2000
(en) Algorytm i listy na starej stronie internetowej (1998) autorstwa Kirana Kedlaya (de)