Regularny wielokąt

W geometrii euklidesowej , o wielokąt foremny to wielokąt, który jest zarówno równobocznego (wszystkie jego boki mają taką samą długość) i equiangle (wszystkie jego kąty mają ten sam środek). Regularny wielokąt jest wypukły lub gwiazdowy .

Wszystkie regularne wielokąty wypukłe o tej samej liczbie boków są podobne . Wszelkie Ulubione wielokąt foremny o n bokach posiada kopertę wypukły o n bokach, który jest regularny wielobok. Liczba całkowita n większa lub równa 3, ponieważ istnieje wypukły wielokąt regularny o n bokach.

W niektórych kontekstach wszystkie rozważane wielokąty będą wypukłe i regularne. Wówczas zwyczajowo narzuca się te dwa epitety jako „regularne wypukłe”. Na przykład wszystkie ściany jednolitych wielościanów muszą być wypukłe i regularne, a twarze będą opisane po prostu jako trójkąt , kwadrat , pięciokąt ...

Różnorodne właściwości regularnych wielokątów doprowadziły do ich badań matematycznych od czasów starożytnych i do różnych interpretacji symbolicznych , religijnych lub magicznych .

Właściwości ogólne

Charakteryzacje

Wielokąt jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoboczny i zapisywalny (w okręgu ).Środek i promień tego okręgu nazywane są wówczas środkiem i promieniem wielokąta.

Wielokąt jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje obrót, który przesyła każdy wierzchołek do następnego.Ta (unikalna) rotacja przesyła następnie każdą stronę do następnej.

Dlatego każdy wielokąt regularny jest nie tylko równoboczny i równoboczny (z definicji), ale nawet izotoksyczny i izogonalny .

Wielokąt o n bokach jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy jego grupa symetrii jest „tak duża, jak to możliwe”: rzędu 2 n .Grupa ta jest więc grupą dwuścienną D n , złożoną z obrotów C n (grupa symetrii obrotowej rzędu n - jeśli n jest parzyste, wielokąt ma zatem środek symetrii) i n symetrii osiowych, których osie przechodzą Centrum. Jeśli n jest parzyste, to połowa tych osi przechodzi przez dwa przeciwległe wierzchołki, a druga połowa przez punkty środkowe dwóch przeciwległych boków. Jeśli n jest nieparzyste, to każda oś przechodzi przez wierzchołek i środek przeciwnej strony.

Dodatkowe właściwości

Każdy regularny wielokąt jest autodualny .Rzeczywiście, wspomniany obrót całkowicie charakteryzuje wielokąt (z bliskim bezpośrednim podobieństwem ).

Regularne wielokąty z n wierzchołkami (rozpatrywane z bliskim podobieństwem) są w układzie bijekcyjnym z liczbami całkowitymi pierwszymi zn i między 1 a n / 2
(dlatego dla n > 2 istnieje φ ( n ) / 2, gdzie φ oznacza wskaźnik Eulera ) .Rzeczywiście, obrót jest rzędu n, więc jego kąt wynosi $2 k π / n$ rad dla pewnej liczby całkowitej k pierwszej z n . Co więcej, dwa kąty dają „ten sam” wielokąt wtedy i tylko wtedy, gdy są równe lub przeciwne.

Budowa linijki i kompasu

Za pomocą linijki i kompasu można zbudować regularny wielokąt (wypukły lub gwiazda) z n krawędziami wtedy i tylko wtedy, gdy n jest iloczynem potęgi 2 przez różne liczby pierwsze Fermata ( por . Artykuł „ Theorem of Gauss-Wantzel ” ). Jedyne znane liczby pierwsze Fermata to 3, 5, 17, 257 i 65 537.

Regularne wypukłe wielokąty

Regularny wypukły wielokąt o n bokach odpowiada kątowi obrotu $2π / n$ .

Kąty

Dla regularnego wypukłego wielokąta o n bokach.

Kąt w ośrodku:
Do $N$ kąty w centrum są równe, a ich suma wynosi 360 ° C. Dlatego kąt w środku ma wartość: $2π / nie$ radianów lub $360 / nie$ stopnie .
Kąt zewnętrzny : z
tego samego powodu kąt zewnętrzny jest również wart 360 ° / n .
Kąt wewnętrzny :
jest dodatkiem do kąta zewnętrznego (lub kąta w środku) i dlatego ma następującą wartość: ${\ Displaystyle 180 - {\ Frac {360} {n}} = {\ Frac {(n-2) \ razy 180} {n}}}$ stopnie lub $( n - 2) π / nie$ radianów lub nawet $( n - 2) / 2 n$ zakręty .

Apothem i promień

Odległość między środkiem wielokąta a każdym z boków nazywana jest apotemem (jest to promień wpisanego koła ).

Dane jednej z trzech długości (bok $a$ , promień $ρ$ lub apotem $h$ ) umożliwiają poznanie pozostałych dwóch, a tym samym scharakteryzowanie wielokąta.

Jeśli oznaczymy przez $c = a / 2$ połowę boku $a$ wielokąta foremnego o $n$ bokach, długości te są powiązane twierdzeniem Pitagorasa :

h ^ {2} + c ^ {2} = \ rho ^ {2}

i za pomocą następujących wzorów trygonometrycznych (kąty wyrażone w radianach):

{\ Displaystyle h = \ rho \ cos \ lewo ({\ Frac {\ pi} {n}} \ prawej) \ quad {\ rm {et}} \ quad c = \ rho \ sin \ lewo ({\ Frac { \ pi} {n}} \ right) \ quad {\ rm {Dlatego}} \ quad c = h \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right),}

z którego wywnioskujemy odpowiednio:

{\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {h} {\ cos (\ pi / n)}}, \ quad \ rho = {\ Frac {a} {2 \ sin (\ pi / n)}} \ quad { \ rm {i}} \ quad h = {\ frac {a} {2 \ tan (\ pi / n)}}.}

Obwód i obszar

Obwód P regularnego wielokąta wypukła $n$ bokach ( n ≥ 3) o długości oczywiście równej nd . Ze względu na swój obszar S , jest sumą obszarów n trójkątów ( równoramienny ) o wysokości $h$ (The apotema) i podstawy $A$ , zatem:

{\ Displaystyle P = na \ quad {\ tekst {et}} \ quad S = n {\ Frac {ah} {2}} = {\ Frac {Ph} {2}}}

Z poprzednich relacji między $a$ , $h$ i promieniem $ρ$ wielokąta wnioskujemy:

{\ Displaystyle P = 2n \ sin \ lewo ({\ Frac {\ pi} {n}} \ prawej) \ rho \ quad {\ tekst {et}} \ quad S = {\ Frac {na ^ {2}} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}} = {\ frac {n} {2}} \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {n} } \ right) \ rho ^ {2}}

;

ostatnia równość również używa trygonometryczne tożsamości : . ${\ Displaystyle \ sin x \ razy \ cos x = {1 \ ponad 2} \ sin {2x}}$

Od $sin x$ jest równoważny do $X$ jako $x$ dąży do 0, obwodowa ma tendencję do $2 n ρ$ jak $n$ dąży do nieskończoności, a także obszar $gatunku ρ 2$ . Znajdujemy obwód koła i obszar dysku .

Regularne wypukłe wielokąty mają niezwykłą właściwość, znaną od Greków . Spośród wszystkich wielokątów o tej samej liczbie boków i tym samym obwodzie największy obszar ma ten, który jest regularny wypukły. Ten obszar, zawsze mniejszy niż obszar koła o tym samym promieniu, zbliża się do niego, gdy $n$ staje się większe. Właściwości te omówiono w artykule „ Izoperymetria ”.

Wartości liczbowe

boki	Nazwisko	Dokładny obszar, jeśli $a$ = 1	Pół obwodu, jeśli $ρ = 1$
3	Trójkąt równoboczny	${\ Displaystyle {\ Frac {3} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {3}} \ prawej)}} = {\ Frac {\ sqrt {3}} {4}}}$	2.5980762
4	Kwadrat	${\ Displaystyle {\ Frac {4} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {4}} \ prawej)}} = 1 \;}$	2.8284271
5	Pięciokąt regularny	${\ Displaystyle {\ Frac {5} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {5}} \ prawej)}} = {\ Frac {1} {4}} {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}}}$	2.9389263
6	Sześciokąt regularny	${\ Displaystyle {\ Frac {6} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {6}} \ prawej)}} = {\ Frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} }$	3,000000
7	Regularny siedmiokąt	${\ Displaystyle {\ Frac {7} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {7}} \ prawej)}}}$	3.0371862
8	Zwykły ośmiokąt	${\ Displaystyle {\ Frac {8} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {8}} \ prawej)}} = 2 + 2 {\ sqrt {2}}}$	3.0614675
9	Zwykły Enneagone	${\ Displaystyle {\ Frac {9} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {9}} \ prawej)}}}$	3.0781813
10	Zwykły dziesięciokąt	${\ Displaystyle {\ Frac {10} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {10}} \ prawej)}} = {\ Frac {5} {2}} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}}$	3.0901699
11	Zwykły sześciokąt	${\ Displaystyle {\ Frac {11} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {11}} \ prawej)}}}$	3.0990581
12	Zwykły dwunastokąt	${\ Displaystyle {\ Frac {12} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {12}} \ prawej)}} = 6 + 3 {\ sqrt {3}}}$	3,1058285
13	Regularny trójkątny	${\ Displaystyle {\ Frac {13} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {13}} \ prawej)}}}$	3,1111036
14	Zwykły czworokąt	${\ Displaystyle {\ Frac {14} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {14}} \ prawej)}}}$	3,1152931
15	Pięciokąt regularny	${\ Displaystyle {\ Frac {15} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {15}} \ prawo)}}}$	3,1186754
16	Regularny sześciokąt	${\ Displaystyle {\ Frac {16} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {16}} \ prawo)}}}$	3.1214452
17	Zwykły siedmiokątny	${\ Displaystyle {\ Frac {17} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {17}} \ prawo)}}}$	3.1237418
18	Zwykły ośmiokąt	${\ Displaystyle {\ Frac {18} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {18}} \ prawej)}}}$	3,1256672
19	Zwykły Enneadecagon	${\ Displaystyle {\ Frac {19} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {19}} \ prawej)}}}$	3,1272972
20	Zwykły Icosagon	${\ Displaystyle {\ Frac {20} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {20}} \ prawej)}} = 5 \ razy {\ Frac {1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}} {1 + {\ sqrt {5}} - {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}}}}$	3,1286893
30	Zwykły triakontagon	${\ Displaystyle {\ Frac {30} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {30}} \ right)}} = {\ Frac {15} {2}} \ times {\ Frac {{ \ sqrt {15}} + {\ sqrt {3}} + {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}} {{\ sqrt {30 - {\ sqrt {180}}}} - {\ sqrt {5}} - 1}}}$	3,1358539
100	Regularny sześciokąt	${\ Displaystyle {\ Frac {100} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {100}} \ prawej)}}}$	3.1410759
1000	Zwykły Chiliagon	${\ Displaystyle {\ Frac {1000} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {1000}} \ prawej)}}}$	3.1415875
10 000	Myriagone regular	${\ Displaystyle {\ Frac {10000} {4 \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi} {10000}} \ prawej)}}}$	3.1415926

Zauważ, że jeśli promień jest równy 1, połowa obwodu zbliża się coraz bardziej do $π$ .

Regularne, niewypukłe wielokąty

Przykładem regularnego wielokąta gwiaździstego (co jest równoważne z „ skrzyżowanym regularnym ” lub „nie wypukłym regularnym”) jest pentagram , który ma te same wierzchołki co regularny pięciokąt wypukły , ale który jest połączony naprzemiennymi wierzchołkami.

Pierwsze wielokąty gwiazd to:

Pentagram - {5/2}
Heptagramy - {7/2}, {7/3}
Octagram (en) - {8/3}
Enneagrams - {9/2}, {9/4}
Decagram - {10/3}

Wielościany

Jednolity wielościan jest wielościan z regularnych wielokątów na twarzy tak, że dla każdej pary wierzchołków istnieje izometria zastosowanie jednej nad drugą. Słowo wielokąt pochodzi od słowa poli (wiele) i nie ma (kąty).

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Regular wielokąt ” ( zobacz listę autorów ) .

Wygodnie jest myśleć o digonie jako wypukłym wielokącie , chociaż nie jest to nawet proste .
Słowniczek matematyki w dżinsach .

Zobacz też

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

(en) Opis wielokąta foremnego z interaktywną animacją
( fr ) Wpisany okrąg wielokąta foremnego z interaktywną animacją
( fr ) Obszar wielokąta regularnego Trzy różne wzory z interaktywną animacją
Geometria kwiatów z regularnym wielokątem Zgodność między figurami a obrysem kwiatów