Równowartość

W matematycznej analizy , równoważność łączy dwie funkcje lub dwie sekwencje , które mają takie samo działanie w sąsiedztwie punktu lub nieskończoności.

Pojęcie to interweniuje przy obliczaniu asymptotycznych ekspansji , z których ograniczone ekspansje są przypadkami specjalnymi. Equivalent operacje to narzędzie obliczeniowe.

Równoważność dla apartamentów

Definicje

Niech będą dwiema sekwencjami z wartościami rzeczywistymi lub złożonymi . unie{\ displaystyle u_ {n}}vnie{\ displaystyle v_ {n}}

Mówimy, że jest równoważny do , i zauważamy , jeśli sekwencja jest znikoma w przedniej części sekwencji . unie{\ displaystyle u_ {n}}vnie{\ displaystyle v_ {n}}unie∼vnie{\ displaystyle u_ {n} \ sim v_ {n}}unie-vnie{\ displaystyle u_ {n} -v_ {n}}vnie{\ displaystyle v_ {n}}

Używając małej notacji „o”, jest napisane: i powoduje istnienie ciągu, który dąży do zera i weryfikuje od określonej rangi. unie=vnie+o(vnie){\ Displaystyle u_ {n} = v_ {n} + o (v_ {n})}εnie{\ displaystyle \ varepsilon _ {n}}unie=(1+εnie)vnie{\ Displaystyle u_ {n} = (1+ \ varepsilon _ {n}) v_ {n}}

Przykłady

• Odpowiednik częściowej zamówienia suma z szeregu harmonicznego jestH.nie{\ displaystyle H_ {n}}nie{\ displaystyle n}ln⁡(nie).{\ Displaystyle \ ln (n).}
• Słynny odpowiednik podaje wzór Stirlinga  :nie!∼2πnie(niemi)nie.{\ Displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \, \ lewo ({n \ nad e} \ prawo) ^ {n}.}
• Niech π będzie sekwencją, której n-ty wyraz jest równy liczbie liczb pierwszych mniejszych lub równych n . Liczby pierwsze twierdzenie mówi, żeπ(nie)∼nieln⁡nie.{\ Displaystyle \ pi (n) \ sim {\ Frac {n} {\ ln n}}.}

Nieruchomości

• W szczególnym przypadku, gdy sekwencja nie znika z określonej rangi, mamy:vnie{\ displaystyle v_ {n}}

unie∼vnie⇔limnie→+∞unievnie=1.{\ Displaystyle u_ {n} \ sim v_ {n} \ Leftrightarrow \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {u_ {n}} {v_ {n}}} = 1.}

• W szczególności, jeśli jest niezerową stałą:ℓ{\ displaystyle \ ell}

unie{\ displaystyle u_ {n}} zbiega się wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoważna stałej sekwencji równej .ℓ{\ displaystyle \ ell}ℓ{\ displaystyle \ ell}

• Relacja „być równoważną” to relacja równoważności na zbiorze ciągów o wartościach rzeczywistych (lub zespolonych), które są różne od zera od określonej rangi.

Równoważność funkcji

Definicja

Niech f i g są dwie funkcje zdefiniowane w części A w ℝ i z wartościami K = ℝ lub ℂ i pozwolić a będzie punkt przylegający do A ( może być rzeczywiste lub + ∞ lub -∞ ) .

Mówimy, że f jest równoważne g w a i zauważamy (lub po prostu, gdy nie ma niejednoznaczności w rozważanym przez nas punkcie a ), jeśli istnieje funkcja zdefiniowana w sąsiedztwie V o ma taką, że: fa∼wsol{\ displaystyle f \ sim _ {a} g}fa∼sol{\ displaystyle f \ sim g}ε{\ displaystyle \ varepsilon}

• limwε=0{\ displaystyle \ lim _ {a} \ varepsilon = 0}
• ∀x∈(V∩W)∖{w}, fa(x)=(1+ε(x))sol(x).{\ Displaystyle \ forall x \ w (V \ nasadka A) \ setminus \ {a \}, ~ f (x) = (1+ \ varepsilon (x)) g (x).}

Przykład

Równoważny w ± ∞ z funkcji wielomianowej jest jej najwyższy stopień Jednomian .

Nieruchomości

• W szczególnym przypadku, gdy g jest niezerowe w sąsiedztwie a , mamy:
  fa∼wsol⇔limx→wfa(x)sol(x)=1.{\ Displaystyle f \ sim _ {a} g \ Leftrightarrow \ lim _ {x \ do a} {\ Frac {f (x)} {g (x)}} = 1.}
• W szczególności, jeśli jest niezerowym elementem K :ℓ{\ displaystyle \ ell}
  fa∼wℓ⇔limwfa=ℓ.{\ displaystyle f \ sim _ {a} \ ell \ Leftrightarrow \ lim _ {a} f = \ ell.}
• Relacja jest relacją równoważności .∼w{\ displaystyle \ sim _ {a}}
• Jeśli f i g są wartościami rzeczywistymi i jeśli są równoważne w a , to
  • mają nawet znak „lokalnie wokół ”, czyli na pewnym otoczeniu ,
  • jeśli z wtedy .limwsol=l{\ displaystyle \ lim _ {a} g = l}l∈R∪{±∞}{\ Displaystyle l \ in \ mathbb {R} \ cup \ {\ pm \ infty \}}limwfa=l{\ displaystyle \ lim _ {a} f = l}
• Ogólnie (patrz artykuł Operacje równoważne ), operacje mnożenia przez inną funkcję lub skalar, inwersji, dzielenia są zgodne z relacją „być równoważnym”. Jednak dodatek i skład są problematyczne.

Uwagi

• Możemy uogólnić tę definicję, rozważając funkcje:
  • zdefiniowane w części A, o powierzchni topologicznej inny niż ℝ;
  • o wartości w przestrzeni wektorowej znormalizowanej w K , lub nawet w topologii przestrzeń wektorową o o o wartości pola K , innych niż ℝ lub ℂ.
• Pojęcie równoważności ciągów jest szczególnym przypadkiem równoważności funkcji.

Zobacz też

Porównanie asymptotyczne

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">