Przedział czasoprzestrzenny

Kwadrat o interwale czasoprzestrzeni między dwoma wydarzeniami w czasoprzestrzeni o szczególnej teorii względności czy generał jest równoważna do kwadratu geometrycznego odległość pomiędzy dwoma punktami w przestrzeni euklidesowej . Ilość ta jest niezmienna przez zmianę układu odniesienia do obserwatora .

Gdy kwadrat odstępu czasoprzestrzennego między dwoma zdarzeniami jest dodatni lub równy zero (termin kwadrat jest tu używany tylko formalnie), to dwa zdarzenia mogą być połączone przez związek przyczynowo-skutkowy , a przedział czasoprzestrzenny (zdefiniowany przez biorąc pierwiastek kwadratowy ) umożliwia określenie właściwego czasu między tymi dwoma zdarzeniami.

Gdy kwadrat odstępu czasoprzestrzennego między dwoma zdarzeniami jest ściśle ujemny, to żadne z nich nie może być przyczyną drugiego, a przedział czasoprzestrzenny jest nieokreślony (lub co najwyżej jako liczba urojona ), ale biorąc pod uwagę kwadrat pierwiastek przeciwny do kwadratu otrzymujemy odpowiednią odległość między tymi zdarzeniami.

Kwadratowy interwału czasoprzestrzennego służy jako określenie pseudo-metrycznej przestrzeni Minkowskiego w szczególnej teorii względności, a także nieskończenie pseudo-metrycznego w zakrzywionej przestrzeni ogólnej teorii względności.

Szczególne wyrażenie teorii względności

W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej kwadrat odległości między dwoma punktami A i B o współrzędnych ( x A , y A , z A ) i ( x B , y B , z B ) w odniesieniu do ortonormalnego układu współrzędnych kartezjańskich wynosi wyrażone w postaci: Δl{\ displaystyle \ Delta l}

(Δl)2=(xb-xW)2+(yb-yW)2+(zb-zW)2,{\ Displaystyle \, (\ Delta l) ^ {2} = (x _ {\ tekst {B}} - x _ {\ tekst {A}}) ^ {2} + (y _ {\ tekst {B}) } - y_ {\ text {A}}) ^ {2} + (z _ {\ text {B}} - z _ {\ text {A}}) ^ {2} \ ,,}

co jest powszechnie napisane w bardziej zwięzły sposób

Δl2=Δx2+Δy2+Δz2.{\ Displaystyle \ Delta l ^ {2} = \ Delta x ^ {2} + \ Delta y ^ {2} + \ Delta z ^ {2} \,.}

Jest oczywiste, że w fizyce klasycznej wielkość ta jest niezmienna przez zmianę układu odniesienia. Jednak w fizyce relatywistycznej tak już nie jest.

W geometrii czasoprzestrzeni szczególnej teorii względności piszemy „kwadrat przedziału czasoprzestrzennego”, zanotowany między dwoma zdarzeniami A i B o współrzędnych ( t A , x A , y A , z A ) i ( t B , x B , y B , z B ) w czterowymiarowej czasoprzestrzeni (jednej z czasu, tj. t , i trójki przestrzeni) w postaci Δs2{\ Displaystyle \ Delta s ^ {2}}

(Δs)2=vs2(tb-tW)2-(xb-xW)2-(yb-yW)2-(zb-zW)2{\ Displaystyle (\ Delta s) ^ {2} = \, c ^ {2} (t _ {\ tekst {B}} - t _ {\ tekst {A}}) ^ {2} - (x _ { \ text {B}} - x _ {\ text {A}}) ^ {2} - (y _ {\ text {B}} - y _ {\ text {A}}) ^ {2} - (z _ {\ text {B}} -z _ {\ text {A}}) ^ {2}}

lub

Δs2=vs2Δt2-Δl2{\ Displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} \,}

wyrażenie, w którym współczynnik c 2 ( prędkość światła do kwadratu) jest narzucany za pomocą przekształceń Lorentza lub zasad szczególnej teorii względności, zgodnie z metodą zastosowaną do uzasadnienia jego niezmienności zmianą inercjalnego układu odniesienia .

Pseudo-metryczna , znany jest określona przez lub zgodnie z konwencją znak lub wybrany.  Δs{\ displaystyle \ \ Delta s} Δs2=-vs2(Δt)2+(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = - c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} + (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}} Δs2=vs2(Δt)2-(Δx)2-(Δy)2-(Δz)2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2}}(-;+;+;+){\ Displaystyle (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ Displaystyle \ (+; -; - ;-)}

Niezmienność

Niezmienność kwadratu przedziału czasoprzestrzennego przez zmianę inercjalnego układu odniesienia jest główną właściwością szczególnej teorii względności . W zależności od wybranej prezentacji niezmienność tę można postawić jako aksjomat założycielski teorii lub wydedukować bezpośrednio z pierwotnych aksjomatów względności, a mianowicie zasady względności i niezmienności prędkości światła poprzez zmianę inercjalnego układu odniesienia , lub nadal wywnioskowane z transformacji Lorentza, które przekształcają współrzędne podczas zmiany inercjalnego układu odniesienia (transformacje te można wydedukować z dwóch pierwotnych zasad szczególnej teorii względności). Od Hermanna Minkowskiego niektóre prezentacje teorii wybierają jedną z dwóch pierwszych opcji, przyjmując czysto geometryczny punkt widzenia w czwartym wymiarze (trójka przestrzeni i jedna czasu). Trzecia opcja lepiej odpowiada historycznemu rozwojowi teorii.

Dowód niezmienności z dwóch aksjomatów szczególnej teorii względności

Te dwa aksjomaty to: zasada względności i niezmienność prędkości światła przy zmianie układu odniesienia (inercjalny, jak wszystkie rozpatrywane tutaj układy odniesienia).

• Jeżeli w repozytorium dwa zdarzenia są oddzielone od odległości przestrzennej i czasowej odległości , tak że prędkość światła, wtedy mamy: . Δl{\ displaystyle \ \ Delta l} Δt{\ displaystyle \ \ Delta t}|Δl/Δt|=vs{\ Displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | \, = c} Δs2=vs2Δt2-Δl2=0{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} = 0}

Jeśli te same dwa zdarzenia są widoczne z innej ramki odniesienia, a następnie odległości przestrzenne i czasowe są tam i z prędkością światła, które ma taką samą wartość w tej drugiej ramce, zgodnie z drugim pewnik. Wnioskujemy, że również w tym układzie odniesienia mamy Δl′{\ displaystyle \ \ Delta l '} Δt′{\ displaystyle \ \ Delta t '}|Δl′/Δt′|=vs{\ Displaystyle | \ Delta l '/ \ Delta t' | \, = c} Δs′2=vs2Δt′2-Δl′2=0{\ Displaystyle \ \ Delta s '^ {2} = c ^ {2} \ Delta t' ^ {2} - \ Delta l '^ {2} = 0} Zatem jeśli w jednym układzie odniesienia jest tak samo w każdym innym. Δs2=0{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = 0}

• W każdym układzie odniesienia i dla każdej pary wystarczająco bliskich zdarzeń i są nieskończenie małe tego samego rzędu wielkości, ponieważ zmiany układów odniesienia są funkcjami afinicznymi o stałych współczynnikach, a zatem relacje między nimi , od jednego układu odniesienia do inne są liniowe lub afiniczne. i znoszą się nawzajem równocześnie, więc istnieje wiele takich, że . Liczba ta nie może zależeć od względnego położenia dwóch układów odniesienia, ponieważ zakłada się , że czasoprzestrzeń jest jednorodna , a więc zależy tylko od względnej prędkości dwóch układów odniesienia. Ale nie może zależeć od kierunku tej prędkości, ponieważ czasoprzestrzeń ma być izotropowa . Więc to zależy tylko od bezwzględnej wartości względnej prędkości lub jego placu: . Δs2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2}} Δs′2{\ Displaystyle \ \ Delta s '^ {2}} Δl,Δt{\ Displaystyle \ \ Delta l \ ;, \ Delta t} Δs2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2}} Δs′2{\ Displaystyle \ \ Delta s '^ {2}}w{\ displaystyle a} Δs2=w.Δs′2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a. \ Delta s '^ {2}} w=w(v2){\ Displaystyle \ a = a (v ^ {2})}
• Biorąc pod uwagę trzy układy odniesienia, zasadę względności narzucającą, że prawa tam są takie same, mamy: i . Tak więc . Teraz zależy od kąta pomiędzy i , kąt nie interweniujący . Jest to więc liczba stała, niezależna od względnej prędkości układów odniesienia. Δs2=w(v2).Δs′2,{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a (v ^ {2}). \ Delta s '^ {2} \ ,,}  Δs′2=w(v′2).Δs″2{\ Displaystyle \ \ Delta s '^ {2} = a (v' ^ {2}). \ Delta s '' ^ {2}} Δs2=w(v″2).Δs″2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = a (v '' ^ {2}). \ Delta s '' ^ {2}} w(v″2)=w(v2).w(v′2){\ Displaystyle \ a (v '' ^ {2}) = a (v ^ {2}). a (v '^ {2})} v″2{\ displaystyle \ v '' ^ {2}} v{\ displaystyle \ v} v′{\ displaystyle \ v '}w(v2).w(v′2){\ Displaystyle a (v ^ {2}). a (v '^ {2})} w(v2)=w{\ Displaystyle \ a (v ^ {2}) = a}
• Tak jak my . Δs2=1.Δs2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = 1. \ Delta s ^ {2}} w=1{\ displaystyle \ a = 1}

Konkluzja . Kwadratowy przedziału przestrzenno-czasowego jest niezmienna przez zmianę ramki odniesienia. Δs2=Δs′2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = \ Delta s '^ {2}}   Dowód niezmienności z przekształceń Lorentza zapisany w klasycznej formie

Zmniejszamy problem do dwóch wymiarów dla większej czytelności, więc pomijamy szczegóły dotyczące obrotów przestrzennych.

Biorąc pod uwagę dwa układy odniesienia i jednorodną translację prostoliniową, porównując je z innymi przy danej prędkości , zastosowane transformacje Lorentza są następujące: R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R′{\ displaystyle \ mathbb {R} '} v{\ displaystyle \ v}

 {vsΔt′=γ(vsΔt-βΔx)Δx′=γ(Δx-β.vsΔt)Δy′=ΔyΔz′=Δz {\ Displaystyle \, ~ \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} c \ Delta t '= \ gamma \ lewo (c \ Delta t- \ beta \ Delta x \ prawej) \\\ Delta x' = \ gamma \ left (\ Delta x- \ beta .c \ Delta t \ right) \\\ Delta y '= \ Delta y \\\ Delta z' = \ Delta z \ end {matrix}} \ right. \, ~}z i ,β=vvs{\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}}γ=1/1-β2{\ Displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} Za pomocą prostych obliczeń algebraicznych pokażemy, że mamy vs2Δt′2-Δx′2-Δy′2-Δz′2=vs2Δt2-Δx2-Δy2-Δz2,{\ Displaystyle c ^ {2} \ Delta t '^ {2} - \ Delta x' ^ {2} - \ Delta y '^ {2} - \ Delta z' ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} - \ Delta y ^ {2} - \ Delta z ^ {2} \ ,,}   Dowód niezmienności przez transformacje Lorentza wyrażony za pomocą funkcji hiperbolicznych

Poniższe obliczenia ilustrują ścisły związek między formułami transformacji Lorentza a niezmiennością kwadratu przedziału czasoprzestrzennego i możliwością przejścia z jednego formalizmu do drugiego.

W geometrii euklidesowej obrót kąta θ układu współrzędnych wokół osi Oz pozostawia niezmienną odległość między dwoma punktami. Te wzory na zmianę osi współrzędnych odpowiadających tego obrotu i dając nowe współrzędne według starego te są napisane:

{x′=xsałataθ+ygrzechθy′=-xgrzechθ+ysałataθz′=z.{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} x '= x \ cos \, \ theta + y \ sin \, \ theta \\ y' = - x \ sin \, \ theta + y \ cos \, \ theta \\ z '= z \ ,. \ end {sprawy}}}

Dlatego różnice współrzędnych między dwoma punktami A i B stają się

{Δx′=Δxsałataθ+ΔygrzechθΔy′=-Δxgrzechθ+ΔysałataθΔz′=Δz.{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} \ Delta x '= \ Delta x \ cos \, \ theta + \ Delta y \ sin \, \ theta \\\ Delta y' = - \ Delta x \ sin \, \ theta + \ Delta y \ cos \, \ theta \\\ Delta z '= \ Delta z \ ,. \ End {przypadki}}}

Możemy wywnioskować

(Δx′)2+(Δy′)2+(Δz′)2=(Δxsałataθ+Δygrzechθ)2+(-Δxgrzechθ+Δysałataθ)2+(Δz)2≡(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2,{\ Displaystyle (\ Delta x ') ^ {2} + (\ Delta y') ^ {2} + (\ Delta z ') ^ {2} = (\ Delta x \ cos \, \ theta + \ Delta y \ sin \, \ theta) ^ {2} + (- \ Delta x \ sin \, \ theta + \ Delta y \ cos \, \ theta) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ equiv (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2} \ ,,}

wzór wyraźnie pokazujący niezmienność tej sumy kwadratów.

W szczególnej teorii względności transformacje Lorentza umożliwiają przejście z układu „ustalonego” do układu ożywianego prędkością v wzdłuż osi Ox . Używając parametru kątowego θ zdefiniowanego przez

β=v/vs, β=tanh⁡θ{\ Displaystyle \ beta = v / c \ ,, \ \ beta \, = \, \ tanh \ theta}   jest   θ=wtwniegodzβ{\ displaystyle \ theta \, = \, \ mathrm {atanh} \ beta}

Wzory Lorentza są zapisywane jak wzory na obrót osi, z tym wyjątkiem, że funkcje trygonometryczne są zastępowane funkcjami hiperbolicznymi. Mamy wyrażenia  :

{vst′= vstpałkaθ-xsinhθx′=-vstsinhθ+xpałkaθy′=yz′=z{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} ct '= \ ct \ cosh \, \ theta -x \ sinh \, \ theta \\ x' = - ct \ sinh \, \ theta + x \ cosh \, \ theta \ \ y '= y \\ z' = z \ end {sprawy}}}

Dlatego jeśli weźmiemy pod uwagę dwa zdarzenia, różnice współrzędnych przekształcą się w

{vsΔt′= vsΔtpałkaθ-ΔxsinhθΔx′=-vsΔtsinhθ+ΔxpałkaθΔy′=ΔyΔz′=Δz{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} c \ Delta t '= \ c \ Delta t \ cosh \, \ theta - \ Delta x \ sinh \, \ theta \\\ Delta x' = - c \ Delta t \ sinh \, \ theta + \ Delta x \ cosh \, \ theta \\\ Delta y '= \ Delta y \\\ Delta z' = \ Delta z \ end {przypadki}}}

Możemy wywnioskować:

(vs.Δt′)2-(Δx′)2-(Δy′)2-(Δz′)2=(vsΔtpałkaθ-Δxsinhθ)2-(-vsΔtsinhθ+Δxpałkaθ)2-(Δy)2-(Δz)2.{\ Displaystyle \, (do \ Delta t ') ^ {2} - (\ Delta x') ^ {2} - (\ Delta y ') ^ {2} - (\ Delta z') ^ {2} = (c \ Delta t \ cosh \, \ theta - \ Delta x \ sinh \, \ theta) ^ {2} - (- c \ Delta t \ sinh \, \ theta + \ Delta x \ cosh \, \ theta ) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2} \,.}

Tak jak

(pałka⁡θ)2-(sinh⁡θ)2=1{\ Displaystyle \, (\ cosh \ theta) ^ {2} - (\ sinh \ teta) ^ {2} = 1}

kończymy z ogłoszoną formułą niezmienniczości

(vs.Δt′)2-(Δl′)2=(vs.Δt)2-(Δl)2.{\ Displaystyle \, (do \ Delta t ') ^ {2} - (\ Delta l') ^ {2} = \, (c. \ Delta t) ^ {2} - (\ Delta l) ^ { 2} \,.}  

Relacje między wydarzeniami

Kwadrat odstępu czasoprzestrzennego między dwoma zdarzeniami może mieć trzy różne typy:

• jak czas
• typ przestrzeni,
• miłe światło.

Genus z przedziału placu czasoprzestrzeni zależy od jej podpisania, a ponieważ jest niezmienna przez zmianę inercyjnym układzie odniesienia, rodzaju o interwale czasoprzestrzeni będzie taka sama dla każdego obserwatora. W ten sposób będziemy w stanie zauważyć, że jeśli dwa zdarzenia są oddzielone odstępem czasowo-przestrzennym kwadratem czasu lub typem światła, można je połączyć bezpośrednim związkiem przyczynowym , z drugiej strony, jeśli są oddzielone jednym typu przestrzennego , nie mogą, i to niezależnie od obserwatora i jego inercjalnego układu odniesienia.

Życzliwy czas

Jeżeli przedział czasu cΔt przewyższa odległość przestrzenną Δl, mówi się , że przedział jest typu czasowego, a przedział czasoprzestrzenny jest dodatni:

Δs2=vs2Δt2-Δl2>0{\ Displaystyle \, \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2}> 0}

Przypadek ten odpowiada sytuacji, w której , co oznacza, że ​​w układzie odniesienia, w którym dokonywano pomiarów, poruszające się ciało poruszające się ze stałą prędkością we właściwym kierunku może znajdować się w dokładnym miejscu iw tym samym czasie co pierwsze zdarzenie, wówczas , po jego przemieszczeniu, do tych z drugiego. W konsekwencji w kadrze (bezwładności) tego telefonu komórkowego oba zdarzenia znajdują się w tym samym miejscu, ale nie w tym samym czasie. W tym konkretnym układzie odniesienia, zgodnie z niezmienniczością kwadratu przedziału czasoprzestrzennego, różnica czasu dzieląca te dwa zdarzenia nazywana jest czasem właściwym, który je dzieli, i jest określona wzorem: |Δl/Δt|<vs{\ Displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | <c}|Δl/Δt|{\ Displaystyle | \ Delta l / \ Delta t |}Δτ{\ Displaystyle \ Delta \ tau}

Δs2=vs2Δt2-Δl2 = vs2Δτ2-0,{\ Displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2 } - \, 0 \ ,,}

co pokazuje, że właściwy czas podaje . Δτ{\ Displaystyle \ Delta \ tau}Δτ=Δs2/vs{\ Displaystyle \ Delta \ tau = {\ sqrt {\ Delta s ^ {2}}} / c}

W tym przypadku podobnym do czasu , oba zdarzenia mogą być połączone przez związek przyczynowy: poprzez cząstkę przemieszczającą się dość szybko z jednego wydarzenia do drugiego lub przez wpływ przenoszony przez światło przechodzące z jednego do drugiego i efekt które następnie wywołałyby drugie zdarzenie.

W większości przypadków na Ziemi napotykane sytuacje są typu czasowego, ponieważ wymiary naszej planety są małe (rzędu 10 000 km), a ponadto wydarzenia rozważane przez ludzi na ogół obejmują okresy czasu rzędu 10 000 km. przynajmniej drugi. Nie oznacza to, że wszystkie zdarzenia mają ze sobą związek przyczynowy, ale jest fizycznie prawdopodobne, że taki będzie.

Gatunek kosmiczny

Jeśli przedział przestrzenny Δl przeważa nad przedziałem czasu cΔt , mówi się , że przedział jest typu przestrzennego, a kwadrat przedziału czasoprzestrzennego jest ujemny:

Δs2 = vs2Δt2-Δl2<0.{\ Displaystyle \, \ Delta s ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} <0 \,.}

Przypadek ten odpowiada sytuacji, w której , co oznacza, że ​​w układzie odniesienia, w którym dokonywano pomiarów, żadne poruszające się ciało poruszające się z prędkością mniejszą niż prędkość światła ani żaden sygnał świetlny nie może znajdować się w dokładnym miejscu i w tym samym czasie. niż pierwsze zdarzenie, a następnie, po jego przemieszczeniu lub propagacji, do zdarzeń z drugiego. Dlatego nie może istnieć związek przyczynowy między tymi dwoma zdarzeniami. Możemy pokazać, że istnieje więc układ inercjalny odniesienia, w którym zdarzenia są jednoczesne: w tym układzie odniesienia różnica czasu między dwoma zdarzeniami wynosi zero, stąd |Δl/Δt|>vs{\ Displaystyle | \ Delta l / \ Delta t |> c}

Δs2=vs2Δt2-Δl2 = 0-Δl2{\ Displaystyle \ Delta s ^ {2} \, = \, c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} ~ = ~ \, 0- \ Delta l ^ {2} \ ,}

Zatem w tym konkretnym inercjalnym układzie odniesienia różnica czasu wynosi zero między zdarzeniami a ich przestrzenną odległością, zwaną odległością właściwą , wynosiΔl=-Δs2.{\ Displaystyle \ Delta l = {\ sqrt {- \ Delta s ^ {2}}}.}

Sytuacja ta odpowiada eksperymentu myślowego z paradoksu drabiny .

Gatunek światła

Jeśli kwadrat przedziału czasoprzestrzennego wynosi zero, oznacza to, że światło przebywa dokładnie odległość geometryczną między dwoma zdarzeniami podczas upływu czasu między tymi dwoma zdarzeniami.

Δs2 = vs2Δt2-Δl2=0.{\ Displaystyle \, \ Delta s ^ {2} ~ = ~ c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta l ^ {2} = 0 \ ,,.}

Przypadek ten odpowiada sytuacji, w której , co oznacza, że ​​w układzie odniesienia, w którym dokonywano pomiarów , do dwóch zdarzeń mogą dołączyć tylko cząstki o zerowej masie , a więc poruszające się z prędkością światła . Ponieważ prędkość światła jest taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, jest taka sama, gdy te zdarzenia są widziane z dowolnego innego inercjalnego układu odniesienia. To wciąż pozostawia możliwość związku przyczynowego między tymi dwoma zdarzeniami, łączącego się z prędkością światła. |Δl/Δt|=vs{\ Displaystyle | \ Delta l / \ Delta t | = c}

Przykład: jeśli zdarzenie A polega na wysłaniu sygnału laserowego z Ziemi na Księżyc, a zdarzenie B polega na odbiorze tego sygnału na Księżycu, to odstęp czasoprzestrzenny między A i B będzie wynosił zero, ponieważ odległość Δl między Ziemia i Księżyc będą dokładnie równe odległości cΔt pokonanej przez światło w czasie Δt . W tym drugim przypadku możemy powiedzieć, że interwał jest typu lekkiego .

Porządek czasowy i płeć

Zasadniczo, fizycznie realistyczne zmiany ramek odniesienia odnoszą się do orientacji osi czasu: zakłada się zatem, że patrząc z jednego lub innego układu odniesienia wskazówki zegara nie zmieniają swojego kierunku obrotu, tylko wtedy, gdy jabłko spada. z gałęzi widzianej z jednej, to nie podnosi się, gdy jest widziana z drugiej. Jeśli są oddzielone przedziałem podobnym do czasu, wszyscy obserwatorzy obserwują ten sam porządek czasowy między dwoma zdarzeniami (ale z różnymi przerwami czasowymi).

Z drugiej strony, w niektórych przypadkach porządek czasowy obserwowany między dwoma zdarzeniami może zmieniać się z jednego układu odniesienia na inny: jeśli dwa zdarzenia są oddzielone odstępem przypominającym przestrzeń, ich obserwowany porządek czasowy może się zmienić z jednego układu odniesienia na inny. ”inny, są też repozytoria, dla których te dwa zdarzenia są równoczesne.

Demonstracja niezmienności porządku czasowego obserwowanego dla rodzaju czasowego

Niezmienność przez zmianę układu odniesienia porządku czasowego między dwoma zdarzeniami oddzielonymi przedziałem czasowym jest tautologiczną równoważnością z zasadą nieodwracania osi czasu przez zmianę układu odniesienia.

Ale możemy chcieć przekonać się, poprzez rozważania matematyczne, że ta niezmienność jest rzeczywiście konsekwencją tej zasady:

Jedynymi zmianami układu odniesienia, na jakie pozwala fizyka, jest uwzględnienie orientacji osi czasu i orientacji trójwymiarowych układów odniesienia (orientacja zgodna jednomyślnie to orientacja prawej ręki ), to także ciągłe zmiany w stosunku do układu odniesienie, początkowe i nazywane są transformacjami własnymi i ortochronicznymi .

Rozważ parę zdarzeń typu czasowego, tak że przedział Δ t od A do F jest dodatni ( t (F) jest większy niż t (A) lub F jest późniejszy niż A). Aby ten przedział zmienił znak (F staje się wcześniejszy niż A) musiałby przekroczyć wartość zerową, co jest niemożliwe. Rzeczywiście, kwadrat Δ t 2 przedziału czasu jest równy sumie dwóch kwadratów według wzoru ,
vs2Δt2=Δs2+Δl2{\ Displaystyle c ^ {2} \, \ Delta t ^ {2} \, = \, \ Delta s ^ {2} + \ Delta l ^ {2}}

gdzie pierwszy człon drugiego członu jest ściśle dodatni (i niezmienny przez zmianę układu odniesienia), a drugi człon, kwadrat odległości euklidesowej, jest dodatni lub zerowy. W konsekwencji tego kwadratu Δ t 2 nie można anulować. To samo dotyczy samego przedziału czasowego Δ t , który nie będąc w stanie anulować się, nie może w sposób ciągły zmieniać znaku. Tak więc, jeśli A poprzedza F dla pewnego obserwatora, zawsze będzie to samo dla każdego fizycznie dopuszczalnego obserwatora. Jeśli A był przed F, F nie może działać na A, stając się sobą przed A.   Demonstracja, że ​​obserwowany porządek czasowy można odwrócić w przypadku gatunku kosmicznego

Biorąc pod uwagę dwa zdarzenia A i B, takie jak w układzie odniesienia obserwatora i przy dobrym wyborze osi . (R){\ displaystyle (R)} Δt=tb-tW>0{\ Displaystyle \ \ Delta t = t_ {B} -t_ {A}> 0} Δx=xb-xW>0{\ Displaystyle \ \ Delta x = x_ {B} -x_ {A}> 0} x{\ displaystyle \ x}

Rozważ układ odniesienia w translacji w odniesieniu do układu współrzędnych (R), przy prędkości wzdłuż osi x, z . (R′){\ displaystyle (R ')}v→=umi→x{\ displaystyle {\ vec {v}} = u \, {\ vec {e}} _ {x}}0<u<vs{\ displaystyle 0 <u <c}

Według przekształceń Lorentza , czas pomiędzy tymi dwoma wydarzeniami, widok repozytorium jest: z: . bycie pozytywnym, a co z negatywnym przypadkiem ? Złoto: . Stąd:, stąd te dwa zdarzenia są oddzielone odstępem przypominającym spację. Jednokierunkowej strzałek blokuje Converse, ale mamy: istnieje liczba dodatnia takie, że . Pozując , uzyskuje się i zawsze można skonstruować odniesienie w tłumaczeniu z prędkością, z jaką . (R′){\ displaystyle (R ')}
Δt′=γ(Δt-u.Δxvs2),{\ Displaystyle \ Delta t '= \ gamma (\ Delta t - {\ Frac {u. \ Delta x} {C ^ {2}}}) \ ,,}γ=(1-u2/vs2)-1/2>0{\ Displaystyle \, \ gamma = \ lewo (1-u ^ {2} / c ^ {2} \ prawo) ^ {- 1/2}> 0}
Δt{\ displaystyle \ Delta t}Δt′{\ displaystyle \ Delta t '}
Δt′<0⟺Δt<uvs2Δx⟺vs2u<ΔxΔt.{\ Displaystyle \ Delta t '<0 \ Longleftrightarrow \ Delta t \, <\, {\ Frac {U} {c ^ {2}}} \ Delta x \ Longleftrightarrow {\ Frac {c ^ {2}} {u }} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \;.}
0<u<vs⟺vs<vs2u{\ displaystyle 0 <u <c \ Longleftrightarrow c <{\ frac {c ^ {2}} {u}}}
Δt′<0⟺Δt<uvs2Δx⟺vs2u<ΔxΔt⇒vs<ΔxΔt⟺vs2.Δt2-Δx2<0{\ Displaystyle \ Delta t '<0 \ Longleftrightarrow \ Delta t \, <\, {\ Frac {U} {c ^ {2}}} \ Delta x \ Longleftrightarrow {\ Frac {c ^ {2}} {u }} <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Rightarrow c <{\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Longleftrightarrow c ^ {2}. \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} <0}
⇒{\ displaystyle \ Rightarrow}vs<ΔxΔt⇒{\ Displaystyle c <{\ Frac {\ Delta x} {\ Delta t}} \ Rightarrow}ϵ<1{\ Displaystyle \ epsilon <1}vs<ϵ.ΔxΔt<ΔxΔt{\ Displaystyle c <\ epsilon. {\ Frac {\ Delta x} {\ Delta t}} <{\ Frac {\ Delta x} {\ Delta t}}} u=vs.ϵ<vs{\ Displaystyle \ u = c. \ epsilon <c}vs2u<ΔxΔt{\ Displaystyle {\ Frac {C ^ {2}} {U}} <{\ Frac {\ Delta x} {\ Delta t}}}(R′){\ displaystyle (R ')}v→=umi→x{\ displaystyle {\ vec {v}} = u \, {\ vec {e}} _ {x}} Δt′<0{\ Displaystyle \ \ Delta t '<0}

Zauważ, że w ten sposób możemy również określić układ odniesienia, dla którego te dwa zdarzenia są jednoczesne.  

Stożek światła

Jeśli ustalimy konkretne zdarzenie O jako przedmiot badań, możemy podzielić czasoprzestrzeń na regiony grupujące zdarzenia, które są oddzielone od O przedziałem czasoprzestrzennym podobnym do czasu, te, które są oddzielone od O przez gatunek światła. i te, które są oddzielone od O przez gatunek kosmiczny. Ten czterowymiarowy podział czasoprzestrzenny ma postać trójwymiarowego stożka: wnętrze odpowiada pierwszemu, brzeg drugiemu, a zewnętrzne trzecie. Regiony te odpowiadają różnym możliwościom związku przyczynowego ze zdarzeniem O.

Oczywiście każde wydarzenie ma swój własny stożek światła.

Trudność w reprezentacji polega na tym, że do scharakteryzowania zdarzenia potrzebne są cztery współrzędne, jedna czasu i trzy przestrzenne, i niemożliwe jest przedstawienie punktu o czterech współrzędnych w naszej trójwymiarowej przestrzeni. Dlatego w przypadku wykresu zmniejszamy liczbę wymiarów przestrzennych do 2.

Metryczny

Szczególna teoria względności czasoprzestrzeni jest wyposażona w kwadrat przedziału czasoprzestrzennego z pewnego rodzaju odległością, która jest niezmienna przez zmianę układu odniesienia. Widziana w ten sposób, przedział czasoprzestrzenny może być traktowany jako miara przestrzeni, z której wynika szereg matematycznych właściwości przestrzeni i teorii relatywistycznej.

Kiedy dwa zdarzenia A i B, między którymi obliczamy kwadrat przedziału czasoprzestrzennego, są bardzo bliskie, ich współrzędne różnią się więc tylko o nieskończenie małe wielkości . Rozważanie to jest zbędne w szczególnej teorii względności, której przestrzeń jest afiniczna , ale ma zasadnicze znaczenie w ogólnej teorii względności, której przestrzeń jest zakrzywioną odmianą, w której nie można określić jej rygorystycznie, ale gdzie nieskończenie małe elementy są definiowalne i należą do przestrzeni . (rexμ)=(vsret,rex,rey,rez){\ Displaystyle \ scriptstyle (dx ^ {\ mu}) \, = \, (c \, dt, dx, dy, dz)} (Δxμ){\ Displaystyle \ scriptstyle (\ Delta x ^ {\ mu}) \,}(rexμ){\ Displaystyle (dx ^ {\ mu})}

W szczególnej teorii względności, plac przedziału nieskończenie czasoprzestrzeni wynosi: . res2=vs2ret2-rex2-rey2-rez2{\ Displaystyle \, ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2}}

Metrykę ogólnej teorii względności można zdefiniować z metryki szczególnej teorii względności, biorąc pod uwagę zasadę równoważności i zasadę względności uogólnioną na wszystkie układy odniesienia i jest ona podstawowym elementem (z matematycznego punktu widzenia) konstrukcji tej teorii. Pozwala na definicję nieskończenie małego elementu kwadratu przedziału czasoprzestrzennego w tej teorii.

W ogólnej teorii względności wzór na kwadrat nieskończenie małego przedziału czasoprzestrzennego jest taki , że współczynniki metryki zmieniają się z jednego punktu do drugiego w czasoprzestrzeni, w zależności od krzywizny przestrzeni. res2=∑μ=03∑ν=03solμν rexμ rexν{\ Displaystyle ds ^ {2} = \ sum _ {\ mu = 0} ^ {3} \ sum _ {\ nu = 0} ^ {3} g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d} } x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}solμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Piszemy także z konwencji Einsteina dla sumowania: . res2=solμν rexμ rexν{\ Displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}

Ale ta definicja z nieskończenie małych elementów i krzywizna czasoprzestrzeni utrudnia uzasadnienie właściwości podobnych do tych przedstawionych w powyższych akapitach, z wyjątkiem lokalnych. Jednak ze zdarzenia O zawsze możemy dokonać podziału czasoprzestrzeni jako całości na zdarzenia związane z O przez geodezyjny rodzaj czasu, światła lub przestrzeni (rodzaj odpowiadający stałemu znakowi długiej geodezyjnej) . res2{\ displaystyle ds ^ {2}}

Przypadek niezmienności jako hipoteza

Jeśli niezmienność kwadratu przedziału czasoprzestrzennego, przez zmianę układu odniesienia, zostanie postawiona jako hipoteza wstępna w teorii względności, to wnioski, które są z niej dokonywane, są następnie matematycznie zgodne z teorią, ale niektóre muszą zostać wyrzucone z przyczyn fizycznych.

W szczególnej teorii względności

Utożsamianie przestrzeni fizycznej z czterowymiarową przestrzenią matematyczną obdarzoną podobną odległością (mówimy też o pseudo-normie ) prowadzi do zidentyfikowania punktów odniesienia afinicznej czterowymiarowej przestrzeni i inercjalnych układów odniesienia fizyki oraz do poszukiwania wszystkich zmian układu odniesienia mającego właściwość pozostawiania niezmiennego przedziału czasoprzestrzennego, znajdujemy takie, które, będąc zgodne z matematyką teorii relatywistycznej, nie mogą być zachowane jako fizycznie realistyczne zmiany układu odniesienia, ponieważ nie przestrzegają konwencji orientacji trójwymiarowych punktów orientacyjnych (orientacja jednogłośnie przyjęta jako prawa ręki ) lub orientacja osi czasu (w kierunku przyszłości ).

Transformacje, które zachowują orientacje czasu i przestrzeni, są transformacjami Lorentza ustanowionymi od początku przez Lorentza i nazywane są w ramach tych problematycznych, właściwych i ortochronicznych transformacji Lorentza . Inne transformacje nie są używane w fizyce relatywistycznej, ale są używane w relatywistycznej fizyce kwantowej do wykorzystania matematycznych symetrii równań. Na przykład symetria T i parzystość są interpretowane jako proste zmiany w konwencji orientacji osi współrzędnych przestrzennych i czasowych. Tym samym symetria P zmienia konwencję doboru układów odniesienia prawą ręką na konwencję wyboru lewej ręki.

W ogólnej teorii względności

W ogólnej teorii względności , ponieważ czasoprzestrzeń jest zasadniczo strukturyzowana przez algebrę, należy uważać, aby wykluczyć hipotezy lub wyniki, które są matematycznie poprawne, ale fizycznie nierealistyczne. Dotyczy to w szczególności kwadratu przedziału czasoprzestrzennego, który jest elementem założycielskim teorii (z matematycznego punktu widzenia) ze względu na jego niezmienność poprzez zmianę układu odniesienia i związek z grawitacją (co jest przejawem krzywizny). Już teraz tworzą matrycę, która musi mieć wyznacznik negatywny, aby mieć fizyczne znaczenie. res2=solμν rexμ rexν{\ Displaystyle \ textstyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ mu} \ {\ rm {d}} x ^ {\ nu}}solμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Zatem w realistycznym układzie odniesienia dla obserwatora, jeśli współrzędna odpowiada pomiarowi czasu, a współrzędne odpowiadają dowolnemu przestrzennemu układowi odniesienia, warunki muszą zweryfikować , jak również dla k = 1, 2, 3 (w w skrócie: podpis musi pozostać niezmieniony w stosunku do metryki Minkowskiego). x0{\ displaystyle x_ {0}}x1;x2;x3{\ Displaystyle x_ {1}; x_ {2}; x_ {3}}solμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}sol00>0{\ displaystyle g_ {00}> 0}solkk<0{\ displaystyle g_ {kk} <0}

Jednak aby określić własności czasoprzestrzeni, matematyka ogólnej teorii względności pozwala na użycie dowolnego układu odniesienia w tej czterowymiarowej przestrzeni, bez konieczności zajmowania się realizmem iw tym przypadku współczynniki nie podlegają tym ograniczeniom. solμν{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}

Uwagi i odniesienia

1. Konwencja odpowiada wyborowi dokonanemu w tekstach anglosaskich; konwencja odpowiada wyborowi dokonanemu np. w słynnych tekstach pedagogicznych Lwa Landaua . Ten ostatni wybór jest uważany przez Rogera Penrose'a za „bardziej fizyczny”, ponieważ metryka jest dodatnia dla linii wszechświata typu czasowego, które są jedynymi dopuszczalnymi dla cząstek masywnych. (-;+;+;+){\ Displaystyle \ (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ Displaystyle \ (+; -; - ;-)}
2. Zobacz na przykład Lev Landau i Evgueni Lifchits , Theoretical Physics [ szczegóły wydań ], tom 2 „teoria pola”, rozdział 1, §2.
3. patrz np. (W) EF Taylor, JA Wheeler, Spacetime Physics, Wprowadzenie do szczególnej teorii względności, wydanie drugie, Freeman 1992
4. Zobacz Lev Landau i Evgueni Lifchits , Theoretical Physics [ szczegóły wydań ] Tom 2, §2
5. W geometryczne wymiaru w układzie jednostek geometryczne o ogólnym wzgl'dnoÊci odstęp cΔt mówi się, że w czasie.
6. Ponieważ czas jest matematyczną przestrzenią tylko w jednym wymiarze, kierunek i jednostkę czasu można zdefiniować zaczynając od dowolnych dwóch zdarzeń typu czasu i dowolnych kolejnych (kolejne pozycje wskazówek zegara, początek i koniec upadek jabłka, lub ...). Dowolny czas trwania hipotezy mierzalny przez tę jednostkę, nieodwrócenie osi czasu jest równoważne nieodwróceniu tej zorientowanej jednostki, a to narzuca nieodwrócenie dowolnego użytecznego czasu trwania jako zorientowanej jednostki czasu, w związku z tym braku odwrócenia czasu między dowolnymi dwoma zdarzeniami typu czasowego .
7. W tej teorii krzywizna jest geometrycznym wyrazem grawitacji .
8. wszechświat Gödla jest przykładem teorii zgodnej z ogólną teorią względności i gdzie właściwości szczególnej teorii względności są ważne tylko lokalnie, na przykład rozróżnienie między przeszłością i przyszłością.
9. Zachowanie tych orientacji jako powodu tego wyboru jest przedstawione w rozdziale 1, §1.3 w (en) The geometry of Minkowski Spacetime autorstwa Gregory L. Naber, Springer-Verlag ( ISBN  3540978488 ) , 1992.
10. Wynika to z faktu, że ta macierz jest diagonalizowalna i że jej ukośny kształt musi odpowiadać macierzy metryki równoważnej macierzy Minkowskiego .
11. Realizm układu odniesienia można rozumieć jako: istnieje obserwator, dla którego jedna współrzędna podaje odmierzony czas, a trzy określają przestrzeń, z obowiązującymi orientacjami już w szczególnej teorii względności.
12. które tworzą tak zwany tensor metryczny i które odzwierciedlają krzywiznę czasoprzestrzeni
13. Lev Landau i Evgueni Lifchits , Fizyka teoretyczna [ szczegóły wydań ], Tom 2 „Teoria pola”, §82 do §84
14. Przykład nierealistycznego układu odniesienia uzyskuje się przez zastąpienie współrzędnej czasowej współrzędną zgodną z geodezyjną typu światła.

Zobacz też

• Tensor metryczny
• Czysty czas
• Trenuj paradoks
• Bliźniaczy paradoks