W matematyce , A liczba rzeczywista jest numer , który może być reprezentowany przez części całkowitej i skończonej lub nieskończonej listy miejsc po przecinku . Definicja ta odnosi się zatem do liczb wymiernych , których ułamki dziesiętne powtarzają się okresowo od pewnego rzędu, ale także do innych tak zwanych liczb niewymiernych , takich jak pierwiastek kwadratowy z 2 , π i e .
Pojęcie rzeczywistej liczby stopniowo wyłania obsługi raportów wielkości tych geometryczny inne niż raporty naturalny cała ich rozpatrzenia przez Eudoksos z Knidos w IV -go wieku pne. AD pasuje również do aproksymacji problemów rozwiązań algebraicznych i daje miejsce w połowie XIX th wieku, podświetlone numery transcendentny . Ale definicja liczb rzeczywistych nie została sformalizowana dopiero kilkadziesiąt lat później z konstrukcji z DEDEKIND z jednej strony, oraz Cantor i Méray na drugą.
Zbiór liczb rzeczywistych, oznaczony ℝ, to ciało całkowicie uporządkowane , czyli wyposażone w cztery operacje arytmetyczne spełniające te same zasady na ułamkach i operacje te są zgodne z porządkiem relacji. Ale spełnia również właściwość górnej granicy, na której opiera się analiza rzeczywista . Wreszcie, ten zestaw został przez Hilberta scharakteryzowany jako największe ciało Archimedesa . W wypełnionej linii rzeczywistej wartości nieskończone nie spełniają już zasad działania ciał, rozszerzenie o ciało liczb zespolonych uniemożliwia relację zgodnego porządku całkowitego, natomiast sąsiadująca z nią niestandardowa analiza nieskończenie małych liczb unieważnia charakter Archimedesa .
„Prawdziwy” słowo jest używany do opisania numery od XVII do XX wieku, ale jest wyraźnie określona w przeciwieństwie do liczb urojonych , że pod koniec XIX th wieku był również przeciwny do „liczby formalnych” w niektórych rozprawach dotyczących teologii czy filozofia z tego samego okresu.
Liczby rzeczywiste są używane do reprezentowania dowolnej miary fizycznej, takiej jak: cena produktu, czas między dwoma zdarzeniami, wysokość (dodatnia lub ujemna) miejsca geograficznego, masa atomu lub odległość do najbliższej galaktyki. Pomiary te zależą od wyboru jednostki miary, a wynik jest wyrażony jako iloczyn liczby rzeczywistej przez jednostkę. Liczby rzeczywiste są używane na co dzień, np. w ekonomii, informatyce, matematyce, fizyce czy inżynierii.
Najczęściej używane są tylko niektóre podzbiory liczb rzeczywistych:
Chociaż wszystkie te podzbiory liczb rzeczywistych mają nieskończoną kardynalność, wszystkie są policzalne i dlatego reprezentują tylko niewielką część zbioru liczb rzeczywistych. Każdy z nich ma swoje własne właściwości. Dwa są szczególnie badane przez matematyków: liczby wymierne i liczby algebraiczne ; " Iracjonalne " nazywamy rzeczywistościami, które nie są racjonalne, a " transcendentnymi " tymi, które nie są algebraiczne.
Fizyczne użycie liczby rzeczywiste w pomiarach ekspresji dla dwóch głównych powodów:
Z drugiej strony fizyk nie może wykonywać pomiarów o nieskończonej precyzji. Numeryczna reprezentacja wyniku obliczenia może być aproksymowana tak dokładnie, jak jest to pożądane za pomocą liczby dziesiętnej. W obecnym stanie fizyki jest to nawet teoretycznie niemożliwe do wykonywania pomiarów o nieskończonej precyzji. Dlatego, zarówno dla potrzeb eksperymentalnych, jak i teoretycznych, jeśli fizyk oblicza pomiary w ℝ, to wyniki liczbowe wyraża w postaci liczb dziesiętnych.
W ten sposób fizyk posługuje się właściwościami liczb rzeczywistych, które pozwalają na nadanie sensu dokonywanym pomiarom i oferują potężne twierdzenia do wykazania swoich teorii. W przypadku wartości liczbowych odpowiada on liczbom dziesiętnym. Kiedy mierzy odległość przebytą przez punkt materialny na pełnym okręgu, używa tej wartości bez kwestionowania jej istnienia, ale często do obliczeń wystarcza niewielka liczba miejsc po przecinku.
Wreszcie, chociaż liczby rzeczywiste mogą reprezentować dowolną wielkość fizyczną, liczby rzeczywiste nie są najlepiej przystosowane do badania bardzo wielu problemów fizycznych. Z nadzbiorów zbudowanych wokół reala zostały stworzone, aby móc poradzić sobie z pewnymi fizycznymi przestrzeniami. Na przykład :
Każda liczba rzeczywista może być reprezentowana jako „ nieskończona liczba rozwinięcia dziesiętnego ”. Ta definicja może wydawać się prostsza niż inne powszechnie używane przez matematyków, na przykład granica ciągu zbieżnego . Jednak szybko okazuje się nieodpowiedni i zawiera znacznie bardziej złożone definicje i demonstracje. Rzeczywiście liczby rzeczywiste są interesujące ze względu na strukturę i właściwości zbioru, który tworzą: dodawanie, mnożenie, relacja porządku oraz właściwości łączące te pojęcia. Własności te słabo odzwierciedla definicja „nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego” i pojawiają się problemy teoretyczne:
Jednak po ustaleniu struktury zbioru liczb rzeczywistych, notacja rozwinięcia dziesiętnego umożliwia efektywne obliczenia, pamiętając, że liczą się nie tyle dokładne miejsca dziesiętne liczby, ile położenie liczby względem -vis innych rzeczywistości.
Od czasów starożytnych przedstawienie mierzalnej wielkości - na przykład długości lub czasu trwania - odpowiadało potrzebie. Pierwszą odpowiedzią była konstrukcja ułamków (iloraz dwóch dodatnich liczb całkowitych). To rozwiązanie, wdrożone bardzo wcześnie wśród Sumerów i Egipcjan , jest ostatecznie skuteczne. Pozwala podejść na dowolną długość z pożądaną precyzją.
Korespondencja z długościamiPierwszy formalizacja zbudowany w systemie, które wiemy, jest wynikiem prac Euklidesa w III -go wieku pne. AD . Jej konstrukcja, wpisana w jej Elementy , niesie ze sobą dwie wielkie idee, które mają ogromny wkład w historię matematyki.
Załóżmy, że jako jednostka została wybrana dana długość. Geometryczne rozumowanie, na pewno już znane Babilończyków , pokazuje, że jeśli jest kwadrat o boku jedności i B kwadrat o boku równym przekątnej D w A , wówczas obszar od B jest dwukrotnie większa od A , inaczej mówi: d 2 = 2.
Prawdopodobnie V th wieku pne. AD , greccy matematycy wykazują, że długości przekątnej kwadratu i jego boku są niezmierzone : nie ma segmentu, nieważne jak małego, który pozwala „zmierzyć” dokładnie te dwa rozmiary. Mówimy dzisiaj, że ten stosunek długości, który jest pierwiastkiem kwadratowym z 2 , jest niewymierny , tj. nie jest równy ułamkowi: gdyby to był ułamekmnie, dzieląc przekątną kwadratu na m równych części, a jego bok na n równych części, otrzymamy odcinki o tej samej długości.
To pokazuje, że ułamki nie mogą być wystarczające do reprezentowania mierzalnych wielkości.
Istnieje prosty dowód arytmetyczny tego wyniku , który opiera się na argumencie parzystości. W IV -go wieku pne. AD , Arystoteles nawiązuje do niego w jednym ze swoich pism. Okaże się bardziej szczegółowo w książce X z elementów Euklidesa .
Nieograniczone nieokresowe rozszerzenie dziesiętneJeśli ułamki rzeczywiście umożliwiają wyrażenie dowolnej długości z pożądaną dokładnością, należy jednak rozumieć, że operacje, a zwłaszcza podział, stają się skomplikowane, jeśli system numeracji nie jest dostosowany. Problem jest opisany w artykule dotyczącym frakcji egipskiej, który podaje kilka konkretnych przykładów.
Dopiero w V th century zobaczyć Szkołę Indian odkrył pojęcie zera i rozwijać system numeracji przecinku i pozycyjne .
Pojawia się wtedy drugi problem. Wszystkie ułamki mają rozwinięcie dziesiętne, o ile to rozwinięcie jest nieskończone i okresowe, to znaczy, że sekwencja ułamków dziesiętnych nie kończy się, lecz zapętla się na skończonej liczbie wartości. Powstaje zatem pytanie, jakie znaczenie nadać obiektowi scharakteryzowanemu przez ciąg nieokresowych ułamków dziesiętnych. Na przykład liczba z nieskończonym rozwinięciem dziesiętnym, która jest wyrażona jako
0.1010010001 ... gdzie liczba 0 między cyframi 1 rośnie w nieskończoność, czy odpowiada to długości? Suity i serieW drugiej połowie XVII -go wieku , znajduje się niezwykły rozwój matematyki w dziedzinie informatyki serię i apartamentów .
Nicolaus Mercator , Bernoulli , James Gregory , Gottfried Wilhelm Leibniz i inni pracują nad seriami, które wydają się zbiegać, ale których granice nie są racjonalne. Tak jest na przykład:
Co gorsza, Liouville w 1844 r. dowodzi istnienia liczb przestępnych, to znaczy nie pierwiastka wielomianu o współczynnikach całkowitych. Nie wystarczy więc uzupełnić wymierne liczby przez dodanie do nich liczb algebraicznych, aby otrzymać zbiór wszystkich liczb.
Podczas drugiej części XVII -tego wieku , Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz wymyślił zupełnie nową gałąź matematyki. Obecnie nazywa się to analizą , w tamtych czasach nazywano ją rachunkiem nieskończenie małym . Ta gałąź niemal natychmiast zyskuje ogromną sławę, ponieważ jest podstawą zupełnie nowej uniwersalnej teorii fizycznej: Newtonowskiej teorii grawitacji . Jednym z powodów tej sławy jest rozwiązanie starego pytania, czy Ziemia krąży wokół Słońca, czy odwrotnie.
Rachunku nieskończenie małego nie można jednak wykazać w sposób ścisły w zbiorze liczb wymiernych. Jeśli obliczenia są poprawne, to wyraża się je językiem o wielkiej złożoności, a dowody opierają się bardziej na geometrycznej intuicji niż na ścisłym wyjaśnieniu w sensie naszych czasów.
Niemożność skonstruowania analizy w zbiorze ułamków polega na tym, że ta gałąź matematyki opiera się na analizie nieskończenie małych. Możemy jednak porównać liczby wymierne do nieskończoności małych ziarenek piasku (o nieskończenie małych rozmiarach) na linii rzeczywistej, pozostawiając nieskończenie więcej dziur niż materii. Analiza nie może być zadowolona z takiego wsparcia. Wymaga kompletnej przestrzeni na wsparcie . Słowo to jest tu użyte w podwójnym znaczeniu, w znaczeniu intuicyjnym, które oznacza, że małe dziurki w nieskończonej liczbie muszą być zatkane, a znaczenie, które matematycy nadają dzisiaj, jest bardziej abstrakcyjne, ale ściśle sformalizowane.
Pojęcie to jest tak ważne, że stać na początku XX th century dużej gałęzi matematyki zwanych topologii .
Dlaczego ℝ jest niezbędne do analizyAnaliza zakłada, że rzeczywista funkcja rzeczywistej zmiennej jest zasadniczo znana poprzez jej nieskończenie małe zachowanie. Na przykład, jeśli przyspieszenie planety jest znane przez cały czas, a jej początkowa pozycja i prędkość są znane, można wydedukować dokładną trajektorię. Łańcuch twierdzeń, twierdzenie o skończonych przyrostach, które jest udowodnione twierdzeniem Rolle'a, które jest udowodnione twierdzeniem granicznym, staje się fałszywe na ułamkach wymiernych. Jeśli przedstawimy to twierdzenie w kategoriach obrazowych, możemy opisać te twierdzenia w następujący sposób: dla twierdzenia o skończonym przyroście, jeśli samochód przejedzie 120 km w ciągu 2 godzin, to ten samochód jedzie przynajmniej raz z prędkością 60 km / h ; dla twierdzenia Rolle'a (odpowiednio twierdzenie graniczne), jeśli samochód wyjeżdża i przyjeżdża z tego samego miejsca bez zmiany pasa, to przynajmniej raz zawrócił (odpowiednio jest moment, w którym samochód jest najdalej od swojego punkt wyjścia).
To właśnie te twierdzenia intuicyjnie są tak oczywiste, że można się nawet zastanawiać, jak można je udowodnić. Newton pociągnął konsekwencje tego dowodu tak daleko, że tylko nieliczni ludzie w jego czasach mogli naprawdę zrozumieć jego główne dzieło Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . Dowody zawsze opierały się na przeczuciu .
Wyjaśnijmy zatem, dlaczego dowód twierdzenia granicznego narzuca głębokie zrozumienie topologicznej natury liczb rzeczywistych. W tym celu rozważmy funkcję f na liczbach wymiernych przedziału w ℚ, gdzie ℚ oznacza zbiór liczb wymiernych, określony wzorem:
Funkcja wydaje się nieciągła w punkcie, którego kwadrat jest równy 2, ale ten punkt nie istnieje w liczbach wymiernych, więc funkcja jest ciągła, gdziekolwiek jest zdefiniowana. Zauważamy, że małe dziurki łamią nasze intuicyjne pojęcie ciągłości. Nieskończenie mały opis nie może zatem odpowiednio opisać funkcji, ponieważ małe otwory umożliwiają skoki, które nie są opisane przez zachowanie nieskończenie małe . Nasze intuicyjne pojęcie ciągłości nie ma zatem takiego samego znaczenia w ℚ jak w ℝ. Im bardziej odcięta zbliża się do linii tego punktu, który nie istnieje w ℚ, tym bardziej się zwiększa. Nie ma zatem punktu, który osiągnąłby maksimum. Prawdziwa racjaJeśli istnienie liczb ujemnych pojawia się bardzo wcześnie w historii ( matematyka indyjska ), to dopiero w 1770 r. uzyskały one dzięki Eulerowi prawdziwy status liczbowy i straciły charakter sztuczności obliczeniowej. Ale trzeba poczekać stulecie, aby zobaczyć zestaw rzeczywistego partnera do wszystkich punktów prawostronnie zorientowanej, zwanej rzeczywistą linią.
Rozważamy prostą D zawierającą punkt O, który umownie nazwiemy początkiem. Niech będzie punktem I różnym od O należącego do D, który utożsamiamy z liczbą 1. Umownie powiemy, że odległość od O do I jest równa 1 i że orientacja linii jest taka, jak O w kierunku I. W dowolnym punkcie M na linii kojarzymy odległość między O i M. Jeśli M i I są po tej samej stronie względem O, to odległość jest liczona dodatnio, w przeciwnym razie jest ujemna.
Ta relacja, którą obecna formalizacja nazywa bijekcją , umożliwia identyfikację liczby rzeczywistej w punkcie linii.
Opracowanie analizy w XVIII TH i XIX -tego stulecia doprowadziły francuskich i niemieckich matematyków kwestionować naturę liczb rzeczywistych. Te pytania doprowadziły ich do zidentyfikowania podstawowych właściwości (kompletność, sąsiednie sekwencje itp.), na których można oprzeć możliwe konstrukcje ℝ, które zostały sformalizowane około 1870 roku przez Cantora, Méraya i Dedekinda.
BudowaW jego trakcie analizy w École Polytechnique , Augustin Louis Cauchy proponuje pierwszy rygorystyczną definicję granicy . Ciąg liczb rzeczywistych indeksowanych liczbami naturalnymi (zwany ciągiem ) zbiega się do granicy (koniecznie niepowtarzalnej) x , gdy odległość | x - x n | staje się tak mały, jak to pożądane, dla n wystarczająco dużych. Ustala kryterium, które dziś nosi jego imię, kryterium Cauchy'ego : konieczne i wystarczające jest, aby odległości | x n - x m | są tak małe, jak pożądane, dla n i m wystarczająco dużych. Podając to kryterium, Cauchy potwierdza zupełność ciała liczb rzeczywistych, właściwość, na której można oprzeć jego definicję. Podejście to zostało sformalizowane przez Méray w 1869, a następnie przez Cantora w 1872. Idea ta, szczególnie dostosowana do analizy, znajduje rozszerzenia w metodach uzupełniania .
Druga konstrukcja została opublikowana przez Richarda Dedekinda w 1872 roku. Wynika ona z badania relacji porządku na ułamkach. Przekrój dedekinda jest zbiorem racjonalnego jak każdy racjonalny jest mniejsza niż jakikolwiek racjonalny dopełnienia A . Rzeczywistość jest wtedy reprezentowana przez cięcie Dedekind. Na przykład pierwiastek kwadratowy z 2 jest reprezentowany przez zbiór ujemnych wymiernych i dodatnich wymiernych kwadratów mniejszych niż 2. Według autorów istnieją warianty definicji odcięcia.
Trzecia konstrukcja oparta jest na metodzie segmentów zagnieżdżonych. Zagnieżdżenie to malejący ciąg zamkniętych przedziałów liczb wymiernych, których długość dąży do 0. Liczba rzeczywista jest wtedy definiowana jako klasa zagnieżdżeń modulo relacji równoważności. Według Mainzer (DE) , „sprawdzanie zamówionych właściwości pola jest stosunkowo bolesny” , co wyjaśnia, dlaczego takie podejście wydaje się mniej korzystny niż w dwóch poprzednich. Istnieje również inna metoda z rozwinięć dziesiętnych, jednak dodawanie, a następnie mnożenie nie są operacjami łatwymi do zdefiniowania.
W 1899 David Hilbert podał pierwszą aksjomatyczną definicję ciała liczb rzeczywistych. Wszystkie poprzednie metody konstruują „ten sam” zbiór, czyli zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie jest bogatsze niż oczekiwanoXIX th wieku pokazuje, że tej nowej struktury, zbiór liczb rzeczywistych, operacji i porządek relacji nie tylko spełnia swoją obietnicę, ale wykracza poza.
Ewolucja pojęć liczby rzeczywistej i ciągłości jest tak samo filozoficzna, jak matematyczna. To, że liczby rzeczywiste tworzą ciągłą całość, oznacza, że nie ma „skoku” ani „ przerwy wzbronionej ”. Intuicyjnie przypomina to ludzkie postrzeganie przestrzeni lub upływu czasu. Niektórzy filozofowie uważają, że jest ona zresztą dokładnie taka sama dla wszystkich zjawisk naturalnych. Koncepcję tę podsumowuje motto matematyka i filozofa Leibniza: natura non facit saltus , "natura nie skacze".
Historia ciągłości zaczyna się w starożytnej Grecji . W V -tego wieku pne. AD , atomiści nie tylko wierzą, że natura składa się z „skoków”, ale także, że istnieją niepodzielne cząstki podstawowe, atomy . W synechists twierdzą, że wszystko jest połączone, w sposób ciągły. Demokryt jest wyznawcą natury złożonej z atomów przeplatanych pustką, podczas gdy Eudoksos mu zaprzecza, czyniąc swoją pracę jednymi z najstarszych prekursorów analizy. Te ewoluują później w tak zwaną geometrię euklidesową .
Jednak XVII th wieku matematycy énonçaient funkcją ciągłą w rzeczywistości składa się z nieskończenie małych liniach prostych, to znaczy nieskończenie. W ten sposób koncepcja nieskończenie małego, widzianego z atomistycznej perspektywy, może promować ten sposób pojmowania natury. Kwestia nieskończoności ma zatem kluczowe znaczenie dla zrozumienia ciągłości i liczb rzeczywistych.
W paradoksy Zenon ilustrują przeciw-intuicyjną koncepcji nieskończoności. Jedną z najbardziej znanych jest strzała, w której wyobrażamy sobie strzałę w locie. W dowolnym momencie strzała znajduje się w precyzyjnej pozycji i jeśli chwila jest zbyt krótka, to strzała nie ma czasu na ruch i pozostaje przez tę chwilę w spoczynku. W kolejnych chwilach pozostaje nieruchoma z tego samego powodu. Strzała jest nadal nieruchoma i nie może się poruszać: ruch jest niemożliwy. Aby rozwiązać ten paradoks, musimy dodać te nieskończenie małe nieskończoną liczbę razy metodą graniczną , odkrytą podczas ewolucji analizy.
Pojęcie ciągłości liczb rzeczywistych zajmuje centralne miejsce w analizie od początku jej historii. Podstawowe pytanie brzmi, czy dana funkcja jest w rzeczywistości funkcją ciągłą . W XVIII -tego wieku , sformułowaliśmy to pytanie w stylu „Czy to wariacja nieskończenie w swojej dziedzinie generuje znikomą zmianę w jej wizerunku? ”. W XIX -tego wieku , ten preparat jest porzucony i zastąpiony przez granice .
Od XVIII -tego wieku , nieskończenie upadek z łaski: mówi się praktycznego zastosowania, ale błędne, zbędne i sprzeczne. Granice zastąpić całkowicie i od początku XX XX wieku , nieskończenie nie stanowią podstawę do analizy. W matematyce pozostają one w pewnym sensie niepojęciami, dopóki nie zostaną ponownie wprowadzone wielkim kosztem do geometrii różniczkowej , nadając im matematyczny status pola tensorowego .
W naukach stosowanych, szczególnie w fizyce i inżynierii , zawsze używamy nieskończenie małych. To oczywiście powoduje problemy komunikacyjne między tymi naukami a matematyką.
Możemy krótko scharakteryzować zbiór liczb rzeczywistych, który generalnie oznaczamy zdaniem Davida Hilberta : ℝ jest ostatnim archimedesowym ciałem przemiennym i jest zupełne . „Ostatni” oznacza, że dowolne pole przemienne Archimedesa jest izomorficzne z podzbiorem ℝ. Tutaj „izomorficzny” intuicyjnie oznacza, że ma ten sam kształt, czyli zachowuje się dokładnie tak samo , więc bez większych trudności możemy powiedzieć, że są takie same.
Podejście aksjomatyczne polega na scharakteryzowaniu pojęcia za pomocą szeregu definicji. Pogląd ten, który jest prekursorem Hilberta w nowoczesnym formalizmu, okazała się niezwykle owocna w XX th century. Pojęcia takie jak topologia, teoria pomiaru lub prawdopodobieństwa są teraz definiowane przez aksjomatykę. Podejście aksjomatyczne zakłada doskonałe zrozumienie omawianej struktury i pozwala na dowód twierdzeń tylko z tych definicji. To jest powód, dla którego dobre definicje w matematyce mogą być tak potężne. Jednak aksjomatyczna definicja ℝ nie wskazuje, że taki zbiór istnieje. Niezbędne wydaje się wówczas zbudowanie tej struktury (patrz artykuł Budowa liczb rzeczywistych ).
Mamy kilka równoważnych definicji aksjomatycznych:
Definicja 1 jest przedstawiona na początku rozdziału. Równoważność definicji 2 i 3 została pokazana w artykule Budowa liczb rzeczywistych . Równoważność definicji 3 i 4 jest zasadniczo wynikiem uporządkowanych zbiorów (patrz artykuł Topologia porządku ).
Unikatowość zależy od (unikalnego) izomorfizmu, tj. jeśli K jest całkowicie uporządkowanym ciałem spełniającym te same założenia, to istnieje (unikalny) ściśle rosnący izomorfizm od K w ℝ.
Przyjrzyjmy się szczegółowej definicji 2:
Ta sekcja ma charakter zasadniczo techniczny. Zajmuje się podstawowymi i podstawowymi właściwościami do pracy analitycznej nad ℝ.
Następującą własność można wywnioskować z faktu, że ℝ jest Archimedesem.
Pozostałe właściwości są konsekwencjami właściwości górnej granicy.
Istnieje zestaw szczególnie interesujących funkcji wielomianów . Czasami można rozłożyć na czynniki wielomian . Oznacza to, że jest wyrażony jako iloczyn niestałych wielomianów o mniejszych stopniach. Ideałem jest to, że można rozłożyć dowolny wielomian na czynniki stopnia 1 (to znaczy w postaci ax + b ). Ta własność zależy od pola, na którym konstruujemy te wielomiany. Na przykład na polu wymiernych, niezależnie od liczby n całkowitej większej lub równej 2 , istnieją nierozkładalne wielomiany stopnia n , to znaczy, że nie mogą być wyrażone w postaci iloczynu wielomianów mniejszych stopni. Dla liczb rzeczywistych udowadniamy, że największy stopień wielomianu nierozkładalnego jest równy dwa. Innymi słowy, jeśli wielomian nie rozkłada się, to dlatego, że ma postać ax 2 + bx + c . Ciała , które mają jako wielomiany nierozkładalne tylko wielomiany stopnia 1 , są algebraicznie domknięte .
Jeśli ℝ nie jest algebraicznie domknięty, możemy zanurzyć to ciało w większym ciele. To jest nowe ciało, ciało liczb zespolonych . Jednak to ciało nie jest ogólnie „lepsze”. Jego algebraiczne domknięcie jest bardzo interesującą własnością, ale ma koszt: pole kompleksów nie może mieć relacji porządku zgodnej z jego dwoma operacjami. W pewnym sensie to, co zyskuje się po jednej stronie, traci się po drugiej.
Celem liczb rzeczywistych jest dostarczenie zbioru liczb o odpowiednich właściwościach do zbudowania analizy. Możliwe są dwa podejścia wykorzystujące dwie różne koncepcje.
Elegancja sprzyja słabszej podstawie aksjomatycznej. W XX th praca wieku od ogólnego przeformułowania matematyki jest podejmowane przez połączenie Bourbakiego i wyników w pisanie książki o nazwie elementy matematyczne . Ta praca rygorystycznie zajmuje się dużą częścią aktualnej matematyki. Z tego powodu Elementy rozwijają i demonstrują właściwości zbioru liczb rzeczywistych z topologii. To jest wybór, którym tutaj będziemy podążać.
NieruchomościIle jest tam liczb rzeczywistych? Nieskończoność , ale który? Dwa zestawy mają tę samą kardynalność (intuicyjnie: tę samą „liczbę elementów”), jeśli są równoważne . Na przykład zbiory ℕ , ℤ , ℚ lub ℚ , chociaż zagnieżdżone i każdy zawierający nawet kilka „kopii” poprzedniego, mają ten sam „rozmiar”: jest to kardynał zbiorów policzalnych , jak zaznaczono ℵ₀ . Georg Cantor wykazał, że istnieją ściśle większe nieskończone kardynały, dostarczając, za pomocą swojego argumentu diagonalnego, dowodu, że ℝ jest niepoliczalne: zobacz artykuł Argument przekątny Cantora . Oto kolejny.
Kolejny dowód niepoliczalnościPokażmy, że przedział [0, 1] jest niepoliczalny, pokazując, że ciąg w [0, 1] nigdy nie jest surjekcyjny . Wystarczy znaleźć punkt w [0, 1], którego nie ma w zbiorze obrazów sekwencji. W tym celu zdefiniujmy przez indukcję dwie sekwencje , takie jak:
Zainicjujmy nasze dwa pakiety, pozując:
Jest oczywiste, że własność (1) jest prawdziwa, jeśli n jest równe 0. Zdefiniujmy zatem nasze sekwencje dla rzędu n + 1.
Przedział zawarty w przedziale nie może zawierać żadnego elementu ciągu rzędu ściśle mniejszego niż n , zgodnie z hipotezą indukcyjną . Ze względu na konstrukcję nie może również zawierać, a właściwość (1) jest sprawdzana.
Dwie sekwencje są w sąsiedztwie ( ), ich wspólną granicę należy dla wszystkich N , do przedziału , a zatem różni się od pierwszego n wartości sekwencji . Ponieważ n jest dowolne, zdanie jest udowodnione.
Liczebność zbioru liczb rzeczywistych nazywana jest potęgą kontinuum i czasami zapisuje się c . Zanotowano również 2 ℵ₀, ponieważ ℝ jest w rzeczywistości równoważne ze zbiorem części ℕ - co, zgodnie z innym twierdzeniem Cantora , dostarcza bardziej precyzyjnego dowodu jego niepoliczalności:
ℵ₀ = karta (ℕ) <karta ( P (ℕ)) = karta (ℝ) = c .Cantor zadał sobie pytanie o istnienie kardynała ściśle między ℵ₀ i c . Jego hipoteza, zwana hipotezą continuum , głosi, że taki kardynał nie istnieje. Kwestia kardynałów została objęta przez Cantora większą teorią , teorią mnogości , która obecnie służy jako podstawa większości matematyki. Dopiero w drugiej połowie XX -go wieku, aby znaleźć odpowiedź na pytanie hipotezy continuum: jest nierozstrzygalny w zwykły teorii mnogości ( ZFC ). Oznacza to, że nie da się wykazać zarówno istnienia, jak i nieistnienia takiego kardynała, jeśli nie zmodyfikujemy zastosowanej podstawy aksjomatycznej.
Zbiór liczb rzeczywistych opatrzony zwykłym dodawaniem i mnożeniem przez liczby wymierne jest przestrzenią wektorową nad ℚ (zbiór liczb wymiernych ). W roku 1905, w czasie poszukiwań nie - ciągłych roztworów do funkcjonalnego równania Cauchy'ego , Georg Hamel wykazywały podstawę z ℝ traktowane jako przestrzeń wektorową o . Istnienie takiej podstawy jest zapewnione, jeśli przyjmiemy aksjomat wyboru . Podstawa Hamela ℝ jest niepoliczalna.