Trygonometria (od greckiego τρίγωνος / trígonos „trójkątny” i μέτρον / Metron „środek”) jest gałęzią matematyki , który dotyczy relacji między odległości i kątów w trójkątach i trygonometrycznych funkcji , takich jak sinus , cosinus , tangens .
Początki trygonometrii sięgają cywilizacji starożytnego Egiptu , Mezopotamii i Doliny Indusu ponad 4000 lat temu. Wygląda na to, że Babilończycy oparli trygonometrię na systemie liczbowym o podstawie 60.
Mówi się, że paleo-babilońska tabliczka Plimpton 322 ( ok. -1800 ) przedstawia podstawy trygonometrii.
Greccy astronomowieGrecki astronom i matematyk Hipparch z Nicei ( -190 ; -120 ) zbudował pierwsze tablice trygonometryczne w formie tablic sznurków: odpowiadały one każdej wartości kąta w środku (z podziałem koła w 360 °) , długość cięciwy przeciętej w okręgu, dla danego stałego promienia. Obliczenie to odpowiada podwójnemu sinusowi połowy kąta, a zatem daje w pewnym sensie to, co dziś nazywamy tablicą sinusów. Jednak tablice Hipparcha, które nie dotarły do nas, są nam znane tylko przez greckiego Ptolemeusza , który opublikował je około 150 roku, wraz z ich sposobem konstrukcji w swoim Almagest . W ten sposób zostały ponownie odkryte pod koniec średniowiecza przez Georga von Purbacha i jego ucznia Regiomontanus . Przypisuje się Menelaos z Aleksandrii (późno I st wieku) zmian w trygonometrii sferycznej , przynajmniej częściowo obecny w Almagestu i długich przypisywanych samego Ptolemeusza.
indyjscy matematycyOkoło 400 roku powstał indyjski traktat o astronomii Surya Siddhanta , inspirowany astronomią grecką, ale wnoszący innowację dotyczącą trygonometrii. Podczas gdy greccy matematycy kojarzyli pomiar cięciwy z łukiem, w pracy preferowano kojarzenie półstruny z danym łukiem. To da początek koncepcji zatok. Tak samo będzie później z matematykami arabskimi. Indyjski matematyk Aryabhata w 499 r. podaje tablicę sinusów i cosinusów. Używa zya dla sinusa, kotizya dla cosinusa i otkram zya dla odwrotności sinusa. Wprowadza również zatoki .
Inny indyjski matematyk, Brahmagupta , używa interpolacji numerycznej w 628 do obliczenia wartości sinusów do drugiego rzędu.
Powstanie w świecie muzułmańskimTo w świecie muzułmańskim trygonometria przyjmuje status pełnoprawnej dyscypliny i wyróżnia się na tle astronomii.
Abu l-Wafa ( 940 - 998 ) upraszcza Almagest Ptolemeusza, zastępując twierdzenie Ptolemeusza (które nazywa metodą czworokątną i metodą sześciu wielkości ) wzorami trygonometrycznymi porównywalnymi z naszymi (na przykład sinus sumy dwóch łuków). Omar Khayyam ( 1048 - 1131 ) łączy wykorzystanie trygonometrii i teorii aproksymacji, aby zapewnić metody rozwiązywania równań algebraicznych za pomocą geometrii. Szczegółowe metody konstruowania tablic sinusów i cosinusów dla wszystkich kątów zostały napisane przez matematyka Bhaskarę II w 1150 roku . Opracowuje również trygonometrię sferyczną . W XIII -go wieku , Nasir al-Din Tusi po Bhaskara, jest prawdopodobnie jednym z pierwszych w leczeniu trygonometrii jako odrębnej dyscypliny matematyki. Wreszcie w XIV -tego wieku , Al-Kashi Tworzy tabele funkcji trygonometrycznych w nauce astronomii.
W Europie: ponowne odkrycie PtolemeuszaW 1220 roku w Europie Fibonacci zaproponował w swojej Practica Geometriae tablicę trygonometryczną , która niestety zawierała kilka błędów.
Realizacja konkretnych działań trygonometrycznych rozwija się w kierunku środka XV th wieku, wraz z tłumaczeniem na język łaciński dzieł Ptolemeusza. Pionierami w tej dziedzinie są Georg von Peuerbach, a zwłaszcza jego uczeń Regiomontanus . Ten ostatni przyjmuje pojęcie sinusa używane przez matematyków indyjskich i arabskich. Rysuje tabelę sinusów o promieniu 600 000 jednostek, następnie 10 000 000 jednostek, a także daje tabelę styczną. Po wczesnej XVI th traktatów wiecznych Oronteus Finaeus , Pedro Nunes i Joachim Retyka . Ten ostatni sporządza tabelę trygonometryczną dla promienia 10-15 jednostek iz przyrostem 10 sekund łuku. Matematyk śląski Bartholomäus Pitiscus opublikował w 1595 roku niezwykłe dzieło o trygonometrii , którego tytuł ( Trigonometria ) nadał tej dyscyplinie nazwę. To flamandzki matematyk Adrien Romain wprowadził współczesną notację .
Wykorzystanie promieni o potędze 10 jako miary i rozwój obliczeń dziesiętnych pod koniec XVI wieku , wraz z François Viète i Simonem Stevinem , stopniowo doprowadziły do powstania promienia jednostkowego i wprowadzenia go jako liczby , a nie jako stosunek dwóch długości.
Do zastosowania trygonometrii są bardzo liczne. W szczególności znajduje zastosowanie w astronomii i nawigacji, w szczególności przy technice triangulacji . Inne dziedziny, w których stosuje się trygonometrię to (lista niewyczerpująca): fizyka , elektryczność , elektronika , mechanika , akustyka , optyka , statystyka , ekonomia , biologia , chemia , medycyna , meteorologia , geodezja , geografia , kartografia , kryptografia , informatyka , itp.
Jedną z możliwych definicji funkcji trygonometrycznych jest użycie trójkątów prostokątnych, to znaczy trójkątów, które mają kąt prosty (90 stopni lub π/2 radiany ).
A ponieważ suma kątów o trójkąta wynosi 180 ° (lub gatunku rad), największy kąt w taki trójkąta jest kątem prostym. Najdłuższy bok w trójkącie prostokątnym, czyli bok przeciwny do większego kąta (kąta prostego), nazywa się przeciwprostokątną .
Na rysunku po prawej kąt tworzy kąt prosty. Strona [ AB ] to przeciwprostokątna.
Funkcje trygonometryczne definiuje się następująco, odnotowując kąt :
To są najważniejsze funkcje trygonometryczne. Zostały one zdefiniowane dla kątów między 0 ° a 90 ° (tj. między 0 a π / 2 radiany). Używając okręgu jednostkowego , możemy rozszerzyć tę definicję na dowolny kąt, co zostało omówione w artykule Funkcje trygonometryczne .
Niezależnie od rzeczywistego , mamy (zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa ):
Dwie główne formuły to formuły dodawania cosinusa i sinusa:
; .Wyprowadzamy, że dla stycznej:
,i różnicy wzorów (zastępując B przez -B , wiedząc, że funkcja cosinus jest pair, a funkcje sinus i tangens są nieparzyste ).
Z formuły dodawania i różnicy ( patrz wyżej ) wyprowadzamy:
Rozwój , w szczególności , , w szczególności , ; Faktoring , , .Te formuły wiążą się z wieloma problemami. Przez zapytanie :
,mamy :
.Wyniki podane tutaj iw następnych rozdziałach dotyczą pomiarów w geometrii euklidesowej . Badania nad tymi samymi zagadnieniami w geometrii sferycznej przedstawiono w artykule Trygonometria sferyczna , aw geometrii hiperbolicznej w artykule Funkcja hiperboliczna .
Dla trójkąta ABC o bokach a = BC, b = AC i c = AB mamy ( prawo cosinusów ):
.Formuła ta ma szczególne znaczenie w triangulacji i była pierwotnie stosowana w astronomii. Trzeba Ghiyath matematyka al-Kashi , Szkoła Samarkandzie , do twierdzenia w formie użytkowej dla triangulacji podczas XV -go wieku.
Uwaga: kiedy lub , mamy , czyli twierdzenie Pitagorasa.
Rozwiązanie trójkąta to, mając jeden bok i dwa sąsiednie kąty, lub jeden kąt i dwa sąsiednie boki, lub co najwyżej dwa boki b i c oraz ich kąt B , znalezienie odpowiedniego trójkąta, czyli powiedzmy a , b , c , A , B i C (i zaznacz jedną z reguł, które nie zostały zastosowane w procesie).
Tego rodzaju problem rozwiązujemy za pomocą poprzednich wzorów (plus oczywisty wzór rzutowania a = b · cos C + c · cos B ).
Na przykład :
Na Ox osi , OB = 1 i OC = 1,5. OBM = 60 ° i OCM = 30 °. Znajdź M: Zrób rysunek; M znajduje się przy ( x = 0,75; y = 0,45) w przybliżeniu. Powód: w trójkącie BMC B = 120 ° i C = 30 °, a więc M = 30 °; dlatego trójkąt jest równoramienny w B i BM ' =0,5. Następnie . Niech H będzie rzutem M na oś: HM = y, a kąt HMB ma wartość 30°. i . Odległość , azymut M wynosi 30°, a kąt OMB wynosi 90°.Rzadko kiedy jest to tak proste w praktyce.
Zwykle wymagane są od czterech do sześciu cyfr znaczących. Kalkulatory znacznie ograniczyły dość żmudną pracę „redukowania trójkątów”. Przypomnijmy, że miarą stopnia południka łuku Paryżu ziemi nastąpiło w ten sposób między Malvoisine i Montlhéry przez Abbe Picard , w połowie XVII th wieku.
Pole A trójkąta określa się za pomocą długości dwóch boków i sinusa kąta, który tworzą:
.Z takiej równości, zastosowanej do każdego wierzchołka trójkąta, możemy wywnioskować prawo sinusów .
Poprzednia formuła, uzupełniona prawem cosinusów , umożliwia również ustalenie wzoru Herona :
,gdzie a , b i c są długościami jego boków, a p oznacza połowę obwodu trójkąta:
.John Machin jako pierwszy obliczył π ze 100 miejscami po przecinku, w 1706 roku, używając swojego wzoru . Wzory tego typu były do dziś używane do obliczania dużej liczby miejsc po przecinku π .