Formuła czapli

W geometrii euklidesowej The wzór Heron , nazwany Heron z Aleksandrii , pozwala obliczyć obszar $S$ w każdym trójkąta podstawie jedynie odcinki robocze $z$ , $b$ oraz $c,$ z trzech stron:

{\ displaystyle S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}} \ quad {\ tekst {z}} \ quad p = {\ frac {a + b + c} {2}}.}

Demonstracje

Heron z Aleksandrii stwierdza i demonstruje swoje twierdzenie w swoim traktacie Metrics . Jego dowód opiera się na własnościach koła wpisanego w trójkąt oraz na wykorzystaniu stosunków długości w podobnych trójkątach .

Właściwości trygonometryczne pozwalają na krótszy dowód tej równości.

Tak więc wzór Herona można wyprowadzić algebraicznie z prawa cosinusów .

Demonstracja z wykorzystaniem prawa cosinusów

Twierdzenie cosinusów jest napisane ${\ displaystyle 2ab \ cos \ gamma = a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2},}$

połączone z klasycznym wzorem na powierzchnię trójkąta podaną przez ten kąt i sąsiednie boki: ${\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} S & = {\ frac {ab} {2}} \ sin \ gamma \\ & = {\ frac {2ab} {4}} {\ sqrt {1- \ cos ^ { 2 } \ gamma}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2ab (1+ \ cos \ gamma) 2ab (1- \ cos \ gamma)}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(2ab + a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) (2ab-a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ { 2})}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {\ po lewej ((a + b) ^ {2} -c ^ {2} \ po prawej) \ po lewej (c ^ { 2} - (ab) ^ {2} \ po prawej)} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + b + c) (a + bc) (c + ab ) (c-a + b)}}. \ end {wyrównany}}}$

Następnie zauważając, $p = a + b + c / 2$ pół obwodu wnioskujemy: ${\ displaystyle S = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2p (2p-2c) (2p-2b) (2p-2a)}} = {\ sqrt {p (pc) (pb) ( rocznie)}}.}$

Istnieje wiele innych demonstracji: patrz w szczególności artykuł „ Prawo cotangensów ”.

Istnieje również prosty sposób na znalezienie wzoru Czapli przez rozważenie postaci, jaką musi przyjąć wielomian $S 2$ , wykorzystując własności trójkątów płaskich, własności jednorodności i symetrii.

Wyszukiwanie analizy wymiarowej

Pole trójkąta zależy od długości 3 boków: $S ( a , b , c )$ i te trzy zmienne mają dokładnie takie samo znaczenie (występuje symetria).

Jeśli przyjmiemy za pewnik, że kwadrat obszaru jest wielomianem w $( a , b , c )$ , to ten wielomian jest symetryczny. Dzięki analizie wymiarowej wiemy, że ten wielomian jest stopnia 4, ponieważ jest kwadratem pola i że wielomian jest jednorodny.

Dodatkowo obszar jest skreślany tylko wtedy, gdy trójkąt jest płaski, czyli gdy suma długości dwóch boków jest równa długości trzeciego. Istnieją więc trzy sposoby na anulowanie wielomianu.

Wielomian $S 2$ ma wtedy postać

{\ displaystyle S ^ {2} (a, b, c) = k \ razy (b + ca) (a + cb) (a + bc).}

Teraz, ponieważ $S 2$ jest jednorodnym symetrycznym stopnia 4, $k$ jest symetrycznym i jednorodnym wielomianem stopnia 1 postaci $k = C ( a + b + c )$ z $C$ rzeczywistą stałą do ustalenia.

Aby znaleźć $C$ , patrzymy na szczególny przypadek, którym jest równoramienny trójkąt prostokątny. Było wtedy $S = a 2 /2$ , $a = b$ i , dając ${\ displaystyle c = a {\ sqrt {2}}}$

{\ displaystyle {\ frac {a ^ {4}} {4}} = C \ lewy (2a + {\ sqrt {2}} a \ prawy) \ lewy (2a - {\ sqrt {2}} a \ prawy ) \ left ({\ sqrt {2}} a \ right) ^ {2} = C (4a ^ {2} -2a ^ {2}) (2a ^ {2})}

dlatego $C = 1/16$ .

Więc mamy . ${\ displaystyle S ^ {2} (a, b, c) = {\ frac {1} {16}} (a + b + c) (b + ca) (a + cb) (a + bc)}$

Następnie znajdujemy wzór przedstawiony przez trygonometrię powyżej, zastępując $p$ przez . ${\ displaystyle {\ frac {a + b + c} {2}}}$

Alternatywne formuły

Korzystanie z wielomianów symetrycznych

Zgodnie z powyższymi obliczeniami pośrednimi mamy również: ${\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} 16 \, S ^ {2} & = (a + b + c) (a + bc) (- a + b + c) (a-b + c) \\ & = 2 ( a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) - (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ { 4}) \\ & = (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ { 4} ). \ Koniec {wyrównany}}}$ ${\ displaystyle S = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}.}$

Do cyfrowego wdrożenia

Wzór Herona przedstawia niestabilność podczas obliczeń numerycznych, która objawia się dla trójkątów kołkowych, tj. których jeden bok jest bardzo mały w porównaniu z innymi (porównanie małych i dużych wartości).

Wybierając nazwy stron tak, aby a > b > c , oraz reorganizując terminy tak, aby zoptymalizować dodawane lub odejmowane ilości, William Kahan proponuje bardziej stabilną formułę:

${\ displaystyle S = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {[a + (b + c)] \, [c- (ab)] \, [c + (ab)] \, [a + (bc )]}}.}$

Uogólnienie

W geometrii sferycznej

W trygonometrii sferycznej istnieje wzór podobny do wzoru Herona, który pozwala wydedukować pole trójkąta sferycznego z jego boków: dane jest twierdzeniem Huiliera .

Dla czworokątów

Podobne sformułowania istnieją dla określenia pola czworoboku , ale o ile nie jest to zapisywalne , potrzebne są dodatkowe dane kątów lub przekątnych. Zobacz: Formuła Bretschneider (w) i Formuła Brahmagupta .

Dla czworościanów

Objętość czworościanu jest podawana jako funkcja długości jego krawędzi przez wyznacznik Cayleya-Mengera (en) .

Uwagi i referencje

W celu szczegółowego zbadania jego demonstracji zobacz (w) Christy Williams, Crystal Kayla Holcomb i Gifford, „ Formuła Heron dla aery trójkątnej ” na Uniwersytecie w Kentucky .
. Ćwiczenia matematyczne -CSK - 2017/2018 , Ćwiczenie 14, na stronie animath.fr
(w) W. Kahan, „ Błędne obliczanie powierzchni i kątów trójkąta przypominającego igłę ” , na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley ,2014.
Zobacz także „ Wyznaczniki Cayleya-Mengera ” na stronie mathafou.free.fr .

Zobacz również

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

Michel Hort, „ Formuła Herona ” , na le-triangle-et-ses-calculs.ch
(en) Eric W. Weisstein , „ Formuła Herona ” , o MathWorld
(en) A. Bogomolny, „ Formuła czapli ” , na temat Cut The Knot