Promień widmowy
Pozwolić się endomorfizm na kompleksowej Banacha przestrzeni , nazywamy promień spektralny z i oznaczamy , promień najmniejszego zamkniętej kuli o środku 0 zawierającego wszystkie spektralne wartości z . To jest zawsze mniejsza lub równa standardu operatora o .
W{\ displaystyle A} mi{\ displaystyle E}W{\ displaystyle A}ρ(W){\ displaystyle \ rho (A)}W{\ displaystyle A}W{\ displaystyle A}
W wymiarze skończonym, dla endomorfizmu złożonych wartości własnych , promień widmowy jest równy .
λ1,λ2,...,λnie{\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, ..., \ lambda _ {n}}maxja|λja|{\ Displaystyle \ max _ {i} {\ lewo | \ lambda _ {i} \ prawo |}}
Dlatego dla dowolnej normy macierzowej N , to znaczy dowolnej standardowej algebry na (odpowiednio ) i dla dowolnej macierzy A w (odpowiednio ) .
Mnie(R){\ Displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})}Mnie(VS){\ Displaystyle M_ {n} (\ mathbb {C})}Mnie(R){\ Displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})}Mnie(VS){\ Displaystyle M_ {n} (\ mathbb {C})}ρ(W)≤NIE(W){\ Displaystyle \ rho (A) \ równoważnik N (A)}
Demonstracja
Niech będzie wartością własną i związanym z nią wektorem własnym. Zwróć uwagę na macierz kwadratową, której pierwsza kolumna to, a pozostałe mają wartość zero. Mamy zatem
i możemy uprościć, ponieważ wektor jest różny od zera, jest taki sam dla macierzy .
λ{\ displaystyle \ lambda}W{\ displaystyle A}X{\ displaystyle X}b{\ displaystyle B}X{\ displaystyle X}Wb=λb{\ displaystyle AB = \ lambda B}|λ|NIE(b)=NIE(Wb)≤NIE(W)NIE(b){\ Displaystyle | \ lambda | N (B) = N (AB) \ równoważnik N (A) N (B)}NIE(b){\ Displaystyle N (B)}X{\ displaystyle X}b{\ displaystyle B}
Ponadto pokazujemy , że dolną granicę przyjmuje się na zbiorze norm podrzędnych, a tym samym a fortiori na zbiorze norm algebry.
ρ(W)=infNIE(W){\ Displaystyle \ rho (A) = \ inf N (A)}
Twierdzenie Gelfanda mówi nam, że promień widmowy endomorfizmu jest określony wzorem
.
ρ(W){\ displaystyle \ rho (A)}W{\ displaystyle A}ρ(W)=lim+∞‖Wnie‖1/nie{\ Displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {+ \ infty} \ | A ^ {n} \ | ^ {1 / n}}
Dla operatora normalnego (w szczególności dla operatora autozłącza ) w przestrzeni Hilberta H , promień widmowy jest równy normie operatora. Wynika z tego, że dla każdego operatora A o H , .
‖W‖2=ρ(W∗W){\ Displaystyle \ | A \ | ^ {2} = \ rho (A ^ {*} A)}
W związku z tym promień widmowy może być znacznie mniejszy niż standard operatora. Na przykład macierz ma promień widmowy 0, ale tak (dokładniej, ponieważ mamy ).
M=(0100){\ displaystyle M = {\ początek {pmatrix} 0 i 1 \\ 0 i 0 \ koniec {pmatrix}}}M≠0{\ Displaystyle M \ neq 0}‖M‖>0=ρ(M){\ Displaystyle \ | M \ |> 0 = \ rho (M)}‖M‖=1{\ Displaystyle \ | M \ | = 1}‖M‖2=‖tM M‖=ρ(tM M)=1{\ Displaystyle \ | M \ | ^ {2} = \ | ^ {\ operatorname {t}} M \ M \ | = \ rho (^ {\ operatorname {t}} M \ M) = 1}
Powiązany artykuł
Widmo operatora liniowego
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">