Prawo cosinusowe
Matematyki The prawo cosinus jest twierdzenie od geometrii powszechnie stosowane w trygonometrii , który łączy się z trójkąta długość jednego boku na drugi dwa i cosinus w kącie utworzonym przez te dwa boki. To prawo wyraża się w podobny sposób w geometrii płaskiej, sferycznej lub hiperbolicznej .
Jeśli chodzi o geometrię płaską, jest ona również znana pod nazwą twierdzenia Al-Kashiego we Francji lub uogólnionego twierdzenia Pitagorasa . Rzeczywiście uogólnia twierdzenie Pitagorasa na trójkąty inne niż prostokątne. Chociaż podobny wynik (tylko z długością) był już znany Euklidesowi, francuskie imię perskiego matematyka Ghiyatha Al-Kashiego (1380-1429) pojawiło się w latach 90.w podręcznikach szkolnych opublikowanych we Francji, teorème uogólniło pitagorejczyk lub prawo cosinusy były używane do tego czasu.
W geometrii płaskiej
Stany
Prawo cosinusów jest określone następująco:
Rozważmy trójkąt ABC, w którym używamy zwykłych oznaczeń przedstawionych na rysunku 1: z jednej strony
α ,
β i
γ dla kątów, az drugiej strony
a ,
b i
c dla długości boków odpowiednio przeciwnych do te kąty. Następnie weryfikowana jest następująca równość:
vs2=w2+b2-2wb sałata γ.{\ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ \ cos \ \ gamma.}
Historia
Elements of Euklidesa sięga III th century BC. J. - C., zawierał już podejście geometryczne uogólnienia twierdzenia Pitagorasa : zdania 12 i 13 księgi II , traktują oddzielnie przypadek trójkąta rozwartego i trójkąta trójkątnego . Brak funkcji trygonometrycznej i algebry zobowiązuje do sformułowania twierdzenia w kategoriach różnic pól. Dlatego twierdzenie 12 stwierdza:
"W trójkątach rozwartych kwadrat boku leżącego pod kątem rozwartym jest większy niż kwadraty boków, które obejmują kąt rozwarty, dwukrotność prostokąta zawartego pod kątem boków kąta rozwartego, na przedłużeniu którego pada prostopad, i pod linią biegnącą na zewnątrz od prostopadłej do kąta rozwartego. "
- Euclid, The Elements
Zauważając ABC, trójkąt rozwarty C i H, stopę wysokości wynikającej z B , współczesne zapisy pozwalają podsumować stwierdzenie w następujący sposób:
Wb2=VSW2+VSb2+2VSH.×WVS{\ Displaystyle AB ^ {2} = CA ^ {2} + CB ^ {2} + 2CH \ razy AC}
Dopiero w średniowiecznej trygonometrii arabsko-muzułmańskiej twierdzenie ewoluowało w swojej formie i zakresie. W tym samym okresie tworzone są pierwsze tabele trygonometryczne dla funkcji sinus i cosinus . W 1428 roku znajdujemy stwierdzenie twierdzenia, używając cosinusów, w pracy al-Kashi , Klucze arytmetyki .
Jest na początku XIX e wieku , że nowoczesne algebraiczne notacje umożliwić napisać twierdzenie w obecnej formie i że trwa w wielu językach nazwę prawa (lub twierdzenia cosinusów) z.
Twierdzenie i jego zastosowania
Prawo cosinusów uogólnia twierdzenie Pitagorasa , ponieważ pozwala stwierdzić, że kąt γ jest prawy (innymi słowy cos γ = 0 ) wtedy i tylko wtedy, gdy c 2 = a 2 + b 2 .
Mówiąc bardziej ogólnie, twierdzenie jest używane w triangulacji do rozwiązania trójkąta , a mianowicie do określenia
- trzeci bok trójkąta, dla którego znamy kąt i przyległe boki:
vs=w2+b2-2wbsałataγ{\ Displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma}}} ;
- kąty trójkąta, którego trzy boki znamy:
γ=arccosw2+b2-vs22wb.{\ Displaystyle \ gamma = \ arccos {\ dfrac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}}.}Preparaty te są ilościowo nietrwałe w przypadku trójkątów stykowych, to znaczy, gdy C jest niewielka przed i b - albo równoważnie, gdy γ jest niewielka przed 1.
Istnieje następstwo prawa cosinusów: dla dwóch bezpośrednio podobnych trójkątów ABC i A'B'C '
vsvs′=ww′+bb′-(wb′+w′b)sałataγ.{\ Displaystyle cc '= aa' + bb '- (ab' + a'b) \ cos \ gamma. \,}
Demonstracje
Podobnie jak twierdzenie Pitagorasa , prawo cosinusa ma wiele dowodów, niektóre wykorzystują właściwości pola, takie jak prawo Euklidesa lub prawo cosinusa, inne używają właściwości trygonometrycznych lub związanych z okręgami. Wreszcie, prawo cosinusów można postrzegać jako zastosowanie właściwości na iloczyn skalarny .
Demonstracja Euclida
Wykazanie Euklidesie według twierdzenia 12 (rozwartym) i 13 (kąt ostry) opiera się na twierdzenie Pitagorasa i obejmuje punkt H wysokość stopy po B . W przypadku Euclid ta nieruchomość jest własnością obszarów. Dla kąta rozwartego (twierdzenie 12), Euclid konstruuje kwadrat na zewnątrz trójkąta AHB boku [ AH ] i zauważa, że
WH.2=VSH.2+VSW2+2×VSH.×WVS{\ Displaystyle AH ^ {2} = CH ^ {2} + CA ^ {2} +2 \ razy CH \ razy AC}Wtedy wystarczy mu dodać pole kwadratu o boku HB
WH.2+H.b2=H.b2+VSH.2+VSW2+2×VSH.×WVS{\ Displaystyle AH ^ {2} + HB ^ {2} = HB ^ {2} + CH ^ {2} + CA ^ {2} +2 \ razy CH \ razy AC}i dwukrotnie użyj twierdzenia Pitagorasa
w prawym trójkącie AHB
Wb2=WH.2+H.b2{\ Displaystyle AB ^ {2} = AH ^ {2} + HB ^ {2}}
w prawym trójkącie CHB
VSb2=H.b2+VSH.2{\ Displaystyle CB ^ {2} = HB ^ {2} + CH ^ {2}}
Po uproszczeniu otrzymujemy
Wb2=VSW2+VSb2+2×VSH.×WVS{\ Displaystyle AB ^ {2} = CA ^ {2} + CB ^ {2} +2 \ razy CH \ razy AC}Podobną demonstrację można przeprowadzić dla kąta ostrego.
Demonstracja Al-Kashi
W swojej książce Key to Arithmetic z 1429 roku Al-Kashi uogólnia twierdzenie Pitagorasa i wprowadza trygonometrię do równości.
Dla niego również ta nieruchomość jest powiązana z obszarami. Tak więc w trójkącie trójkątnym ABC prowadzi przez A , B i C 3 wysokości trójkąta, które wycinają prostokąty z kwadratów na podstawie CB , CA i AB .
Na rysunku obok udowadniamy równość pól zielonych prostokątów, udowadniając równość pól trójkątów
-
JAE i JAB przesuwając wierzchołek równolegle do podstawy;
-
JAB i CAM poprzez obrót pod kątem prostym;
-
CAM i FAM , przesuwając wierzchołek równolegle do podstawy.
Robimy to samo dla czerwonych prostokątów.
Jeśli chodzi o niebieskie prostokąty, których boki mają długość CL (= CA ) i CE (= CB cos C ), dla jednego i CI (= CB ) i CD (= CA cos C ) dla drugiego, mają one tę samą powierzchnię równą CA x CB x cos C .
Wnioskujemy sumą
VSW2+VSb2=Wb2+2VSW×VSb×sałataVS{\ Displaystyle CA ^ {2} + CB ^ {2} = AB ^ {2} + 2CA \ razy CB \ razy \ cos C}
Podobna demonstracja jest możliwa dla trójkąta rozwartego, działając przez odejmowanie pól.
Przez podział obszarów
Szereg twierdzeń o demonstracjach obejmujących obliczanie powierzchni . Rzeczywiście należy to zauważyć
-
a 2 , b 2 i c 2 są polami kwadratów o odpowiednich bokach a , b i c ;
-
ab | cos γ | to równoległobok boków a i b tworzących kąt π / 2 - γ , zmiana znaku cos γ, gdy kąt γ staje się rozwarty, co powoduje, że studium przypadku jest obowiązkowe.
Rysunek 6a (obok) przecina siedmiokąt na dwa różne sposoby, aby zademonstrować twierdzenie Al-Kashiego w przypadku kąta ostrego. Prelegenci:
- na różowo, obszary a 2 , b 2 po lewej i obszary ab cos γ i c 2 po prawej;
- na niebiesko trójkąt ABC, po prawej jak po lewej;
- na szaro kilka dodatkowych trójkątów, identycznych z trójkątem ABC iw tej samej liczbie w dwóch wycięciach.
Równość obszarów po prawej i po lewej stronie daje
w2+b2=vs2+2wbsałataγ{\ Displaystyle \, a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} + 2ab \ cos \ gamma}.
Rysunek 6b (obok) wycina sześciokąt na dwa różne sposoby, aby zademonstrować twierdzenie Al-Kashiego w przypadku kąta rozwartego. Rysunek pokazuje
- na różowo, po lewej stronie pola a 2 , b 2 i –2 ab cos γ , a po prawej stronie c 2 ;
- na niebiesko, dwa razy trójkąt ABC, po prawej i po lewej stronie.
Równość obszarów po prawej i lewej stronie daje
w2+b2-2wbsałataγ=vs2{\ Displaystyle \, a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma = c ^ {2}}.
Rygorystyczna demonstracja wymagałaby udowodnienia, że te dwa podziały są rzeczywiście identyczne, co wykorzystuje głównie przypadki równości trójkątów .
Według twierdzenia Pitagorasa
Rysunek 7 (obok) pokazuje, jak postępować, aby zademonstrować prawo cosinusów w przypadku trójkąta z kątami ostrymi , używając twierdzenia Pitagorasa na prawym pod-trójkącie utworzonym przez obliczenie stopy wysokości. Na rysunku nie wskazano tylko ostatniego kroku: twierdzenie Pitagorasa odnosi się do trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątna jest bokiem c :
vs2=(b-wsałataγ)2+(wgrzechγ)2=b2-2wbsałataγ+w2sałata2γ+w2grzech2γ.{\ Displaystyle c ^ {2} = (ba \ cos \ gamma) ^ {2} + (a \ sin \ gamma) ^ {2} = b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma + a ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma.}Używanie niezwykłej tożsamości
sałata2γ+grzech2γ=1,{\ Displaystyle \ cos ^ {2} \ gamma + \ sin ^ {2} \ gamma = 1,}otrzymujemy oczekiwany efekt, po uproszczeniu:
vs2=b2+w2-2wbsałataγ.{\ Displaystyle c ^ {2} = b ^ {2} + a ^ {2} -2ab \ cos \ gamma.}Metoda jest we wszystkich punktach podobna dla kątów rozwartych i prowadzi do identycznego wyniku.
Wykorzystanie potęgi punktu w odniesieniu do koła
Rozważamy okrąg o środku B i promieniu [ BC ] (por. Rysunek obok). Przecina linię ( AC ) w C i K . Moc punktu A w odniesieniu do wspomnianego okręgu jest:
Wb2-bVS2=WVS¯⋅WK.¯=WVS¯⋅(WVS¯+VSK.¯){\ Displaystyle \ mathrm {AB} ^ {2} - \ mathrm {BC} ^ {2} = {\ overline {\ mathrm {AC}}} \ cdot {\ overline {\ mathrm {AK}}} = {\ overline {\ mathrm {AC}}} \ cdot ({\ overline {\ mathrm {AC}}} + {\ overline {\ mathrm {CK}}})}Skąd
vs2-w2=b(b-2w sałata γ){\ Displaystyle c ^ {2} -a ^ {2} = b \, (b-2a \ \ cos \ \ gamma)}.
W przeciwieństwie do poprzednich, w przypadku tej demonstracji nie trzeba uciekać się do studium przypadku. Rzeczywiście, pomiary algebraiczne umożliwiają traktowanie kąta ostrego ( CK <0) i kąta rozwartego ( CK > 0) w ten sam sposób.
Znaleźć ślady użycia siły punktu względem okręgu do ustalenia wszystkich kątów trójkąta, którego odcinki są znane w dziele Mikołaja Kopernika , obrotach sfer niebieskich . W ten sposób przedstawia dwa algorytmy, jeden wykorzystujący uogólnione twierdzenie Pitagorasa obecne w pracy Euklidesa, a drugi wykorzystujący potęgę punktu względem koła.
Tak więc na figurze podobnej do figury przeciwnej wskazuje, że znając a i c , znana jest potęga punktu A w odniesieniu do narysowanego koła
w obecnym języku matematycznym jest to
c 2 - a 2
Wnioskuje, że skoro znane jest b, to znane jest AK.
Rzeczywiście dlatego
WK.×b=vs2-w2{\ Displaystyle AK \ razy b = c ^ {2} -a ^ {2}}WK.=vs2-w2b.{\ Displaystyle AK = {\ Frac {C ^ {2} -a ^ {2}} {b}}.}
Ponieważ znane jest AK, znane jest CK .
Rzeczywiście, na rysunku obok
VSK.=WK.-b=vs2-w2-b2b.{\ Displaystyle CK = AK-b = {\ Frac {C ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {b}}.}
Na koniec zwraca uwagę, że znając CK , znany jest kąt KCB .
W rzeczy samej,
sałata(K.VSb)=VSK.2w=vs2-w2-b22wb.{\ Displaystyle \ cos (KCB) = {\ Frac {CK} {2a}} = {\ Frac {C ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {2ab}}.}
A skoro znany jest kąt KCB , tak samo jest z kątem ACB .
W ten sposób znajdujemy regułę cosinus:
sałata(γ)=w2+b2-vs22wb{\ Displaystyle \ cos (\ gamma) = {\ Frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}}}
Nie zajmując się pomiarami algebraicznymi, Mikołaj Kopernik przedstawia dwa scenariusze dla kąta rozwartego i kąta ostrego, pracuje na okręgu, którego promień odpowiada najmniejszemu bokowi i nie przedstawia wzoru, ale algorytm obliczeniowy. W analogiczny sposób potęgę punktu w odniesieniu do koła do znalezienia reguły cosinusa stosuje Pitiscus .
Korzystanie z iloczynu skalarnego
Korzystając z obliczenia wektorów , a dokładniej iloczynu skalarnego , można znaleźć prawo cosinusów w kilku wierszach:
vs2=‖Wb→‖2=‖VSb→-VSW→‖2=‖VSb→‖2-2⋅VSb→⋅VSW→+‖VSW→‖2=VSb2-2⋅|VSb|⋅|VSW|sałataWVSb^+VSW2=w2+b2-2wbsałataγ.{\ displaystyle {\ begin {aligned} c ^ {2} & = \ lVert {\ overrightarrow {AB}} \ lVert ^ {2} \\ & = \ lVert {\ overrightarrow {CB}} - {\ overrightarrow {CA }} \ lVert ^ {2} \\ & = \ lVert {\ overrightarrow {CB}} \ lVert ^ {2} -2 \ cdot {\ overrightarrow {CB}} \ cdot {\ overrightarrow {CA}} + \ lVert {\ overrightarrow {CA}} \ lVert ^ {2} \\ & = CB ^ {2} -2 \ cdot \ left | CB \ right | \ cdot \ left | CA \ right | \ cos {\ widehat {ACB} } + \ mathrm {CA} ^ {2} \\ & = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma \ ,. \ end {aligned}}}
W geometrii nieeuklidesowej
Dla każdego nieeuklidesowa powierzchni od krzywizny K określamy promień krzywizny ρ przez:
ρ=1/|K.|,{\ displaystyle \ rho = 1 / {\ sqrt {| K |}},}wtedy zredukowane wymiary a , b i c trójkąta przez:
w=bVS/ρ,b=WVS/ρ,vs=Wb/ρ.{\ Displaystyle a = BC / \ rho, \ quad b = AC / \ rho, \ quad c = AB / \ rho.}
Rozwój trygonometrii sferycznej w świecie arabsko-muzułmańskim i praca al-Battaniego na jej temat doprowadziły Delambre w jego Historii astronomii średniowiecza do przypisania al-Battaniemu pierwszej wersji cosinusów prawa w trygonometrii sferycznej. Jednak dla Antona von Braunmühla (en) praca al-Battaniego nie podkreśla ogólnej formuły i musimy czekać na Regiomontanus , który opierając się na pracy al-Battaniego, stwierdza i demonstruje prawo za pomocą zorientowanych zatok .
W sferycznym trójkącie ABC (rys. 9) zredukowane wymiary a , b i c odpowiadają pomiarom kątowym dużych odcinków łuku [ BC ], [ AC ] i [ AB ], a prawo cosinusa jest zapisane:
sałatavs=sałatawsałatab+grzechwgrzechbsałataγ.{\ Displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma.}
Demonstracja
Rozważmy kulisty trójkąta ABC w zakresie środkowej O i o promieniu 1 tak, że OA = OB = OC = 1. wektor jest wektorem styczna w C na dużym okręgu przechodzącego przez A i C . Rzeczywiście, należy do płaszczyzny OAC i jest prostopadła do od iloczynu skalarnego . Co więcej, łatwo jest sprawdzić, czy jego norma jest równa sin ( b ) , obliczając jej kwadrat skalarny. Podobnie wektor jest wektorem stycznym w C do wielkiego koła przechodzącego przez B i C , a jego normą jest sin ( a ) . Zatem kąt między dwoma wektorami wynosi γ . Następnie uzyskujemy prawo cosinusów wykonując iloczyn skalarny dwóch wektorów, który daje:
OW→-sałata(b)OVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} - \ cos (b) {\ overrightarrow {OC}}}OVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OC}}}OW→⋅OVS→=sałata(b){\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} \ cdot {\ overrightarrow {OC}} = \ cos (b)}Ob→-sałata(w)OVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OB}} - \ cos (a) {\ overrightarrow {OC}}}γ{\ displaystyle \ gamma}
grzechwgrzechbsałataγ=sałatavs-sałatawsałatab{\ Displaystyle \ sin a \ sin b \ cos \ gamma = \ cos c- \ cos a \ cos b}
Istnieje podobna tożsamość, która łączy te trzy kąty:
sałataγ=-sałataαsałataβ+grzechαgrzechβsałatavs{\ Displaystyle \ cos \ gamma = - \ cos \ alpha \, \ cos \ beta + \ sin \ alpha \, \ sin \ beta \, \ cos c}Kiedy promień krzywizny zmierza w kierunku nieskończoności, to znaczy, gdy a , b i c dążą do 0, sferyczne prawo cosinusa zostaje uproszczone, aby dać euklidesową wersję tego samego prawa. Aby to pokazać, używamy następujących ograniczonych zmian :
grzechw=w+o(w2),{\ Displaystyle \, \ sin a = a + o (a ^ {2}),}
sałataw=1-w2/2+o(w2).{\ Displaystyle \, \ cos a = 1-a ^ {2} / 2 + o (a ^ {2}).}
i identyfikujemy współczynniki drugiego rzędu w relacji sin a sin b cos γ = cos c - cos a cos b , co daje:
wbsałataγ=-vs22+w22+b22{\ Displaystyle ab \ cos \ gamma = - {\ Frac {C ^ {2}} {2}} + {\ Frac {a ^ {2}} {2}} + {\ Frac {b ^ {2}} {2}}}
Dla trójkąta ABC w pseudosferze zapisywane jest prawo cosinusa
pałkavs=pałkawpałkab-sinhwsinhbsałataγ{\ Displaystyle \ cosh c = \ cosh a \, \ cosh b- \ sinh a \, \ sinh b \, \ cos \ gamma}.
Kiedy promień krzywizny staje się bardzo duży w porównaniu z wymiarami trójkąta, na podstawie ograniczonych rozszerzeń znajdujemy prawo cosinusa euklidesa
sinhw=w+O(w3){\ Displaystyle \, \ sinh a = a + O (a ^ {3})},
pałkaw=1+w2/2+O(w3).{\ Displaystyle \, \ cosh a = 1 + a ^ {2} / 2 + O (a ^ {3}).}
poprzez określenie warunków drugiego rzędu.
Ogólny wzór na stałą powierzchnię krzywizny
Możemy pogrupować wzory płaszczyzny, sfery i pseudosfery w jedną:
sałataR(bVS)=sałataR(Wb)⋅sałataR(WVS)+1R2grzechR(Wb)⋅grzechR(WVS)⋅sałata(bWVS^){\ Displaystyle \ cos _ {R} (BC) = \ cos _ {R} (AB) \ cdot \ cos _ {R} (AC) + {\ Frac {1} {R ^ {2}}} \ sin _ {R} (AB) \ cdot \ sin _ {R} (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}Z isałataR(x)=mijax/R+mi-jax/R2=sałata(x/R){\ Displaystyle \ cos _ {R} (x) = {\ Frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x / R} + {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x / R}} {2}} = \ cos (x / R)}grzechR(x)=mijax/R-mi-jax/R2ja/R=R⋅grzech(x/R){\ Displaystyle \ sin _ {R} (x) = {\ Frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x / R} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x / R}} {2i / R}} = R \ cdot \ sin (x / R)}
R jest złożonym , a dokładniej promieniem krzywizny powierzchni.
Możliwe są trzy przypadki:
R rzeczywista: znajdujemy się na sferze o promieniu
R , krzywizna jest stała i równa
1/R 2 ;
R czysty urojony: jesteśmy na pseudosferze o wyimaginowanym promieniu
R = i R ' (
R' rzeczywista), krzywizna y jest stała i równa
1/R 2 = -
1/R ' 2 ;
R nieskończony: jesteśmy na płaszczyźnie euklidesowej, krzywizna jest stała i równa .
limR→∞1R2=0{\ Displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} {\ Frac {1} {R ^ {2}}} = 0}Walidacja w geometrii nieeuklidesowej
W pierwszych dwóch przypadkach cos R i sin R są dobrze zdefiniowane na płaszczyźnie zespolonej dla dowolnego R innego niż 0, a wynik jest natychmiastowy.
Zatem dla kuli o promieniu 1:
sałata(bVS)=sałata(Wb)⋅sałata(WVS)+grzech(Wb)⋅grzech(WVS)⋅sałata(bWVS^){\ Displaystyle \ cos (BC) = \ cos (AB) \ cdot \ cos (AC) + \ sin (AB) \ cdot \ sin (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}.
Podobnie dla pseudosfery o promieniu i :
pałka(bVS)=pałka(Wb)⋅pałka(WVS)-sinh(Wb)⋅sinh(WVS)⋅sałata(bWVS^){\ Displaystyle \ cosh (BC) = \ cosh (AB) \ cdot \ cosh (AC) - \ sinh (AB) \ cdot \ sinh (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}.
Rzeczywiście, cosh ( x ) = cos ( x / i) i sinh ( x ) = i sin ( x / i) .
Walidacja w geometrii euklidesowej
W trzecim przypadku, na płaszczyźnie euklidesowej, możemy uogólnić cos ∞ i sin ∞ , przechodząc do granicy:
sałata∞(x)=limR→∞sałataR(x)=limR→∞sałata(x/R)=1{\ Displaystyle \ cos _ {\ infty} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ cos _ {R} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ cos (x / R ) = 1}i
grzech∞(x)=limR→∞grzechR(x)=limR→∞R⋅grzech(x/R)=x{\ Displaystyle \ sin _ {\ infty} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} \ sin _ {R} (x) = \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} R \ cdot \ sin ( x / R) = x}.
Trudniej jest znaleźć formułę Al-Kashiego. Rzeczywiście, prosta transpozycja sprowadza się do napisania:
sałata∞(bVS)=1{\ Displaystyle \ cos _ {\ infty} (BC) = 1},
sałataR(Wb)⋅sałataR(WVS)=1×1=1{\ Displaystyle \ cos _ {R} (AB) \ cdot \ cos _ {R} (AC) = 1 \ razy 1 = 1},
grzech∞(Wb)⋅grzech∞(WVS)⋅sałata(bWVS^)=Wb⋅WVS⋅sałata(bWVS^){\ Displaystyle \ sin _ {\ infty} (AB) \ cdot \ sin _ {\ infty} (AC) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) = AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})},
i
limR→∞1R2Wb⋅WVS⋅sałata(bWVS^)=0{\ Displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} {\ Frac {1} {R ^ {2}}} AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) = 0}.
Aby znaleźć formułę Al-Kashi , konieczne jest przejście przez ograniczony rozwój :
sałataR(x)=sałata(x/R)=1-12⋅x2R2+o(1R2){\ Displaystyle \ cos _ {R} (x) = \ cos (x / R) = 1 - {\ Frac {1} {2}} \ cdot {\ Frac {x ^ {2}} {R ^ {2 }}} + o {\ bigg (} {\ frac {1} {R ^ {2}}} {\ bigg)}}i
grzechR(x)=R⋅grzech(x/R)=x+o(1R2){\ Displaystyle \ sin _ {R} (x) = R \ cdot \ sin (x / R) = x + o {\ bigg (} {\ Frac {1} {R ^ {2}}} {\ bigg) }}.
Stosując wzór na skończone R , otrzymujemy:
1-12⋅bVS2R2+o(1R2){\ Displaystyle 1 - {\ Frac {1} {2}} \ cdot {\ Frac {BC ^ {2}} {R ^ {2}}} + o \ lewo ({\ Frac {1} {R ^ { 2}}} \ right)}
=(1-12⋅Wb2R2+o(1R2))⋅(1-12⋅WVS2R2+o(1R2))+1R2(Wb+o(1R2))⋅(WVS+o(1R2))⋅sałata(bWVS^){\ Displaystyle = \ lewo (1 - {\ Frac {1} {2}} \ cdot {\ Frac {AB ^ {2}} {R ^ {2}}} + o \ lewo ({\ Frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right) \ cdot \ left (1 - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AC ^ {2}} {R ^ {2}} } + o \ left ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right) + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ left (AB + o \ left ( {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right) \ cdot \ left (AC + o \ left ({\ frac {1} {R ^ {2}}} \ right) \ right) ) \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}})}Co daje:
1-12⋅bVS2R2=1-12⋅Wb2R2-12⋅WVS2R2+1R2⋅Wb⋅WVS⋅sałata(bWVS^)+o(1R2){\ Displaystyle 1 - {\ Frac {1} {2}} \ cdot {\ Frac {BC ^ {2}} {R ^ {2}}} = 1 - {\ Frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AB ^ {2}} {R ^ {2}}} - {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {AC ^ {2}} {R ^ {2}}} + {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ cdot AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) + o {\ bigg (} {\ frac {1} {R ^ { 2}}} {\ bigg)}}Następnie, upraszczając to trochę i mnożąc przez –2 R 2 z każdej strony:
bVS2=Wb2+WVS2-2⋅Wb⋅WVS⋅sałata(bWVS^)+o(1){\ Displaystyle BC ^ {2} = AB ^ {2} + AC ^ {2} -2 \ cdot AB \ cdot AC \ cdot \ cos ({\ widehat {BAC}}) + o (1)}Daje to oczekiwaną formułę, gdy R dąży do nieskończoności.
Uogólnienie na przestrzeń euklidesową
Rozważamy czworościan A 1 A 2 A 3 A 4 przestrzeni euklidesowej. Rysunek 10 obok przedstawia zapisy dotyczące wierzchołków, ścian i kątów w czworościanie:
-
Sk{\ displaystyle \ mathrm {S} _ {k}}twarz naprzeciwko góry ;Wk {\ displaystyle \ mathrm {A} _ {k} \}
-
sk{\ displaystyle s_ {k}}powierzchnia ;Sk {\ displaystyle \ mathrm {S} _ {k} \}
-
Δk{\ displaystyle \ Delta _ {k}}płaszczyzny , w której pogrąża;Sk {\ displaystyle \ mathrm {S} _ {k} \}
-
θjajot{\ displaystyle \ theta _ {ij}}kąt dwuścienny .(Δja,Δjot){\ Displaystyle (\ Delta _ {i}, \ Delta _ {j})}
Następnie powierzchnie i kąty sprawdzają:
s42=s12+s22+s32-2s1s2sałataθ12-2s1s3sałataθ13-2s2s3sałataθ23.{\ Displaystyle s_ {4} ^ {2} = s_ {1} ^ {2} + s_ {2} ^ {2} + s_ {3} ^ {2} -2s_ {1} s_ {2} \ cos \ theta _ {12} -2s_ {1} s_ {3} \ cos \ theta _ {13} -2s_ {2} s_ {3} \ cos \ theta _ {23}. \,}
Uwagi i odniesienia
-
The „tak zwanego wzoru Al Kashi” , widziana jako aplikacja produktu skalarnego, był wyraźnie obecny aż do 2010 w pierwszych programów nauczania matematyki S francuskiej (patrz BO 31 sierpnia 2000 ). Pojawia się on tylko pośrednio w programie z 2010 r. , Pośród „zastosowań iloczynu skalarnego: obliczenia kątów i długości” : por. na przykład J.-D. Picchiottino, D. Girard i A. Meyer, Maths 1 re S , Hatier ,2013( czytaj online ) , s. 323.
-
Pascal Honvault, A possible approach to plane geometry , Publibook ,2004( czytaj online ) , s. 41.
-
" Pitagoras i jego twierdzenie - 3.2. Wzajemne ” , na IUT online .
-
Dzieła Euclida, tłum. F. Peyrard, Paryż (1819), trzcina. Blanchard (1993). W przypadku innych wydań zapoznaj się z bibliografią artykułu o elementach .
-
Youssef Guergour, „ Król Saragossy Al-Mutaman Ibn Hud i twierdzenie Pitagorasa: jego źródła i rozszerzenia ”, LLULL , t. 28,2005, s. 415-434 ( ISSN 0210-8615 , czytaj online )( str. 432 ).
-
Denis Henrion (tłum.), Piętnaście książek o elementach geometrycznych Euklidesa , 1632, s. 99-104 .
-
Według Guergour 2005 , dowód można znaleźć w KASHI (al) (1967): Miftam al-misab [Key to Arithmetic], al-Damardache, AS & al-Manfi al-Shikh, MM (red.), Le Kair, Dar al-Kitab al-cArabi li at-tibaqa wa an-Nashr, s. 130-138 .
-
Zobacz to.
-
Na przykład, patrz (w) Roger B.Nelsen Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking , MAA ,2000, s. 9, a bardziej ogólnie artykuł „ Dowód bez słów ”.
-
Gellert i in. 1980 , ok. 11-2, s. 265 .
-
(La) N. Copernicus, De revolutionibus orbium coelestium , księga I, rozdz. XII, § VII, s. 20 i s. 21 , odpowiednio.
-
(w) David Eugene Smith , A Source Book in Mathematics , t. 1 ( czytaj online ) , s. 435.
-
Op. Cit. , s. 17-20 , podgląd w Książkach Google .
-
(de) Anton von Braunmühl , Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie ,1900( czytaj online ) , s. 53, notatka 1.
-
von Braunmühl 1900 , str. 131 i następne .
-
(w) Tony Phillips, „ Prawdziwa historia prawa cosinusów ” na Uniwersytecie Stony Brook ,2006.
-
Zobacz artykuł „ Trygonometria sferyczna ” i inną demonstrację niż artykuł, na przykład „Kurs” kartografii Davida Madore'a .
-
Georges Dostor, Elementy teorii wyznaczników: z zastosowaniem do algebry, trygonometrii i geometrii analitycznej w płaszczyźnie i przestrzeni, do wykorzystania na specjalnych zajęciach matematycznych , Paryż, Gauthier-Villars ,1877, 352 pkt. ( czytaj online ) , str. 251-252
-
(w) JR Lee, „ The Law of cosinus in a Tetrahedron ” , J. Korea Soc. Matematyka. Ed. Ser. B: czysta aplikacja. Matematyka. , vol. 4,1997, s. 1-6Cytowane przez (w) Erica W. Weissteina , „ Law of cosinus ” na MathWorld .
Zobacz też
Powiązane artykuły
Twierdzenie Ptolemeusza
Link zewnętrzny
(en) A. Bogomolny, „ Prawo cosinusów (reguła cosinusów) ” , on Cut The Knot
Bibliografia
- N. Efimov, Superior geometry , Moskwa, wydanie Mir , 1981
- W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich i H. Kästner ( przetłumaczone z niemieckiego przez kolektyw pod kierunkiem Jacques-Louis Lions ), Petite encyclopédie des Mathematics [„ Kleine Enzyklopädie der Mathematik ”], Paryż, K. Pagoulatos / Didier ,1980, 896 s. ( ISBN 978-2-278-03526-7 )
-
Antoine Arnauld , Nowe elementy geometrii , Paryż, Charles Savreux, 1667 , s. 295-296 (szóste twierdzenie)
- A. Amiot, Elementy geometrii , Paryż, Delagrave , 14 th ed., 1870 , str. 109-111
- Paul-Louis Cirodde, lekcje geometrii , Paryż, Hachette , 3 e wyd., 1858 , str. 111-112 (Twierdzenie XI)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">