W geometrii części trójkąta The prawo cotangens jest związek między długościami , b i c z boków trójkąta i cotangens jej połówki kątamiα2, β2 i γ2 :
gdzie p =a + b + c2oznacza połowę obwodu i r promień koła wpisanego .
Przetnijmy trójkąt (por. Rys. 2) na sześć trójkątów prostokątnych , symetrycznych dwa na dwa względem dwusiecznych i boków ( AM , r , x ) , ( BM , r , y ) i ( CM , r , z ) , gdzie x + y = c , y + z = a i z + x = b . Czyli 2 x + a = 2 x + y + z = b + c, więc x =b + c - a2= p - zatem cot ( α / 2) =xr = p - ar w związku z tym łóżeczko ( α / 2)p - a = 1r. Również,łóżeczko ( β / 2)p - b = 1r i łóżeczko ( γ / 2)p - c = 1r.
Z prawa cotangents wyprowadzamy wyrażenie na promień r wpisanego okręgu, jako funkcję długości boków (i ich połowy sumy p ):
Rzeczywiście, suma kątów α2, β2 i γ2 Równa się π2dlatego jego cotangens wynosi zero, to znaczy (zgodnie ze wzorem dodawania cotangents ), że iloczyn i suma cotangents tych trzech kątów są równe, dlatego
stąd reklamowane wyrażenie.
Ponieważ (por. Rys. 2) pole trójkąta wynosi S = rp , to wyrażenie r jest równoważne formule Herona :