Formuła Machina
Formuła Machin została odkryta w 1706 roku przez Johna Machin i łączy szereg gatunku z trygonometryczne łuku styczną :
π4=4arctan15-arctan1239.{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ Frac {1} {5}} - \ arctan {\ Frac {1} {239}}.}
Ta formuła daje przybliżenie liczby gatunku Dzięki rozwoju w szereg potęgowy funkcji tangens. John Machin użył go do obliczenia pierwszych stu miejsc po przecinku π .
Demonstracje
Wzór Machina można zademonstrować za pomocą tożsamości trygonometrycznej
dębnik(w+b)=dębnikw+dębnikb1-dębnikwdębnikb.{\ Displaystyle \ tan (a + b) = {{\ tan a + \ tan b} \ ponad {1- \ tan a \ tan b}}.}
Współczesnym sposobem przedstawienia wyniku jest odniesienie go do własności liczb zespolonych . Wzór Machina wynika zatem z następującej tożsamości między liczbami zespolonymi:
(5+ja)4(239+ja)=2×(1+ja).{\ Displaystyle {(5 + {\ rm {i}}) ^ {4} \ ponad (239 + {\ rm {i}})} = 2 \ razy (1 + {\ rm {i}}).}
Rzeczywiście, możemy wykazać następującą równoważność:
marctan1x+arctan1y≡π4(modπ)⇔(x+ja)m(y+ja)mi-jaπ4∈R.{\ Displaystyle m \ arctan {\ Frac {1} {x}} + \ arctan {\ Frac {1} {y}} \ equiv {\ frac {\ pi} {4}} {\ pmod {\ pi}} \ Leftrightarrow (x + {\ rm {i}}) ^ {m} (y + {\ rm {i}}) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} {\ frac {\ pi} {4}}} \ in \ mathbb {R}.}
To pozwala nam podsumować, zauważając, że nadal możemy zastąpić przez i sprawdzając, czy jest to ściśle między a .
y+ja{\ displaystyle y + {\ rm {i}}}1-y+ja{\ Displaystyle {\ Frac {1} {- y + {\ rm {i}}}}}4arctan15-arctan1239{\ Displaystyle 4 \ arctan {\ Frac {1} {5}} - \ arctan {\ Frac {1} {239}}}π4-π{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} - \ pi}π4+π{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} + \ pi}
posługiwać się
Rozwój arctanu w szeregach całkowitych zapewnia następującą metodę obliczeń:
π4=4∑nie=0∞(-1)nie12nie+1(15)2nie+1-∑nie=0∞(-1)nie12nie+1(1239)2nie+1.{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {4}} = 4 \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {1 \ ponad {2n + 1}} \ lewo ( {\ frac {1} {5}} \ right) ^ {2n + 1} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {1 \ ponad {2n + 1} } \ left ({\ frac {1} {239}} \ right) ^ {2n + 1}.}
Formuły typu Machina
Odkryto inne formuły tego samego typu, a „formuły typu Machin” nazywamy formułami postaci:
π4=∑nieNIEwniearctan1bnie{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {4}} = \ suma _ {n} ^ {N} a_ {n} \ arctan {\ Frac {1} {b_ {n}}}}
gdzie i są liczbami całkowitymi .
wnie{\ displaystyle a_ {n}}bnie{\ displaystyle b_ {n}}
Istnieją tylko trzy inne formuły typu Machin z tylko dwoma wyrazami. Zostały odkryte odpowiednio przez Eulera , Hermanna i Huttona (1776, używane przez Vegę w 1789):
π4=arctan12+arctan13,{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {4}} = \ arctan {\ Frac {1} {2}} + \ arctan {\ Frac {1} {3}},}
π4=2arctan12-arctan17,{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {4}} = 2 \ arctan {\ Frac {1} {2}} - \ arctan {\ Frac {1} {7}},}
π4=2arctan13+arctan17.{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {4}} = 2 \ arctan {\ Frac {1} {3}} + \ arctan {\ Frac {1} {7}}.}
Wywodzą się odpowiednio z następujących tożsamości między liczbami zespolonymi:
(2+ja)(3+ja)=5(1+ja),{\ Displaystyle {(2 + {\ rm {i}}) (3 + {\ rm {i}})} = 5 (1 + {\ rm {i}}),}
(2+ja)2(7+ja)=1+ja2,{\ Displaystyle {(2 + {\ rm {i}}) ^ {2} \ ponad (7 + {\ rm {i}})} = {\ Frac {1 + {\ rm {i}}} {2 }},}
(3+ja)2(7+ja)=50(1+ja).{\ Displaystyle {(3 + {\ rm {i}}) ^ {2} (7 + {\ rm {i}})} = 50 (1 + {\ rm {i}}).}
W rzeczywistości możliwe jest skonstruowanie nieskończonej liczby takich formuł przy użyciu większej liczby terminów, ale sławne stały się tylko historycznie najbardziej wydajne formuły obliczania liczby .
π{\ displaystyle \ pi}π4=12arctan118+8arctan157-5arctan1239{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ Frac {1} {18}} + 8 \ arctan {\ Frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ Frac { 1} {239}}} ( Carl Friedrich Gauss )
π4=44arctan157+7arctan1239-12arctan1682+24arctan112943{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {4}} = 44 \ arctan {\ Frac {1} {57}} + 7 \ arctan {\ Frac {1} {239}} - 12 \ arctan {\ Frac { 1} {682}} + 24 \ arctan {\ frac {1} {12943}}} ( Carl Størmer , 1896)
π4=12arctan149+32arctan157-5arctan1239+12arctan1110443{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ Frac {1} {49}} + 32 \ arctan {\ Frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ Frac { 1} {239}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {110443}}} ( Kikuo Takano , 1982).
Poszukiwanie skutecznych formuł Machina odbywa się teraz systematycznie przy użyciu komputerów. Najbardziej wydajnymi formułami typu Machin, o których obecnie wiadomo, że obliczają π, są:
π4=183arctan1239+32arctan11023-68arctan15832+12arctan1110443-12arctan14841182-100arctan16826318{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {4}} = 183 \ arctan {\ Frac {1} {239}} + 32 \ arctan {\ Frac {1} {1023}} - 68 \ arctan {\ Frac { 1} {5832}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {110443}} - 12 \ arctan {\ frac {1} {4841182}} - 100 \ arctan {\ frac {1} {6826318}}}
黃 見 利 (Hwang Chien-Lih, 1997)
π4=183arctan1239+32arctan11023-68arctan15832+12arctan1113021-100arctan16826318-12arctan133366019650+12arctan143599522992503626068{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {4}} = 183 \ arctan {\ Frac {1} {239}} + 32 \ arctan {\ Frac {1} {1023}} - 68 \ arctan {\ Frac { 1} {5832}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {113021}} - 100 \ arctan {\ frac {1} {6826318}} - 12 \ arctan {\ frac {1} {33366019650}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {43599522992503626068}}}
黃 見 利 (Hwang Chien-Lih, 2003)
Istnieją inne formuły, które zbiegają się szybciej do π , takie jak wzór Ramanujana , ale nie są one typu Machina.
Uwagi i odniesienia
(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w
języku angielskim zatytułowanego
„ Machin-like formula ” ( zobacz listę autorów ) .
-
Zobacz na przykład to poprawione ćwiczenie na Wikiversity .
-
(en) Carl Størmer , „ Rozwiązanie całkowite w liczbach całkowitych równaniamarctan1x+niearctan1y=kπ4{\ Displaystyle m \ arctan {\ Frac {1} {x}} + n \ arctan {\ Frac {1} {y}} = k {\ Frac {\ pi} {4}}} ” , Bull. Soc. Matematyka. Francja , t. 27,1899, s. 160-170 ( czytaj online ).
-
(w) Eric W. Weisstein , „ Machin-Like Formulas ” na MathWorld .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">