W matematyce , geometrii hiperbolicznej (poprzednia nazwa geometria Lobachevsky , który był pierwszy publikuje dogłębne studium niej) jest non-geometria euklidesowa weryfikacji pierwsze cztery postulaty dotyczące Euklidesa , ale dla których piąty postulat , który jest równoważny twierdzenie, że przez punkt znajdujący się poza linią przechodzi tylko jedną linię równoległą do niej, zastępuje się postulatem, zgodnie z którym „przez punkt poza linią przechodzi kilka linii równoległych do tej” (istnieje wówczas nieskończoność z nich).
W geometrii hiperbolicznej większość właściwości metrycznych geometrii euklidesowej nie jest już ważna; w szczególności twierdzenie Pitagorasa nie jest już weryfikowane, a suma kątów trójkąta jest zawsze mniejsza niż 180 °. Linie pozostają jednak liniami najkrótszej ścieżki łączącej dwa punkty, co pozwoliło Beltrami , w przypadku płaszczyzny hiperbolicznej, zamodelować je jako geodezyjne na powierzchni o stałej ujemnej krzywiźnie , ponieważ linie geometrii eliptycznej są modelowane dużymi okręgami na kuli .
Podążając za Beltramim, Klein i Poincaré skonstruowali kilka innych modeli geometrii hiperbolicznej, takich jak model hiperboloidy czy model dysku Poincarégo . Modele te pokazują niezależność tego aksjomatu analogii , czyli niemożność wykazania (lub obalić) go od pozostałych aksjomatów; sprowadza się to również do stwierdzenia, że jeśli geometria euklidesowa nie zawiera sprzeczności, to również geometria hiperboliczna.
Określenie „prawdziwej” geometrii naszej przestrzeni fizycznej wynikało z odkrycia geometrii nieeuklidesowych; na początku XXI th wieku, badania eksperymentalne nie są jeszcze stosowane zdecydować, co to jest, co jest płaskość problemem , jeden z nierozwiązanych zagadnień kosmologii.
Piąty postulat Euklidesa (obecnie nazywa się „ Aksjomat paralele ”) wydaje się, że zawsze miał status znacznie mniej «naturalne» niż pozostałych czterech, a zamiast tego były odczuwane jako twierdzenie, którego dowód nie został jeszcze pobrany . Próby demonstracji pojawiają się od czasów starożytnych i istnieje wiele błędnych „dowodów”. Najbardziej obiecującym sposobem wydedukowania tego od innych wydaje się być rozumowanie na podstawie absurdu , a kilku matematyków uważało się, że odnieśli sukces, odrzucając postulaty, które rzeczywiście wydawały im się sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem, takie jak fakt, że dwie prostopadłe linie do tej samej linii oddalałyby się od siebie w obu kierunkach. Jednak niepowodzenia tych prób stopniowo doprowadziły do pomysłu, że inne geometrie są możliwe i do odkrycia geometrii nieeuklidesowych .
Historia samej geometrii hiperbolicznej wydaje się jednak rozpocząć na początku XVIII -go wieku z pracami włoskiego matematyka Giovanni Girolamo Saccheriego , która stara się wykazać w dziele jego życia, Euclides ab omni naevo vindicatus ( Euclid myte od wszelkiej zmazy ), że postulaty Euklidesa są spójne i konieczne do zdefiniowania geometrii. Zakładając, że w szczególności piąty postulat jest fałszywy, stara się rozwinąć wszystkie konsekwencje tej hipotezy, aż do uzyskania sprzeczności. Nie udaje mu się w tej próbie, uzyskując dużą liczbę dziwnych twierdzeń, ale nie przedstawiając żadnej niespójności między nimi. Nie zdając sobie sprawy, że ma przed sobą nową geometrię, kończy swoją pracę przyznaniem się do połowicznej porażki.
W połowie XVIII -tego wieku, Johann Heinrich Lambert studiował również konsekwencje odmowy założeniu, i dostaje pod że twierdzeń założeń i dokładnych wyników (obecnie uznawane za należące do hiperbolicznej geometrii) jako wzoru dla kątów suma trójkąt jako funkcja jego pola: C Δ = π - (α + β + γ) , gdzie α, β, γ to kąty trzech wierzchołków trójkąta, C współczynnik proporcjonalności, a Δ pole trójkąt. Pod koniec swego życia, zdaje się sobie sprawę, że te twierdzenia manifestować istnienie autentycznego geometrii „na kuli o promieniu urojonej . ”
Jest to praca Carla Friedricha Gaussa, która jest powszechnie uznawana za prawdziwy punkt wyjścia geometrii hiperbolicznej, chociaż nigdy nie zostały one opublikowane za jego życia. Sformułował w swoich notatkach z 1813 roku ustrukturyzowaną teorię i wydaje się, że był w pełni świadomy, że ta geometria ma status matematyczny równoważny z geometrią euklidesową.
Geometria hiperboliczna jest ponownie odkrywana i intensywnie badana przez Nikołaja Łobaczewskiego od 1830 i niezależnie przez Jánosa Bolyai od 1825 w pracach opublikowanych w 1831; jednak prace te zyskały bardzo późne uznanie, kiedy w 1865 roku opublikowano korespondencję między Gaussem a Heinrichem Christianem Schumacherem , w której Gauss wypowiadał się wysoko o Łobaczewskim i Bolyai.
Geometria hiperboliczna jest uważana za ciekawostkę bez rzeczywistego praktycznego znaczenia (Łobaczewski nazywa ją „geometrią urojoną”, w tym sensie, że jest przeciwna rzeczywistej geometrii przestrzeni fizycznej), dopóki Eugenio Beltrami nie zasugerował jej w 1868 r. kilku modeli (które nazywa reprezentacjami). ), w tym reprezentacje konforemne i rzutowe, odkryte później odpowiednio przez Henri Poincaré i Felixa Kleina , a także model pseudosfery . Pokazuje za pomocą tych przedstawień, że jeśli geometria euklidesowa jest matematycznie spójna , to z konieczności jest nią również geometria hiperboliczna, a zatem aksjomat równoległości jest niezależny od pozostałych.
W 1872 roku Felix Klein pokazuje w programie Erlangena , że wszystkie geometrie, euklidesowe i nieeuklidesowe, mogą być postrzegane jako podgeometrie geometrii rzutowej , używając uprzywilejowanej stożka (zwanej stożkiem absolutnym ) (ta konstrukcja jest tą, która definiuje Cayley-Klein metryczny ); wybór „prawdziwej” stożka jako stożka absolutnego umożliwia skonstruowanie geometrii Łobaczewskiego i częściowo wyjaśnia nazwę „geometrii hiperbolicznej”, którą nadaje jej Klein i która odtąd jest z nią kojarzona.
W tej sekcji wyszczególniono tylko właściwości figur płaskich; rzeczywiście, geometrię przestrzeni hiperbolicznej w wyższym wymiarze można wydedukować z geometrii płaszczyzny, jak w przypadku euklidesowym, i nie pojawiają się żadne zasadniczo nowe zjawiska.
Mówi się, że własności płaszczyzny, które można wykazać z aksjomatów Euklidesa (lub z bardziej rygorystycznego i nowoczesnego sformułowania, takiego jak Hilbert ), z wyjątkiem aksjomatu równoległości , należą do geometrii absolutnej . I tak np. pokazujemy, że dwie prostopadłe do tej samej prostej nie mają punktów wspólnych, a zatem zawsze istnieją równoleżniki (dlatego geometria eliptyczna nie jest geometrią absolutną). Wiele własności geometrii hiperbolicznej w podobny sposób pokrywa się z własnościami geometrii euklidesowej, czasami kosztem przeformułowania: w ten sposób łatwo wykazać, że wewnętrzne dwusieczne dowolnego trójkąta są zbieżne ( klasyczny dowód nie używa pojęcia równoległości) i dlatego w tym trójkącie wpisany jest okrąg ; właściwości dwusiecznych prostopadłych skłaniają nas do myślenia, że są one również współbieżne, a zatem istnieje również okrąg opisany , ale ten wynik jest generalnie fałszywy w płaszczyźnie hiperbolicznej, ponieważ dwie prostopadłe do dwóch zbieżnych linii mogą być równoległe; prawdziwe pozostaje to, że jeśli dwie prostopadłe dwusieczne przecinają się trójkąta, trzy prostopadłe dwusieczne są zbieżne (ten sam wynik jest również prawdziwy dla wysokości trójkąta).
Geometrię hiperboliczną uzyskuje się z geometrii absolutnej przez zastąpienie aksjomatu równoległości (lub dokładniej wersji podanej przez Proclusa ) aksjomatem, który na przykład zapewnia, że „istnieją co najmniej dwie współbieżne linie równoległe do tej samej trzeciej”. Następnie dowodzimy, że dla dowolnej prostej D i dla dowolnego punktu P nie na D istnieje nieskończoność linii przechodzących przez P i nie spotykających się z D , znajdujących się pomiędzy dwiema liniami granicznymi tworzącymi kąt 2 θ zależny tylko od odległości od P do D ; θ nazywamy kątem równoległości (obliczenie tego kąta w funkcji odległości zostanie wykonane w części poświęconej właściwościom metrycznym ). Dwie linie graniczne mówi się asymptotyczne równoległe do D (niektórzy autorzy Zastrzegamy zbieżności określony przez asymptotyczne podobieństw, a także innych sieczna są następnie uważane ultraparallel lub czasami hyperparallel ). Udowadniamy, że jeśli dwie linie płaszczyzny są niesieczne (równoległe w zwykłym sensie euklidesowym), to albo są asymptotami, albo istnieje jedna i tylko jedna prosta prostopadła do obu; odcinek wycięty na tej wspólnej prostopadłej odpowiada wtedy minimalnej odległości między tymi dwiema liniami (która wynosi zero dla dwóch linii asymptotycznych). Znikają euklidesowe pojęcia kierunku linii , definiowane jako stosunek równoważności między liniami równoległymi, i punktu w nieskończoności prostej (określane w geometrii rzutowej jako przecięcie tej linii z linią l'nieskończoności), ale nadal możliwe jest zdefiniowanie relacji równoważności między asymptotycznymi paralelami (linie mają teraz dwa kierunki), a także pojęciem punktów w nieskończoności; na przykład w modelu dysku Poincarégo punkty w nieskończoności tworzą okrąg ograniczający dysk, a każda linia (reprezentowana w tym modelu przez łuk koła) przecina ten ograniczający okrąg w dwóch punktach odpowiadających jego dwóm kierunkom, dwa linie są równoległymi asymptotami, jeśli mają wspólny punkt w nieskończoności.
Właściwości metryczne okręgu o promieniu r różnią się od właściwości euklidesowych: jego obwód i pole są odpowiednio większe niż 2π r i π r 2 . Ale dodatkowo pewne charakterystyczne właściwości linii euklidesowych definiują krzywe płaszczyzny hiperbolicznej, które nie mają odpowiednika euklidesowego, ale które z pewnych stron mogą być interpretowane jako uogólnione okręgi: punkty położone w stałej odległości d d ' dana prosta D tworzy krzywa zwana hipercyklem ; krzywe, których normalne we wszystkich punktach tworzą rodzinę asymptotycznie równoległych linii, nazywane są horocyklami (lub czasami horycyklami ). W modelu dysku Poincaré wszystkie koła, horocykle i hipercykle (a także linie) są reprezentowane przez koła lub łuki. Przez trzy punkty tworzące trójkąt przechodzi pojedyncza krzywa tej rodziny (koło, horocykl lub hipercykl), co zatem uogólnia pojęcie koła wpisane w ten trójkąt. Wreszcie, jeśli szereg punktów P n ( ) jest taki, że wszystkie odcinki S n = [ P n P n +1 ] są tej samej długości i że kąty między tymi odcinkami są równe i wystarczająco duże, tworzy wielokąt nieskończony regularny , zwany apeirogonem regularnym , wpisany w horocykl lub hipercykl.
Kąt u góry wielokąta foremnego o n bokach (który obowiązuje w płaszczyźnie euklidesowej) zależy od długości a boku w geometrii hiperbolicznej i może być dowolnie mały; dlatego możemy równomiernie ułożyć płaszczyznę hiperboliczną wielokątami foremnymi o dowolnej liczbie boków i dowolną liczbą wielokątów mających wspólny wierzchołek (chociaż nie istnieje w płaszczyźnie euklidesowej niż trzy regularne kafelki ). Przykład obok przedstawia (w modelu dysku Poincarégo ) kafelkowanie pięciokątami foremnymi o pięciu kątach prostych.
W przeciwieństwie do płaszczyzny euklidesowej, w płaszczyźnie hiperbolicznej istnieje bezwzględna skala długości, analogiczna do promienia kuli w geometrii sferycznej , którą można interpretować jako „krzywiznę”, deformację płaszczyzny euklidesowej powodującą na przykład suma kątów trójkąta mniejsza niż 180 °; Gauss zdefiniował, bardziej ogólnie, pojęcie wewnętrznej krzywizny dla dowolnej powierzchni, używając tylko linii narysowanych na powierzchni; z tą definicją pokazano, że płaszczyzna hiperboliczna jest ciągle zakrzywioną powierzchnią ujemną K . Wybierając odpowiednio jednostkę długości, możemy przyjąć K równe -1; to ta konwencja będzie używana w dalszej części. Dla bardziej ogólnych wzorów należałoby pomnożyć przez -K wszystkie występujące tam długości; zatem w ogólnym przypadku relacja między bokami trójkąta prostokątnego staje się cosh ( Kc ) = cosh ( Ka ) cosh ( Kb ) , a pole powierzchni dysku o promieniu r wynosi .
Kąt równoległościJeśli P jest punktem poza linią D, a H jego rzutem ortogonalnym na D (przy a = HD odległość od P do D ), podane poniżej wzory dla trójkąta prostokątnego PHM , z M na D oddalającym się w nieskończoność, prowadzą do wzór dający sinus kąta równoległości θ , wzór odkryty przez Łobaczewskiego :
.Kąt ten ma tendencję do szybkiego 0 oznacza P oddala się od D , to znaczy, że większość linii przez P równoległej do D .
ObszaryObwód okręgu o promieniu r wynosi 2π sinh ( r ) = π ( e r - e - r ) a obszar odpowiedniego dysku to ; w ten sposób obszar dysku rośnie znacznie szybciej wraz z jego promieniem niż w płaszczyźnie euklidesowej. Zupełnie inaczej jest dla obszaru Δ trójkąta (którego kąty α , β i γ są tym mniejsze, im boki są duże): Lambert wykazał, że Δ = π - (α + β + γ ) , wzór identyczny jak znak wzoru Girarda w trygonometrii sferycznej , który mimochodem pokazuje, że suma kątów trójkąta jest zawsze mniejsza niż π .
Trygonometria trójkąta hiperbolicznegoFormalnie można otrzymać wyniki odpowiadające płaszczyźnie hiperbolicznej, zakładając trójkąt narysowany na kuli o wyimaginowanym promieniu R = i (to znaczy, że R 2 = -1 ); innymi słowy, zastępując w klasycznych formułach trygonometrii sferycznej sinusy i cosinusy łuków (a nie kątów) hiperbolicznymi sinusami i cosinusami (oraz korygując pewne znaki). Zatem dla trójkąta ABC , z tymi samymi konwencjami jak w przypadku sferycznym (boki oznaczone a = BC , b = AC i c = AB ; odpowiadające kąty oznaczone α , β i γ ), mamy prawo cosinusów : cosh ( c ) = cosh ( a ) cosh ( b ) - sinh ( a ) sinh ( b ) cos ( ) , podwójne prawo cosinusowe : cos (γ) = - cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β) cosh ( c ) i sinus : . W szczególności dla trójkąta prostokątnego w C mamy cosh ( c ) = cosh ( a ) cosh ( b ) ; jak cosh ( x ) ≈ 1 +x 22dla x wystarczająco małe, ostatecznie znajdujemy twierdzenie Pitagorasa.
Nazywają plan poruszający się izometrię że zachowuje orientację . W obrotów hiperbolicznej płaszczyźnie są zdefiniowane tak, jak w geometrii euklidesowej: jeśli R jest obrót centralnego C oraz kąt, obraz A przez B , A „ = R ( ) jest punkt, w taki sposób, CA” = ok i że kąt ; wykazanie, że ta transformacja jest rzeczywiście przemieszczeniem, nie zależy od aksjomatu paraleli. Z drugiej strony nie ma prawdziwych analogów translacji w geometrii hiperbolicznej; najbliższe temu jest obrót wokół punktu w nieskończoności C , transformacja utworzona przez złożenie dwóch ortogonalnych symetrii mających dla osi dwie współbieżne linie proste w tym punkcie (a więc równoległe asymptoty); w iteracji takiej transformacji, każdy punkt przechodzi przez wierzchołki regularnych apeirogon wpisanego w horocycle ośrodka C (transformacja ta jest czasami nazywany horolation ośrodka C ). Mówiąc ogólniej, pokazano, że każde przemieszczenie płaszczyzny hiperbolicznej składa się z dwóch ortogonalnych symetrii: jest to identyczność, jeśli osie symetrii są pomieszane, jest to zwykły obrót, jeśli się przecinają, jest to horolacja, gdy są równoległe asymptoty i wreszcie, jeśli dwie osie symetrii są ultrarównoległe, to przemieszczenie jest przesunięciem wzdłuż ich wspólnej prostopadłej , pozostałe punkty przechodzą przez hipercykle, mając dla osi tę prostopadłą.
Wynalazek przez Kartezjusza z układów współrzędnych, które noszą jego imię urodziła geometrii analitycznej , geometrii, aby rozwiązać problemy z metod algebry . W ten sam sposób można zidentyfikować punkty płaszczyzny hiperbolicznej za pomocą par liczb, najczęściej stosowanym układem są współrzędne osiowe (przyjmując za współrzędne punktu jego rzuty ortogonalne na dwie prostopadłe osie), ale układy te są daleka od wygody, ze względu na złożoność formuł opisujących zwykłe figury (linie i okręgi) lub pozwalających na obliczanie kątów i odległości; dlatego większość aplikacji komputerowych wykonuje obliczenia w modelu dysku Poincarégo .
Teoria modeli ma swoje źródło właśnie w przykładach skonstruowanych przez Eugenio Beltrami , który dał im nazwę przedstawień ; dla niego reprezentacja geometrii jest konstrukcją, w zwykłej przestrzeni euklidesowej (lub ogólniej w przestrzeni ), obiektów odpowiadających w spójny sposób geometrii i jej własnościom. Na przykład diagram Minkowskiego jest reprezentacją geometrii Minkowskiego ; kula z dużymi okręgami tworzy reprezentację geometrii eliptycznej . Beltrami stosować różne reprezentacje że uzyskał rygorystycznie wykazać niezależność tego aksjomatu równoleżników .
Wszystkie reprezentacje geometrii hiperbolicznej są równoważne z matematycznego punktu widzenia, to znaczy, że istnieją izomorfizmy pozwalające na przejście od jednej reprezentacji do drugiej; w tym sensie matematycy mówią o płaszczyźnie hiperbolicznej jako o pojedynczym obiekcie.
Aby upewnić się, że różne reprezentacje podane poniżej są rzeczywiście modelami geometrii hiperbolicznej (innymi słowy, że weryfikują wszystkie jej aksjomaty), nie wystarczy powiedzieć, czym są „linie”. konieczne jest również zdefiniowanie pojęcia kongruencji (odcinków) lub, co sprowadza się do tego samego, odległości między punktami (która z konieczności będzie różna od zwykłej odległości przestrzennej). Wzory określające te odległości dla każdego modelu można znaleźć w odpowiednich artykułach szczegółowych.
W tym modelu przestrzeń hiperboliczna jest otwartą kulą euklidesową. W wymiarze 2 płaszczyzna hiperboliczna jest zatem modelowana przez otwarty dysk. Linie przestrzeni hiperbolicznej to odcinki, których końce należą do krawędzi kuli; odległość oblicza się według metryki Cayley-Klein . Reprezentacja linii hiperbolicznych jest w tym modelu łatwa, ale kąty nie są zachowywane, a okręgi są reprezentowane przez elipsy.
Kula (lub okrąg w wymiarze 2) ograniczająca dziedzinę modelu odpowiada punktom przestrzeni hiperbolicznej położonym w nieskończoności . Ponadto im bliżej krawędzi domeny, tym bardziej odległości wydają się kurczyć w modelu.
Podobnie jak w modelu Kleina-Beltramiego, przestrzeń hiperboliczna jest w tym modelu reprezentowana przez otwartą kulę euklidesową (a więc przez dysk o wymiarze 2), ale linie tej przestrzeni hiperbolicznej są łukami okręgów prostopadłych do krawędzi kuli ; odległość jest określona przez metrykę Poincaré . Zainteresowanie tej reprezentacji polega na tym, że lokalnie metryka przestrzeni jest, z jednym czynnikiem, metryką euklidesową modelu. W szczególności kąt między dwiema liniami przestrzeni hiperbolicznej jest równy kątowi geometrii euklidesowej utworzonej przez dwa łuki kół modelu reprezentującego te dwie linie. Mówimy, że reprezentacja przestrzeni hiperbolicznej jest konforemna .
Podobnie jak w modelu Kleina-Beltrami, sfera (lub okrąg w wymiarze 2) ograniczająca dziedzinę modelu odpowiada punktom przestrzeni hiperbolicznej położonym w nieskończoności , odległości wydają się kurczyć przy zbliżaniu się od krawędzi domeny.
W tym modelu przestrzeń hiperboliczna jest otwartą półprzestrzenią . W wymiarze 2 płaszczyzna hiperboliczna jest zatem modelowana przez półpłaszczyznę euklidesową. Linie tej przestrzeni hiperbolicznej są łukami okręgów prostopadłych do hiperpłaszczyzny (lub do linii w wymiarze 2) ograniczających półprzestrzeń; odległość jest definiowana za pomocą metryki . Reprezentacja jest ponownie spójna.
W tym modelu ograniczająca dziedzinę hiperpłaszczyzna (lub linia prosta w wymiarze 2) odpowiada punktom przestrzeni hiperbolicznej położonym w nieskończoności . Odległości kurczą się, gdy zbliżają się do hiperpłaszczyzny, i rozszerzają się, gdy się oddalają.
W tym modelu, badanym przez Poincaré, a zwłaszcza przez Killinga w latach osiemdziesiątych XIX wieku, przestrzeń hiperboliczna jest arkuszem hiperboloidu zaopatrzonego w określoną metrykę. Dokładniej w przestrzeni Minkowskiego , czyli R n +1 , obdarzonej pseudometryką - dx2
0+ dx2
1+ ... + dx2
n, jest to arkusz hiperboloidy równania x2
0- x2
1- ... - x2
n= 1 taki, że x 0 > 0 , przy założeniu indukowanej pseudometrii, która w rzeczywistości jest jednorodną metryką Riemanna. Minkowski wykazał w 1908 roku, że model ten utożsamiany jest z przestrzenią wektorów prędkości ( Geschwindigkeitsvectoren ) szczególnej teorii względności .
Eugenio Beltrami zaproponował w 1868 roku przyjęcie powierzchni o ujemnej stałej krzywiźnie jako modelu płaszczyzny hiperbolicznej (i nazwanie geodezji tej powierzchni „liniami” ). Nie jest możliwe (zgodnie z twierdzeniem Hilberta ) uzyskanie w ten sposób modelu całej płaszczyzny hiperbolicznej, która nie przedstawia osobliwości , ale pseudosfera jest najlepszą reprezentacją; ma również tę zaletę, że zachowuje zwykłą metrykę, mierząc odległości wzdłuż geodezji. Henri Poincaré bardziej ogólnie zademonstrował równoważność płaszczyzny hiperbolicznej z dowolną powierzchnią „abstrakcyjną” (technicznie, dowolną rozmaitością Riemanna o wymiarze 2) o kompletnej i po prostu połączonej stałej ujemnej krzywiźnie wyposażonej w jej geodezyjność; wynik ten jest szczególnym przypadkiem jego twierdzenia o uniformizacji .
Aby zdefiniować przestrzeń hiperboliczną wymiaru n , oznaczaną jako H n , można ponownie zastosować podejście aksjomatyczne (opierając się na przykład na aksjomatach Hilberta ); z drugiej strony definicję Felixa Kleina można łatwo uogólnić w dowolnym wymiarze, zastępując absolutny stożkowy hiperkwadryką .
Jednak współczesne definicje wolą opierać się na pojęciu rozmaitości riemannowskiej : H n jest rozmaitością riemannowska o wymiarze n , po prostu połączoną symetrycznie , mającą stałą i ujemną krzywiznę przekroju (wszystkie rozmaitości spełniające te właściwości są izomorficzne, a nawet izometryczne ). „Linie” są geodezją tej rozmaitości i przez każdy punkt przechodzi co najmniej jeden podrozmaitość izomorficzny do płaszczyzny hiperbolicznej badanej wcześniej; to właśnie to podejście prowadzi, na zasadzie wzajemności, do zastanowienia się, które geometrie są kompatybilne z daną rozmaitością (aw szczególności jakie warunki są konieczne, aby nadać jej hiperboliczną geometrię); Badania te zakończyły się w 2003 roku od wykazania przez Grigorij Perelman z geometryzację przypuszczeń Thurston .
Trzecią więcej zwyczajowo podejście polega na określeniu H n , jako jednego z wyżej wymienionych modelach (które wszystkie są izomorficzne siebie), hiperboloidy modelu dla uproszczenia obliczeń lub modelu Poincaré , conformant , dogodnych przedstawień graficznych. Hiperboloidy modelu, w szczególności, może być zdefiniowany jako iloraz z powierzchni matryc , co daje bogatą algebraiczną konstrukcję i ułatwia analizę jego izometrycznych .
Zaproponowano również kilka czysto geometrycznych podejść; z jednej strony aksjomatyka Bachmanna , skonstruowana w 1959 roku, wykorzystująca jedynie pojęcia padania, ortogonalności i izometrii ; z drugiej strony odkrycie na początku XXI wieku struktury algebraicznej , przestrzeni żyrektoralnej , odgrywającej dla geometrii hiperbolicznej taką samą rolę, jak struktura przestrzeni wektorowej dla geometrii euklidesowej.
Mówiąc bardziej ogólnie, Michaił Gromow odkrył około 1985 hiperbolicznych przestrzeni metrycznych , przestrzeni o własnościach podobnych do przestrzeni hiperbolicznej, które są definiowane za pomocą relacji między ich odległościami, iloczynu Gromowa .
Grupa modułowa działa naturalnie na poziomie hiperbolicznym, a dokładniej na reprezentacjach Poincarégo; jest to podgrupa jego grupy przemieszczeń , reprezentowana w tych modelach przez transformacje Möbiusa . Te krzywe modułowe są zdefiniowane jako iloraz hiperbolicznej płaszczyznę pewnych podgrup grupy modułowej; odpowiednie klasy równoważności prowadzą do kafelkowania płaszczyzny hiperbolicznej, badanej w szczególności przez Poincarégo , Dedekinda i Kleina .
Geodezyjnej przepływu w zwartej riemannowskiej kolektora z ujemną krzywizną jest najbardziej chaotyczny czas ciągłego dynamicznego systemu prototyp , właściwość zauważył już w 1898 roku przez Hadamarda . Teraz wiemy, że przepływ ten jest przepływem Bernoulliego, a więc szczególnie ergodycznym, mieszającym („ mieszającym się ”) itp. Od końca lat osiemdziesiątych publikowano liczne szczegółowe badania powodzi i jej zastosowań.
Teoria złożoności , w swojej zwykłej postaci, zakłada, świat, w którym sygnały propagacji natychmiastowo, i gdzie, w konsekwencji, czytanie danych ma zawsze ten sam czas. Zaproponowano jednak bardziej szczegółowe analizy; zauważono wówczas, że w świecie hiperbolicznym w danej odległości można przechowywać znacznie więcej informacji, co pozwala przyspieszyć niektóre obliczenia; w szczególności możemy wtedy wykazać, że P = NP (wynik, który niestety nie ma praktycznego zastosowania).
Już w 1908 roku Hermann Minkowski zauważył, że przestrzeń wektorów prędkości szczególnej teorii względności zachowuje się jak płaszczyzna hiperboliczna (jest to model hiperboloidy ). W ten sposób kompozycja prędkości daje początek strukturze algebraicznej zwanej przestrzenią żyroskopową , definiowaną i badaną od 2000 roku przez kilku autorów, w tym Abrahama A. Ungara, i która znalazła zastosowanie we właściwej geometrii hiperbolicznej, ale także, na przykład, w badaniach w sferze Blocha .
Gauss , a następnie Łobaczewski , uważał, że geometria przestrzeni fizycznej nie była euklidesowa, ale pomiary geodezyjne, a nawet astrometryczne , które udało im się osiągnąć, potwierdzały jedynie aksjomat równoległości. Pytanie to zostało podjęte z fizycznego punktu widzenia, kiedy Einstein sformułował swoją ogólną teorię względności , której model zakłada, że masy „wyginają” przestrzeń. Wyznaczenie geometrii przestrzeni jako całości, a w szczególności jej krzywizny , staje się wówczas kwestią podatną na badania eksperymentalne, wykorzystujące w szczególności fakt, że w przestrzeni hiperbolicznej objętość kuli rośnie znacznie szybciej niż sześcian jej promienia. . Na początku 21 -go wieku, jednak przestrzeń wydaje się „płaskie” (euklidesową) na dokładność pomiarów, że nasza obecna wiedza z fizyki nie wyjaśnia zbyt wiele na problem płaskości . Jednak niektóre kosmologów , jak Jean-Pierre Luminet , zaproponowali, pod nazwą „gniecionego wszechświata”, modele wszechświatów, z których niektóre pochodzą z hiperbolicznej przestrzeni H 3 (konstruując przestrzeń iloraz od niego ), a które twierdzą, że są zgodne z danymi obserwacyjnymi.
Chociaż wiele Sci-Fi i Fantasy teksty odnoszą się do nie-euklidesowej geometrii ( Lovecraft wielokrotnie wspomnieć, że ich zastosowanie w architekturze przez starożytnych dysków tych, którzy próbują go mad zrozumieć), wydaje się, że tylko Christophera Priesta powieść , Le Monde inverti , bierze miejsce we wszechświecie (powierzchnia katenoidy ) o geometrii hiperbolicznej. Możemy jednak zacytować również Géométricon , komiks opowiadający o przygodach Anselme Lanturlu w zakrzywionych przestrzeniach, w tym na płaszczyźnie hiperbolicznej.
Maurits Escher , dzięki narzędziom dostarczonym mu przez Harolda Coxetera w 1952 roku, wielokrotnie wykorzystywał kafelki płaszczyzny hiperbolicznej, przekształcając ich wzory, aby uczynić z nich antropomorficzne postacie lub zwierzęta, jak w Aniołach i Demonach , czy w serii Ograniczenia kołowe .
Czerpiąc inspirację z modeli zaprojektowanych i wykonanych na papierze przez geodetę Williama Thurstona , Daina Taimiņa wynalazła technikę szydełkowania fragmentów płaszczyzny hiperbolicznej, używaną artystycznie przez Margaret i Christine Wertheim do naśladowania raf koralowych .