Promień widmowy

Pozwolić się endomorfizm na kompleksowej Banacha przestrzeni , nazywamy promień spektralny z i oznaczamy , promień najmniejszego zamkniętej kuli o środku 0 zawierającego wszystkie spektralne wartości z . To jest zawsze mniejsza lub równa standardu operatora o .

W wymiarze skończonym, dla endomorfizmu złożonych wartości własnych , promień widmowy jest równy .

Dlatego dla dowolnej normy macierzowej N , to znaczy dowolnej standardowej algebry na (odpowiednio ) i dla dowolnej macierzy A w (odpowiednio ) .

Demonstracja

Niech będzie wartością własną i związanym z nią wektorem własnym. Zwróć uwagę na macierz kwadratową, której pierwsza kolumna to, a pozostałe mają wartość zero. Mamy zatem i możemy uprościć, ponieważ wektor jest różny od zera, jest taki sam dla macierzy .

Ponadto pokazujemy , że dolną granicę przyjmuje się na zbiorze norm podrzędnych, a tym samym a fortiori na zbiorze norm algebry.

Twierdzenie Gelfanda mówi nam, że promień widmowy endomorfizmu jest określony wzorem .

Dla operatora normalnego (w szczególności dla operatora autozłącza ) w przestrzeni Hilberta H , promień widmowy jest równy normie operatora. Wynika z tego, że dla każdego operatora A o H , .

W związku z tym promień widmowy może być znacznie mniejszy niż standard operatora. Na przykład macierz ma promień widmowy 0, ale tak (dokładniej, ponieważ mamy ).

Powiązany artykuł

Widmo operatora liniowego

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">