Diagram Minkowskiego

Schemat Minkowskiego jest przedstawieniem czasoprzestrzeni opracowanego w 1908 roku przez Hermann Minkowski , co umożliwia wizualizację właściwości w szczególnej teorii wzgl . Dzięki temu możliwe jest jakościowe i intuicyjne zrozumienie zjawisk, takich jak dylatacja czasu , skrócenie długości, a nawet pojęcie równoczesności , bez stosowania równań matematycznych .

Diagram Minkowskiego wykorzystuje jeden wymiar przestrzenny. Nakłada na siebie dwa układy współrzędnych odpowiadające dwóm obserwatorom w prostoliniowym i jednorodnym przesunięciu względem siebie. Jego głównym celem jest umożliwienie natychmiastowej wizualizacji współrzędnych tego samego zdarzenia w jednym układzie odniesienia, ze współrzędnych drugiego układu odniesienia, a tym samym rozwiązanie wielu problemów i pozornych paradoksów szczególnej teorii względności. Diagram ten umożliwia również graficzne przedstawienie właściwości prędkości światła jako prędkości nie do pokonania.

Struktura i właściwości diagramu wynikają z postulatów szczególnej teorii względności i własności przestrzeni Minkowskiego . Ilustrują głębokie związki między przestrzenią a czasem, odkryte przez specjalną teorię względności.

Podstawy

Dla czytelności diagramu przedstawiony jest tylko jeden wymiar przestrzenny. W przeciwieństwie do zwykłych wykresów odległość / czas, współrzędna przestrzenna znajduje się na odciętej (współrzędna pozioma, tutaj „x”), a czas na rzędnej (współrzędna pionowa, tutaj „ct”). Obiekty przedstawione na tym diagramie można traktować jako przemieszczające się z dołu do góry w miarę upływu czasu. Trajektoria obiektu na tym diagramie nazywana jest linią wszechświata . Stacjonarna cząstka będzie miała pionową linię wszechświata.

Każdy punkt na diagramie reprezentuje określoną pozycję w czasie i przestrzeni. Ta pozycja jest nazywana zdarzeniem , niezależnie od tego, czy w tym momencie coś się dzieje, czy nie.

Aby ułatwić korzystanie z wykresu, oś Y przedstawia wielkość „ct”, która jest czasem „t” pomnożonym przez prędkość światła „c”. Ta ilość może być również przyswojona na odległość. W ten sposób linia wszechświata fotonu jest linią prostą o nachyleniu 45 °, przy czym skala obu osi jest identyczna na diagramie Minkowskiego.

Budowa i zasady przekształcania współrzędnych

Najczęstsza reprezentacja

Najczęstszą prezentacją jest asymetryczna reprezentacja między dwoma układami odniesienia: jeden układ odniesienia R jest rozpatrywany w spoczynku, a drugi R 'w ruchu z prędkością v (prostoliniową i jednostajną) względem R, powstaje diagram Minkowskiego jako reprezentująca pierwszą klatkę odniesienia z ortogonalnymi osiami x i ct oraz dwie klatki odniesienia mające wspólny początek. Zastosowanie transformacji Lorentza pozwala zwizualizować na wykresie ich wyniki numeryczne.

Wyznaczenie osi drugiego układu odniesienia:

Wykorzystuje się postać przekształceń Lorentza dostosowaną do tak opisanej sytuacji:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} ct '& = \ gamma \ lewo (ct - {\ Frac {v} {c}}. x \ prawo) \\ x' & = \ gamma \ lewo (x - {\ frac {v} {c}}. ct \ right) \\\ end {aligned}}}

{\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {\ sqrt {1 - {\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} \,.}

Oś x 'to ta, dla której ct' = 0, co odpowiada równaniu po prawej stronie w R lub inaczej . Należy zauważyć, że definicja ta odpowiada również zbiorowi jednoczesnych zdarzeń w czasie t '= 0 widzianych z układu odniesienia R'.

{\ Displaystyle ct - {\ Frac {v} {c}}. x = 0}

{\ displaystyle ct = {\ Frac {v} {c}}. x}

Oś ct 'to ta, dla której x' = 0, co odpowiada równaniu po prawej stronie w R lub inaczej . Zauważamy, że ta definicja odpowiada zdarzeniom, które pozostają nieruchome w punkcie O 'w R' i że jej równanie można również przepisać .

{\ Displaystyle x - {\ Frac {v} {c}}. ct = 0}

{\ displaystyle ct = {\ frac {c} {v}}. x}

{\ displaystyle x = vt}

Osie x 'i ct' są symetryczne w stosunku do linii równania x = ct, ponieważ odwracając x i ct w jednym z dwóch równań, jedno uzyskuje drugie.

Podziałka osi ct 'i x':

Zawsze używać transformacje Lorentza , z .

{\ Displaystyle c.t '= \ gamma \ lewo (ct- \ beta. x \ prawej) \,; x' = \ gamma \ lewo (x- \ beta ct \ prawej) \ ,,}

\ beta = \ frac {v} {c}

Aby określić położenie punktu o współrzędnych (0 '; 1') ( a więc i ) w układzie odniesienia R, mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi . Jego rozdzielczości graficznej dokonuje się zauważając, że drugie równanie odpowiada osi ct 'i rysując linię równania , czyli w R.

x '= 0

ct '= 1

{\ Displaystyle 1 = \ gamma \ lewo (ct- \ beta. x \ prawej) \,; 0 = \ gamma \ lewo (x- \ beta ct \ w prawo) \,}

{\ Displaystyle 1 = \ gamma \ lewo (ct- \ beta .x \ prawej) \,}

{\ Displaystyle ct = {\ Frac {v} {c}}. X + {\ Frac {1} {\ gamma}} \ ,,}

Dla wszystkich punktów tej ostatniej linii mamy ct '= 1, a więc jest to zbiór jednoczesnych zdarzeń z czasem 1', widziany z R '. A ponieważ punkt przecięcia z osią y tej prostej to , widzimy to z R ', to jest to czas R, przy x = 0, co jest równoczesne z czasem 1' R '.

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ gamma}} \,}

Wykonujemy podobne obliczenia dla punktu (1 ', 0') i zostajemy poprowadzeni do narysowania linii równania .

{\ Displaystyle ct = {\ Frac {c} {v}}. x - {\ Frac {c} {v. \ gamma}} \,}

Określenie współrzędnych punktu:

Współrzędne (x, ct) i (x ', ct') tego samego zdarzenia A można znaleźć poprzez rzut na każdą oś równoległą do drugiej osi układu odniesienia, zgodnie ze zwykłymi regułami dla współrzędnych kartezjańskich .

Ta reprezentacja jest następnie w stanie opisać pewną liczbę rozumowań jakościowych i ilościowych: dylatację czasu trwania, skrócenie długości, kombinację prędkości ... kombinację kolejnych (jednowymiarowych) przekształceń Lorentza.

Linie współbieżności

Z definicji wszystkie zdarzenia znajdujące się na osi (O, x) są jednoczesne (mają ten sam czas t = 0). W konsekwencji wszystkie proste równoległe do (O, x) są prostymi równoczesności obserwatora znajdującymi się w układzie odniesienia (x, t). Podobnie wszystkie proste równoległe do (O, x ') są liniami równoczesności dla obserwatora znajdującymi się w układzie odniesienia (x', t '). Wszystkie zdarzenia znajdujące się na tych liniach zachodzą „w tym samym czasie” dla danego obserwatora. Ta jednoczesność 2 odległych przestrzennie zdarzeń, które zależą od układu odniesienia, dobrze koresponduje z tą, którą zaproponował Einstein za pomocą sygnałów świetlnych.

Diagram Minkowskiego ilustruje względność jednoczesności . Teoria szczególnej teorii względności przewiduje w istocie, że dwa zdarzenia mogą być postrzegane jako jednoczesne dla obserwatora, a nie jednoczesne dla innego poruszającego się względem pierwszego. Jest nawet możliwe, gdy dwa zdarzenia są oddzielone odstępem przypominającym przestrzeń , że dwa zdarzenia są widziane w określonej kolejności przez jednego obserwatora, a w odwrotnej kolejności przez drugiego.

Symetryczna reprezentacja Loedela

Diagram Minkowskiego ma poważną wadę: osie dwóch układów odniesienia (x, ct) i (x ', ct') nie mają tej samej skali, co ogranicza czytelność i intuicyjność rzutów układu odniesienia … z drugiej: transformacja Lorentza nie jest zachowana geometrycznie. Ta różnica w skali jest logiczna, ponieważ przy obrocie ramki wielkość x² + y² jest niezmienna w geometrii euklidesowej diagramu, podczas gdy odpowiadająca jej wielkość x² + (ct) ² nie jest niezmienna przez transformację Lorentza. Jest to wielkość (ct) ² - x², która jest niezmienna ( przedział czasoprzestrzenny ).

Pomiędzy rozważanymi układami odniesienia istnieje symetryczna reprezentacja , zwana również diagramem Loedela (nazwana na cześć fizyka Enrique Loedel Palumbo (en) ), która umożliwia geometryczne zachowanie niezmienników relatywistycznych przy rotacji układu odniesienia, a zatem układ odniesienia ma te same skale i podziałkę.

Podstawowa idea tego diagramu opiera się na prostej obserwacji, że:

(ct) ²-x² = (ct ') ²-x'² (niezmiennik relatywistyczny)

można w trywialny sposób przeformułować jako:

x² + (ct ') ² = x'² + (ct) ²

Znajdujemy klasyczną odległość (x² + y²) w przestrzeni euklidesowej, utrzymywanej przez rotację.

Zatem diagram Loedela jest diagramem czasoprzestrzennym, w którym osie (x, ct ') są ortogonalne, podobnie jak (x', ct).

Następnie znajdujemy te same właściwości, co diagram Minkowskiego: linie równoczesności są równoległe do (O, x) lub (O, x '), a rzuty są zgodne z transformacjami Lorentza, jeśli kąt obrotu między dwoma repozytoriami wynosi:

\ sin (\ beta) = {\ frac {v} {c}}

. Stożki świetlne w reprezentacji symetrycznej

Niezależnie od kąta między dwoma układami odniesienia, stożek światła (określony przez x² = (ct) ² lub x'² = (ct ') ²) jest zawsze ograniczony na diagramie dwiema prostopadłymi liniami nachylonymi pod kątem 45 °. $\ beta$

Przykłady zastosowań

Dylatacja czasu

Zgodnie z teorią szczególnej teorii względności, zegar animowany z pewną prędkością w odniesieniu do układu odniesienia zakwalifikowanego jako „stały” będzie obserwowany jako bicie wolniejszego czasu niż zegary w tym układzie odniesienia.

Ta obserwacja jest odwrotna, to znaczy, że zegar w „nieruchomym” układzie odniesienia również będzie obserwowany jako wolniejszy niż zegar w ruchomym układzie odniesienia, z tego ostatniego układu odniesienia, co na pierwszy rzut oka wydaje się paradoksalne.

Można to zwizualizować za pomocą diagramu Loedela (łatwiej jest porównać skale, które są identyczne na osiach dwóch układów odniesienia). Dla obserwatora w A (patrz diagram obok), „jednoczesny” czas w innym układzie odniesienia to czas w B, który jest mniejszy niż A. Obserwator w A może zatem logicznie wywnioskować, że czas płynie wolniej w innym repozytorium (B). Odwrotnie, dla obserwatora w B, „jednoczesny” czas drugiego układu odniesienia jest w C, który jest mniejszy niż B, a także obserwuje spowolnienie czasu w innym układzie odniesienia (C).

Prędkość światła jako prędkość graniczna

Diagram Minkowskiego pozwala na uwypuklenie sprzeczności i paradoksów, które pojawiają się od momentu, gdy postuluje się, że informacja może być propagowana z prędkością większą niż prędkość światła. W szczególności w tych warunkach byłoby możliwe przekazywanie informacji z własnej przeszłości.

Albo wiersz wszechświata w ustalonym układzie odniesienia. Obserwator znajdujący się na tej linii wszechświata może przekazywać informacje drugiemu obserwatorowi na linii wszechświata , poruszając się (z prędkością <c) względem pierwszego obserwatora, gdy spotykają się dwaj obserwatorzy (punkt S). $\ Omega _ {2}$ $\ Omega _ {1}$

Obserwator następnie wysyła te informacje szybciej niż światło do obserwatora na linii wszechświata (strzałka T1). Informacja dociera do O '. Obserwator następnie ponownie emituje informacje, również szybciej niż światło, w kierunku (strzałka T2). Informacje osiągnięty w M”, zanim to zrobił wydały S. $\ Omega _ {1}$ $\ Omega 3}$ $\ Omega 3}$ $\ Omega 3}$ $\ Omega _ {2}$ $\ Omega _ {2}$ $\ Omega _ {2}$

Każdy obserwator i wysyła informacje do własnej przyszłości, jak wynika z kierunkiem strzałki T1 i T2 w stosunku do linii jednoczesności ich ramy odniesienia. Ale względne przemieszczenie dwóch obserwatorów i kosmiczna trajektoria (poza stożkiem światła ) każdej emisji umożliwia emisję w przeszłość . $\ Omega _ {1}$ $\ Omega 3}$ $\ Omega _ {2}$

Ponadto dla obserwatora w ruchomym układzie odniesienia (na niebiesko) zdarzenie S ma miejsce przed zdarzeniem O ', podczas gdy kolejność czasowa wydaje się być odwrotna dla obserwatora w stałym układzie odniesienia (w kolorze czarnym). Dla obserwatora mobilnego S jest przyczyną O ', podczas gdy dla obserwatora stacjonarnego O' jest przyczyną S. Jest to naruszenie zasady przyczynowości, zgodnie z którą przyczyna zawsze poprzedza skutek.

Rozważania te pokazują, że ograniczenie prędkości światła jest konsekwencją właściwości czasoprzestrzeni i pojęcia przyczynowości, a nawet bez konieczności rozważania fizycznych właściwości samych obiektów, jako ograniczeń technologicznych na przykładzie.

Przypadek nieinercjalnych układów odniesienia

Linie fotonów wszechświata są określane za pomocą metryki z . W zależności od położenia stożki światła są zniekształcone. W inercjalnym układzie odniesienia swobodna cząstka ma prostoliniową linię wszechświata. W nieinercjalnym układzie odniesienia linia wszechświata wolnej cząstki jest zakrzywiona. ${\ Displaystyle d \ tau = 0}$

Weźmy przykład upadku obiektu zrzuconego z rakiety bez prędkości początkowej. Rakieta porusza się równomiernie z przyspieszeniem względem układu odniesienia bezwładności. Jak można odczytać na diagramie Minkowskiego w nieinercjalnym układzie odniesienia, obiekt po uwolnieniu nabiera prędkości, osiąga maksymalną prędkość, a następnie widzi, jak jego prędkość spada i znika asymptotycznie na horyzoncie, gdzie jego czas. . Prędkość jest mierzona przez obserwatora w spoczynku w rakiecie przyspieszonej. $t_ {H}$

Uwagi i odniesienia

Uwagi

Czas obserwowany w A na zegarze z drugiego układu odniesienia będzie w rzeczywistości nadal mniejszy niż B, ze względu na czas, jaki potrzebuje obraz zegara, aby przejść z jednej klatki do drugiej z prędkością światła. Ale to nie zmienia niczego fundamentalnego dla rozumowania.
Zasada względności mówiąca, że prawa fizyczne są takie same we wszystkich układach odniesienia, jeśli obserwator jest w stanie emitować szybciej niż światło w ruchomej klatce, to jest możliwe, aby emitować szybciej niż światło w stałym repozytorium.

Bibliografia

Hermann Minkowski, Przestrzeń i czas ,1908, 20 s. ( czytaj online ).
Loedel E. Geometryczna reprezentacja transformacji Lorentza. Gorzki. J.Phys. 25: 327, maj 1957.
(en) David Bohm Specjalna teoria względności , 1996, wydanie Routlege, str. 120-121
(w) Roger Penrose The Emperor's New Mind , 1995 Oxford University Press, str. 213
Mathieu Rouaud, Ograniczona teoria względności, Podejście geometryczne ,2020, 534 s. ( ISBN 978-2-9549309-2-3 , czytaj online ).

Załączniki

Bibliografia

(en) Wolfgang Rindler , Relativity: Special, General and Cosmological , Oxford, Oxford University Press ,2001, 428 str. kieszonkowe ( ISBN 978-0-19-850836-6 , LCCN 00067605 )
Leo Sartori, Understanding Relativity , (praca literacka), University of California Press ,1996 :

str. 152
p. 154
str. 157

Laurent Moutet. Diagramy i teoria ograniczonej względności: inżynieria dydaktyczna . Edukacja. University of Paris 7, 2016. Francuski. czytaj online .

Diagram Minkowskiego

Podstawy

Budowa i zasady przekształcania współrzędnych

Najczęstsza reprezentacja

Symetryczna reprezentacja Loedela

Przykłady zastosowań

Dylatacja czasu

Prędkość światła jako prędkość graniczna

Przypadek nieinercjalnych układów odniesienia

Uwagi i odniesienia

Uwagi

Bibliografia

Załączniki

Bibliografia

Powiązane artykuły