W matematyce , matryce są układy elementów (liczb, znaków), które są używane do interpretacji w warunkach obliczeniowych, a zatem operacyjne, Teoretyczne wyniki liniowego Algebra a nawet dwuliniowo Algebra .
Wszystkie dyscypliny badające zjawiska liniowe wykorzystują macierze. Jeśli chodzi o zjawiska nieliniowe, często podaje się ich przybliżenia liniowe, jak w optyce geometrycznej z przybliżeniami Gaussa .
Chociaż obliczanie macierzy sam pojawia się na początku XIX th wieku, matryce, jak tabele liczb, mają długą historię stosowania w rozwiązywania równań liniowych . Te chińskie tekst Rozdziały Dziewięć na sztuce Matematycznego pisze do II th wieku przed naszą erą. AD , jest pierwszym znanym przykładem wykorzystania tablic do rozwiązywania układów równań , wprowadzając nawet pojęcie wyznacznika . W 1545 Girolamo Cardano rozsławił tę metodę w Europie, publikując swoją Ars Magna . Japoński matematyk Seki Takakazu stosowane niezależnie tych samych technik rozwiązywania układów równań w 1683 roku w Holandii, Johan de Witt jest transformacje geometryczne z wykorzystaniem tabel w swojej książce z 1659 roku, elementa curvarum linearum . W latach 1700-1710 Leibniz pokazał, jak używać tabel do zapisywania danych lub rozwiązań i eksperymentował w tym celu z ponad 50 systemami tabel. W 1750 roku Gabriel Cramer opublikował regułę noszącą jego imię .
W 1850 roku termin „matryca” (przetłumaczony przez matrix) ukuł (na łac. rdzeń mater ) James Joseph Sylvester , który widzi w nim przedmiot dający początek rodzinie wyznaczników obecnie nazywanych małoletnimi , czyli m.in. wyznaczniki macierzy podrzędnych uzyskanych przez usunięcie wierszy i kolumn. W artykule z 1851 roku Sylvester podaje:
„W poprzednich artykułach nazwałem prostokątną macierz terminów , z której można wygenerować kilka systemów wyznaczników, jakby z wnętrzności wspólnego rodzica”.W 1854 roku Arthur Cayley opublikował traktat o przekształceniach geometrycznych przy użyciu macierzy w sposób znacznie bardziej ogólny niż wszystko, co zostało zrobione przed nim. Definiuje zwykłe operacje rachunku macierzowego (dodawanie, mnożenie i dzielenie) oraz pokazuje własności asocjatywności i rozdzielności mnożenia. Do tego czasu użycie macierzy ograniczało się zasadniczo do obliczania wyznaczników; to abstrakcyjne podejście do operacji na macierzach jest rewolucyjne. W 1858 Cayley opublikował swoje A Memoir on the Theory of Matrices , w którym stwierdził i zademonstrował twierdzenie Cayleya-Hamiltona dla macierzy 2 × 2.
Wiele twierdzeń jest zresztą na początku wykazanych tylko dla małych macierzy: po Cauchym Hamilton uogólnia twierdzenie na macierze 4×4 i dopiero w 1898 Frobenius , badając formy dwuliniowe , udowodnił twierdzenie w dowolnym wymiarze. Było też w końcu XIX th wieku, że Wilhelm Jordan ustanawia metodę eliminacji Gaussa-Jordana (uogólniając metodę Gaussa dla szyki fazowane ). Na początku XX th wieku, matryce są kluczowe w algebry liniowej , po części dzięki roli, jaką odgrywają w systemach klasyfikacyjnych hypercomplex numery z poprzedniego wieku.
Angielski matematyk imieniem Cullis jako pierwszy użył w 1913 r. nowoczesnej notacji nawiasów (lub nawiasów) do przedstawiania macierzy, jak również notacji systematycznej A = [ a i , j ] do reprezentowania macierzy, której a i , j jest wyrazem i-tego wiersza i j- tej kolumny.
Sformułowanie mechaniki kwantowej za pomocą mechaniki macierzowej , za sprawą Heisenberga , Borna i Jordana , doprowadziło do badania macierzy zawierających nieskończoną liczbę wierszy i kolumn. Następnie von Neumann wyjaśnił matematyczne podstawy mechaniki kwantowej , zastępując te macierze operatorami liniowymi na przestrzeniach Hilberta .
Teoretyczne studium uwarunkowań pochodzi z kilku źródeł. Problemy numer teorii doprowadzić Gaussa odnosić się do macierzy (lub dokładniej na ich determinanta) współczynników o kwadratowej formie , jak również liniowych map w trzecim wymiarze. Gotthold Eisenstein rozwija te pojęcia, zauważając w szczególności, że we współczesnej notacji produkt macierzy jest nieprzemienny. Cauchy jako pierwszy zademonstrował ogólne wyniki dotyczące wyznaczników, używając jako definicji wyznacznika macierzy A = [ a i , j ] wyniku podstawienia w wielomianu potęg ak
jprzez a jk . Pokazuje również, w 1829 roku, że wartości własne macierzy symetrycznej są rzeczywiste. Jacobi bada „determinanty funkcjonalne” (zwane później jakobianami przez Sylwestra), używane do opisu transformacji geometrycznych z nieskończenie małego punktu widzenia ; książki Vorlesungen über die Theorie der Determinanten przez Leopolda Kroneckera i Zur Determinantentheorie przez Karla Weierstrassa , zarówno opublikowane w 1903 roku, po raz pierwszy określić jako determinanty aksjomatycznie przemian form multilinear .
Co najmniej dwóch wybitnych matematyków użyło tego słowa w niezwykłym znaczeniu.
Bertrand Russell i Alfred North Whitehead w swojej Principia Mathematica używają słowa „macierz” w kontekście ich aksjomatu redukowalności (w) . Aksjomat ten umożliwia zredukowanie typu funkcji, przy czym funkcje typu 0 są identyczne z ich rozszerzeniem (en) ; nazywają "macierz" funkcją mającą tylko wolne zmienne . Na przykład funkcja Φ ( x , y ) dwóch zmiennych x i y może zostać zredukowana do zbioru funkcji pojedynczej zmiennej, na przykład y , „rozważając” funkcję dla wszystkich podstawionych wartości a i do zmienna x obniża się do „matrycy” wartości postępując w ten sam sposób dla Y : ∀ b j , ∀ I , Φ ( I , b j ) .
Alfred Tarski we Wstępie do logiki z 1946 r. używa słowa „macierz” jako synonimu tablicy prawdy .
Macierz z m wierszami i n kolumnami to prostokątna tablica m × n liczb, ułożona wiersz po wierszu. Jest m rzędów, aw każdym rzędzie n elementów.
Bardziej formalnie i ogólniej, niech I , J i K będą trzema zbiorami ( K często będzie miał strukturę pierścieniową lub nawet pole przemienne ).
Nazywany typem macierzy ( I , J ) ze współczynnikami w K , dowolna rodzina elementów K indeksowana przez iloczyn kartezjański I × J , czyli dowolna implementacja A do I × J w K .
Najczęściej, podobnie jak w dalszej części tego artykułu, zbiory I i J są skończone i są odpowiednio zbiorami liczb całkowitych {1,…, m } i {1,…, n } . W tym przypadku mówimy, że macierz ma m wierszy i n kolumn lub że ma wymiar lub rozmiar ( m , n ) . Oznaczając a i , j obraz pary ( i , j ) przez odwzorowanie A , macierz może być następnie oznaczona
lub prościej ( a i , j ), jeśli kontekst do tego nadaje się.
W szczególnym przypadku, gdy I lub J jest zbiorem pustym , odpowiednia macierz nazywana jest macierzą pustą .
Zwykle macierz jest reprezentowana w postaci prostokątnego stołu. Na przykład jest reprezentowana poniżej macierzy A , ze współczynnikami całkowitymi i wymiarem (3,4):
W tej reprezentacji pierwszym współczynnikiem wymiaru jest liczba wierszy, a drugim liczba kolumn w tabeli. Macierz, dla której liczba m wierszy jest równa liczbie n kolumn, będzie nazywana macierzą kwadratową o rozmiarze (lub porządku ) n . Macierz z tylko jednym wierszem i n kolumnami nazywana jest macierzą wierszową o rozmiarze n . Macierz z m wierszami i pojedynczą kolumną nazywana jest macierzą kolumnową o rozmiarze m .
Aby zlokalizować współczynnik macierzy, podajemy jej indeks wiersza, a następnie indeks kolumny, wiersze liczone od góry do dołu i kolumny od lewej do prawej. Na przykład, oznaczamy a ı , j współczynniki macierzy A , i od 1 do 3, wyznaczając numer rzędu, w którym współczynnik przewidziany pojawia, J między 1 i 4, wyznaczające jego numer kolumny; zatem 2,4 = 7 .
Ogólny układ współczynników macierzy A o rozmiarze ( m , n ) jest zatem następujący
Mówi się, że współczynniki a i , j przy i = j są przekątne , a te z i ≠ j są pozaprzekątne .
Podmatryca z A jest macierzą otrzymać dobierając część I ⊂ {1, ..., m } z rzędami i część J ⊂ {1, ..., N } swoich kolumn; oznaczamy A I , J . Mówimy, że podmacierz jest zasadnicza, jeśli I = J w poprzedniej definicji. Przekątnej od A jest wektorem
gdzie p = min ( m , n ) .
Do wykonania pewnych operacji może być przydatna praca na układzie wierszy lub kolumn macierzy. Możemy wtedy napisać to w jednej z następujących form
Zbiór macierzy o współczynnikach w K mających m wierszy i n kolumn jest oznaczony przez M m , n ( K ) (lub czasami M ( m , n , K ) ).
Gdy m = n oznaczamy prościej M n ( K ) .
Niech K będzie zbiorem i A = ( a i , j ) 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ∈ M m , n ( K ) ; Nazywamy transponowanych matrycę wśród A macierz T = ( w J , I ) 1 ≤ j ≤ n , 1 ≤ i ≤ m ∈ M n , m ( K ) . Jeżeli K jest magmy , T = ( J , I ) 1 ≤ j ≤ n , 1 ≤ i ≤ m ∈ M n , m ( K op ) gdzie K op jest naprzeciwko magmy z K .
Na przykład z macierzą A z poprzednich przykładów mamy
Przypuśćmy teraz, że K ma strukturę pierścieniową ; elementy K będziemy nazywać skalarami , w przeciwieństwie do macierzy, które, jak zobaczymy, można uznać za wektory .
Zdefiniować o M m , n ( K ) na wewnętrznej prawa kompozycji wynikające z dodawania skalarnych:
.Możemy dodać tylko dwie macierze o tym samym rozmiarze.
Dla każdej wartości pary ( m , n ) , przestrzeń M m , n ( K ) , a następnie staje się grupa przemienna z neutralnym elementu matrycy zerowy , który, z których wszystkie współczynniki są równe 0.
Definiujemy również operację na prawo od K na każdej przestrzeni M m , n ( K ) poprzez powiązanie, z każdym skalarem λ w K i z każdą macierzą ( a i , j ) ze współczynnikami w K , macierz ( a i , j ) λ = ( a i , j λ ) uzyskany przez wykonanie po prawej stronie mnożenia w K wszystkich współczynników macierzy początkowej przez λ : jest to mnożenie przez skalar . Gdy pierścień jest przemienny, mnożenie można wykonać również po lewej stronie.
Zawsze biorąc macierz A z pierwszego przykładu ( patrz wyżej ):
Przestrzenie M m , n ( K ), w ten sposób otrzymuje się zatem strukturę K - odpowiedni moduł , a zwłaszcza od K - przestrzeń wektorową , jeśli K jest pole przemienne .
Kanoniczna podstawa przestrzeni macierzowejK -module M m , n ( K ) jest wolny od rangi MN , to znaczy, że ma podstawę z mln elementów: wystarczy rozważenie kanonicznej podstawy ( e I , J ) 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n . Macierz E i , j jest tą, w której wszystkie współczynniki są równe zero z wyjątkiem indeksu ( i , j ) , który jest równy 1.
Współrzędnymi w bazie kanonicznej macierzy A są jej współczynniki:
Zaczynamy od zdefiniowania iloczynu macierzy wierszy przez macierz kolumn. Niech n będzie liczbą całkowitą, L macierzą wierszową, x i jej współczynnikami, C macierzą kolumnową, y i jej współczynnikami. Zakłada się, że oba mają rozmiar n . Następnie definiujemy iloczyn, rozpatrywany jako skalar lub macierz wymiaru (1, 1):
Zauważa się warunek zgodności na rozmiarach macierzy (równość liczby kolumn pierwszej z liczbą wierszy drugiej). Zdefiniujemy teraz bardziej ogólnie iloczyn między dwiema macierzami, pierwszą ( x i , j ) w M m , n ( K ) , drugą ( y i , j ) w M n , p ( K ) , zawsze z a warunek zgodności rozmiarów (i kolejność mnożenia nie może być ogólnie zmieniona). Otrzymany wynik jest macierzą M m , p ( K ) , której współczynniki ( z i , j ) otrzymuje się przez:
W świetle przykładu mnożenia macierzy wierszy przez macierz kolumn możemy przeformułować tę definicję, mówiąc, że współczynnik ten jest równy iloczynowi wiersza i pierwszej macierzy przez kolumnę j drugiej macierzy , która jest zapisana w następujący sposób, jeśli L i są wierszami pierwszej macierzy, a C j kolumnami drugiej, iloczynem jest: .
Iloczyn macierzy jest asocjacyjny , rozdzielczy po prawej i lewej stronie względem dodawania macierzy. Z drugiej strony, nawet gdy wymiary umożliwienia otrzymując znaczenie w kwestii nawet jeśli pierścień skalarnych jest przemienne, produkt macierzy ma na ogół nie złagodzenia : AB nie jest na ogół równa BA , na przykład:
Uwaga : iloczyn dwóch niezerowych macierzy może wynosić zero, jak w powyższym przykładzie.
Zdarza się nawet, w zależności od odpowiednich rozmiarów matryc A i B , że jeden z dwóch produktów istnieje, a drugi nie.
Transpozycja i iloczyn macierzy są kompatybilne w następującym sensie:
( nawet jeśli pierścień K nie jest przemienny , pamiętając, że transponowane macierze mają swoje współczynniki w przeciwległym pierścieniu K op ).
Tożsamość i macierz odwrotna macierzyDla każdej liczby całkowitej n oznaczamy przez I n macierz kwadratową o rozmiarze n, której współczynniki diagonalne są równe 1, a pozostałe współczynniki są równe zeru; nazywa się to macierzą jednostkową o rozmiarze n.
gdzie δ i, j oznaczają symbol Kroneckera .
Z zastrzeżeniem zgodności rozmiaru, ja n matryce są w lewo i prawo neutralny dla mnożenia.
Niech A będzie macierzą wymiaru ( m , n ). Mówimy, że A jest odwracalna po prawej stronie (odpowiednio po lewej), jeśli istnieje macierz B o rozmiarze ( n , m ) taka, że AB = I m (odpowiednio BA = I n ). Mówi się po prostu, że jest odwracalny, jeśli jest zarówno prawy, jak i lewy. Podzbiór M n ( K ) składa się z odwracalnych macierzy ma strukturę grupy do produktu matrycy; nazywa się to grupą liniową i oznacza GL n ( K ) .
Dla macierzy kwadratowej ze współczynnikami w pierścieniu przemiennym K , będąca prawostronnie lub lewostronnie odwracalna lub mająca odwracalny wyznacznik w K (tj. niezerowa, jeśli K jest polem) są trzema równoważnymi właściwościami.
Gdy pierścień K jest przemienny, zbiór M n ( K ) macierzy kwadratowych o rozmiarze n jest zatem wyposażony w strukturę K - algebry asocjacyjnej i unitarnej z dodawaniem macierzy, iloczynem przez skalar i macierzą iloczynową.
Nazywana macierzą skalarna macierz o postaci I n λ, gdzie λ jest elementem pierścienia K .
Macierze te nazywane są macierzami skalarnymi, ponieważ zachowują się jak skalary w odniesieniu do mnożenia:
Gdy K jest przemienne, lub w przypadku braku tego, gdy λ jest centralne w K , tj. gdy λ komutuje ze wszystkimi elementami K , mamy również:
I odwrotnie, dowolna macierz B z M n ( K ) taka, że ∀ A ∈ M n ( K ), AB = BA jest macierzą skalarną I n λ gdzie λ jest centralną wartością K (wykazano to biorąc za A macierze podstawa kanoniczna ).
Macierz postaci:
będzie nazywana macierzą diagonalną .
Oprócz wyznacznika, inną funkcją nuty jest ślad . Oba pojawiają się w bardziej ogólnym przedmiocie, wielomianu charakterystycznym , który z kolei zapewnia pewną charakterystykę macierzy diagonalizowalnych (tj. podobnych do macierzy diagonalnej) lub trygonalizacji .
Istnieje kilka sposobów działania grupy liniowej GL n ( K ) na przestrzenie macierzy, w szczególności:
Opiszemy teraz klasyczne wyniki tych działań, gdy skalary tworzą pole przemienne. Pierwsze dwie czynności są często rozpatrywane jednocześnie; interesuje nas zatem pytanie: przy danych dwóch macierzach A i B wymiaru ( m , n ) , czy istnieją macierze P ∈ GL m ( K ) i Q ∈ GL m ( K ) takie, że A = PBQ −1 ? W takim przypadku obie macierze A i B są równoważne . Głównym efektem jest to, że dwie macierze są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą rangę , który ponownie wyraził, mówiąc, że ranga jest kompletnym niezmienna dla podwójnych klas zdefiniowanych przez dwóch działań mnożenia po lewej i po prawej stronie . Ponadto, mając daną macierz, można znaleźć inne macierze uprzywilejowane (matryce przeskalowane ) na tej samej orbicie dla jednego z tych działań metodą osi Gaussa .
Dla działania przez koniugację, dwie macierze kwadratowe A i B o rozmiarze n na tej samej orbicie dopuszczają zależność postaci A = PBP -1 , dla pewnej odwracalnej macierzy P o rozmiarze n ; mówi się, że dwie takie macierze są podobne . Opis pełnego systemu niezmienników (charakteryzujących podobne macierze) jest delikatniejszy. Nazywamy te niezmienniki niezmiennikami podobieństwa . Z algorytmicznego punktu widzenia, sprowadzenie dowolnej macierzy do macierzy w uprzywilejowanej formie odbywa się za pomocą algorytmu inspirowanego osią Gaussa, patrz twierdzenie o czynniku niezmiennym .
Główną zaletą macierzy jest to, że umożliwiają wygodne pisanie zwykłych operacji algebry liniowej z pewną kanonicznością.
Pierwszy punkt jest, aby zauważyć, że K -module K n jest identyfikowany z kanoniczne miejsca kolumny macierzy M n , 1 ( K ) : jeśli e i jest n -tuplet z K n , którego współczynniki są zerowe, z wyjątkiem I - p ma wartość 1, które, kojarzy się z nim ı -tej kolumnie macierzy E i 1 z kanonicznych oparciu o M n , 1 ( K ) (ten, którego współczynniki są równe zero z wyjątkiem , że -te co jest warte 1) i rozszerzamy identyfikację o liniowość; macierz skojarzona z każdym n- upletem będzie nazywana kanoniczną macierzą współrzędnych .
Możliwe są jednak inne identyfikacje; kiedy możemy mówić o bazie (jeśli np. pierścień skalarów jest polem), możemy skojarzyć elementarne macierze kolumnowe z dowolną bazą przestrzeni K n (lub ogólniej z K - modułem swobodnym), to rozszerzmy znowu przez liniowość; powiązane macierze będą nazywane macierzami koordynowanymi w rozważanej bazie.
Można zestawić macierze współrzędnych, o stałej podstawie, kilku n -upów. W ten sposób otrzymujemy macierz współrzędnych rodziny wektorów. Stopień matrycy jest definiowana jako wymiar rodziny tych wektorów. W szczególności macierz jednej bazy w innej bazie nazywana jest macierzą przejścia między tymi dwiema bazami lub macierzą zmiany bazy. Jeśli X i X' są macierzami współrzędnych tego samego wektora w dwóch bazach B i C , a P jest macierzą przejścia z bazy C w bazie B , to mamy zależność (macierz przejścia jest zawsze odwracalna):
Niech E i F dwa miejsca wektora odpowiednich wymiarach n i m nad polem K , B bazie E , C bazie F i φ liniowego odwzorowania na E w F .
Nazywamy macierz cp w pary zasad ( B , C ) przeprowadzono mata macierzy B , C ( cp ) o M m , n ( K ) , że dla dowolnego wektora x z E , jeżeli oznaczają Y = φ ( x ) , X = mata B ( x ) i Y = mata C ( y ) , wtedy:
Jeśli ψ jest drugim liniowym odwzorowaniem F w trzeciej przestrzeni wektorowej G o podstawie D , to względem baz B , C , D , macierz złożonego ψ ∘ φ jest równa iloczynowi macierzy ψ i φ . Dokładniej :
Zastosowanie L ( E , F ) w M m , n ( K ) , które z każdym φ wiąże swoją macierz w ( B , C ) jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych .
Dla każdej macierzy M o M m , n ( K ) , na mapie X ↦ MX z K -wektor przestrzeń M n , 1 ( K ) w K -wektor przestrzeń M m , 1 ( K ) jest liniowa. Jest to kluczowy punkt w powiązaniu między algebrą liniową a macierzami. W konsekwencji często zdarza się, że macierz M jest utożsamiana z tym odwzorowaniem liniowym. Będziemy wtedy mówić o jądrze macierzy, o przestrzeniach własnych macierzy, o obrazie macierzy itd.
Jeśli B i B ' to dwie bazy E , C i C ' dwie bazy F , P = mat B ( B ' ) macierz przejścia z B do B ' i Q macierz przejścia z C do C ' , to dwie macierze M i M ' tego samego liniowego odwzorowania E w F , w parach zasad ( B , C ) i ( B ' , C ' ) są połączone przez: M' = Q −1 MP . Należy zatem zauważyć, że dwie równoważne macierze są dwiema macierzami, które reprezentują to samo odwzorowanie liniowe w różnych bazach. W szczególności, w przypadku endomorfizmu , jeśli nałożymy B = C i B ' = C ' , poprzedni wzór przybiera postać : M '= P −1 MP i dwie podobne macierze to dwie macierze reprezentujące ten sam endomorfizm w różnych bazach .
TranspozycjaCzy znowu E i F to dwa wektory przestrzeni K o skończonych wymiarach, odpowiednie bazy B i C oraz φ są liniowym odwzorowaniem E w F . Transponowane odwzorowanie liniowe t φ: F * → E * pomiędzy ich dualami jest określone przez
Jej macierz w parze podwójnych zasad ( C *, B *) jest powiązana z macierzą φ w ( B , C ) przez:
UwagaGdy pierścień nie jest przemienny, jeśli wektory są reprezentowane przez macierze kolumnowe, algebra liniowa jest zgodna z rachunkiem macierzowym tylko wtedy, gdy rozważane moduły lub przestrzenie wektorowe znajdują się po prawej stronie , jak w artykułach wyszczególnionych powyżej, mapa liniowa odpowiadająca lewej pomnożenie wektora kolumnowego przez macierz, która go reprezentuje. Jeśli chcemy mieć moduły lub przestrzenie wektorowe po lewej stronie , musimy reprezentować wektory przez macierze wierszy , tym razem odwzorowanie liniowe jest reprezentowane przez mnożenie po prawej stronie wektora wierszowego przez macierz, która ją reprezentuje.
Ogólnie układ m równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci:
gdzie x 1 , ..., x n to niewiadome, a liczby a i , j to współczynniki układu.
Ten system można zapisać w postaci macierzowej:
z :
teoria rozdzielczości systemów wykorzystuje niezmienniki związane z macierzą A (zwaną macierzą systemu ), na przykład jej rząd, a w przypadku, gdy A jest odwracalne, jego wyznacznik (patrz artykuł Reguła Cramera ).
W tym akapicie założymy , że pierścień K skalarów jest przemienny. W większości zastosowań będzie to pole przemienne.
Istnieje również przypadek nieprzemienny, ale należy podjąć pewne środki ostrożności, a zapisy stają się zbyt ciężkie dla tego artykułu.
Niech E to moduł K , a B = ( e 1 , ..., e n ) baza E .
Pozwolić bilinear forma . Macierz w bazie B definiujemy wzorem:
W szczególnym przypadku, gdy K = ℝ i f jest iloczynem skalarnym, ta macierz nazywa się macierzą Grama .
Macierz maty B f jest symetryczna (odpowiednio antysymetryczna ) wtedy i tylko wtedy, gdy forma dwuliniowa jest symetryczna (odpowiednio antysymetryczna ).
Niech x i y będą dwoma wektorami E . Oznacz przez X i Y ich współrzędne w bazie B i A = mat B f . Mamy wtedy formułę .
Dwie formy dwuliniowe są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają tę samą macierz w danej bazie.
Gdy K jest ciałem o charakterystyce różnej od 2, macierz postaci kwadratowej nazywamy macierzą symetrycznej postaci dwuliniowej, z której wynika postać kwadratowa.
Niech E a K -moduł jest wolny, a B, C dwie bazy E . Rozważ formę dwuliniową.
Uwaga: M = mat B f macierz f w bazie B i M' = mat C f macierz f w bazie C . Oznaczmy przez P = mat B C macierz przejścia. Następnie mamy wzór na zmianę bazy dla formy dwuliniowej (nie mylić z tą dla aplikacji liniowej ):
Mówi się, że dwie macierze kwadratowe A i B są przystające, jeśli istnieje macierz odwracalna P taka, że
Dwie przystające macierze to dwie macierze, które reprezentują tę samą formę dwuliniową w dwóch różnych bazach.
Gdy K jest polem o charakterystyce innej niż 2, dowolna macierz symetryczna jest przystająca do macierzy diagonalnej. Zastosowany algorytm nazywa się redukcją Gaussa, której nie należy mylić z osią Gaussa .
Mówi się, że macierz jest symetryczna, jeśli jest równa jej transpozycji, a antysymetryczna, jeśli jest przeciwna do swojej transpozycji.
Macierz A ze złożonymi współczynnikami nazywana jest hermitowską, jeśli jest równa transpozycji sprzężenia macierzy A .
Mówi się macierz A
(Więcej przykładów znajduje się na dole strony: Paleta „Artykuły pokrewne” i „Macierze”)
Niewłaściwie używamy terminu dekompozycja macierzy, niezależnie od tego, czy jest to prawdziwy rozkład (w sumie), jak w przypadku rozkładu Dunforda, czy też faktoryzacja, jak w większości innych rozkładów.
W całym tym akapicie K = ℝ lub ℂ .
Normą matryca jest norma Algebra na Algebra M n ( K ) , to znaczy, wektor przestrzeni normą , która jest ponadto pod-mnożnikowy.
Promień spektralny macierzy kwadratowej A o złożonych współczynników jest największy moduł jego wartości własnych . Jest równa dolnej granicy norm macierzy A .
Na M n ( K ) każda norma N podporządkowana normie na K n jest normą algebry spełniającą ponadto N ( I n ) = 1 (odwrotność jest fałszem).
Przestrzeń wektorowa M m , n (ℝ) , kanonicznie izomorficzna z ℝ mn , dziedziczy swoją strukturę euklidesową . Iloczyn skalarny jest zapisany jako
gdzie oznacza ślad (tj. ), a a i , j (odp. b i , j ) oznaczają elementy A (odp. B ). Standard związany z tym iloczynem skalarnym to standard Frobeniusa lub standard Hilberta-Schmidta :
gdzie σ ( ) jest wektorem o wartościach osobliwych z A i jest euklidesowa normą .
Jeśli m = n > 1 , nie jest to norma podrzędna, ponieważ
Nierówność Cauchy'ego-Schwarz jest napisane (jak w przypadku każdego produktu skalarnego):
Ta nierówność może być wzmocniona przez nierówność śladu von Neumanna :
gdzie σ ( ) jest wektorem o wartościach osobliwych z A , ułożone w kolejności malejącej . Ma taką samą strukturę jak nierówność Ky Fan , która zakłada, że macierze są kwadratowe i symetryczne (możemy wtedy zastąpić σ (•) wektorem wartości własnych).
Przestrzeń wektorowa M m, n (ℂ) jest obdarzona podobną strukturą przestrzeni hermitowskiej .
Niech ∈ M n (ℂ) lub N średnia Algebra cały cykl od promienia zbieżności R .
Wtedy, jeśli N ( A )< R , szereg jest całkowicie zbieżny . (Pokazujemy to za pomocą tego, że N ( A n ) ≤ N ( A ) n .)
W szczególności można określić, dla dowolnej złożonej macierzy kwadratowej, ilość
Efektywne obliczenie tego wykładnika odbywa się poprzez redukcję macierzy .
Wykładniczy odgrywa kluczową rolę w badaniu liniowych układów równań różniczkowych .