Układ równań liniowych
W matematyce, a zwłaszcza w algebrze liniowej , układ równań liniowych jest układem równań składającym się z równań liniowych, które odnoszą się do tych samych niewiadomych. Na przykład :
{2x1+3x22+x3=-1x12+x2+3x3=42x1+3x2+x34=3{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} 2x_ {1} + {\ Frac {3x_ {2}} {2}} + X_ {3} = - 1 \\ {\ Frac {x_ {1}} {2}} + x_ {2} + 3x_ {3} = 4 \\ 2x_ {1} + 3x_ {2} + {\ frac {x_ {3}} {4}} = 3 \ end {cases}}}Problemem jest znalezienie wartości niewiadomych , i które spełniają jednocześnie trzy równania.
x1{\ displaystyle x_ {1}}x2{\ displaystyle x_ {2}}x3{\ displaystyle x_ {3}}
Rozwiązywanie układów równań liniowych należy do najstarszych problemów matematycznych i pojawia się w wielu dziedzinach, takich jak cyfrowe przetwarzanie sygnałów , optymalizacja liniowa czy przybliżanie zagadnień nieliniowych w analizie numerycznej . Skutecznym sposobem rozwiązania układu równań liniowych jest eliminacja Gaussa-Jordana lub rozkład Choleskiego lub rozkład LU . W prostych przypadkach można również zastosować regułę Cramera .
Definicje matematyczne
Ogólnie rzecz biorąc, układ m równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w następującej postaci:
{w1,1x1+w1,2x2+⋯+w1,niexnie=b1w2,1x1+w2,2x2+⋯+w2,niexnie=b2⋮⋮wm,1x1+wm,2x2+⋯+wm,niexnie=bm{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zacząć {matrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + \ kropki + a_ {1, n} x_ {n} = b_ {1} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + \ dots + a_ {2, n} x_ {n} = b_ {2} \\\ vdots \ \\ vdots \\ a_ {m, 1} x_ {1} + a_ {m, 2} x_ {2} + \ dots + a_ {m, n} x_ {n} = b_ {m} \ end {matrix} } \ dobrze.}Gdzie są niewiadome, a liczby są współczynnikami systemu.
x1,...,xnie{\ displaystyle x_ {1}, \ kropki, x_ {n}}wja,jot{\ displaystyle a_ {i, j}}
Przykład
Układ 2 równań liniowych z 2 niewiadomymi to układ postaci
(S){wx+by=mivsx+rey=fa{\ Displaystyle (S) \ quad \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} ax + by = e \\ cx + dy = f \ koniec {macierz}} \ w prawo.}Rozwiązywanie jest znalezienie wszystkich wartości, które muszą być podane do każdego nieznanym jednocześnie na wszystkie te równości, aby mogło być prawdziwe.
(S){\ displaystyle (S)}
Układ równań liniowych można również zapisać w postaci macierzowej :
Wx=b{\ displaystyle Ax = b}z:
W=(w1,1w1,2⋯w1,niew2,1w2,2⋯w2,nie⋮⋮⋱⋮wm,1wm,2⋯wm,nie);x=(x1x2⋮xnie)ib=(b1b2⋮bm){\ Displaystyle A = {\ początek {pmatrix} a_ {1,1} i_ {1,2} i \ cdots i_ {1, n} \\ a_ {2,1} i_ {2,2} & \ cdots & a_ {2, n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m, 1} & a_ {m, 2} & \ cdots & a_ {m, n} \ end { pmatrix}}; \ qquad x = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {and}} \ quad b = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\\ vdots \\ b_ {m} \ end {pmatrix}}}
Jednorodny system
System postaci:
Wx=0{\ Displaystyle Ax = 0}nazywany jest układem jednorodnych równań liniowych. Wszystkie systemy jednorodne dopuszczają co najmniej jedno rozwiązanie:
x1=0 ; x2=0 ; ... ; xnie=0{\ Displaystyle x_ {1} = 0 \; \ x_ {2} = 0 \; \ \ kropki \; \ x_ {n} = 0}To rozwiązanie jest rozwiązaniem zerowym lub trywialnym .
Liczba rozwiązań układu równań
Jeśli pole jest nieskończone (tak jak w przypadku liczb rzeczywistych i liczb zespolonych ), to dla dowolnego układu równań liniowych z n niewiadomymi możliwe są tylko trzy następujące przypadki :
- system nie ma rozwiązania (dla systemu jednorodnego ten przypadek jest niemożliwy);
- system posiada unikalne rozwiązanie n -uplet ;
- System posiada nieskończoność n -tuples roztwory (do uzyskania jednorodnej systemie zawierającym ściśle poniżej n równań się zawsze w tym 3 -cim przypadku).
Nie ma reguły bardziej precyzyjnej niż dla układu niezależnych równań liniowych z n niewiadomymi. Są więc:
- brak rozwiązania, gdy liczba równań jest ściśle większa niż n ;
- unikalne rozwiązanie, gdy liczba równań jest równa n ;
- nieskończoność rozwiązania (na nieskończonym obszarze), gdy liczba równań jest mniejsze od n (na przykład rozwiązania układu dwóch kartezjańskich równań od siecznych płaszczyznach , w afinicznej przestrzeni o wymiarze n = 3, polega na zapewnieniu parametryczne równanie na linii przecięcia tych dwóch płaszczyznach).
Przykład równania z 2 niewiadomymi i nieskończonością rozwiązań
Równanie ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Jeśli weźmiemy za wartość , otrzymamy:
4x+2y=-1{\ Displaystyle 4x + 2y = -1}x{\ displaystyle x}1{\ displaystyle 1}
-
4×1+2y=-1{\ Displaystyle 4 \ razy 1 + 2y = -1} ;
-
4+2y=-1{\ displaystyle 4 + 2y = -1} ;
-
2y=-5{\ displaystyle 2y = -5} ;
-
y=-52{\ displaystyle y = {\ dfrac {-5} {2}}}.
Mówiąc bardziej ogólnie, to równanie określa wartość dla dowolnego wyboru wartości :
y{\ displaystyle y}x{\ displaystyle x}
4x+2y=-1⇔2y=-1-4x⇔y=-1-4x2⇔y=-0,5-2x.{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 4x + 2y = -1 & \ Leftrightarrow 2y = -1-4x \\ & \ Leftrightarrow y = {\ dfrac {-1-4x} {2}} \\ & \ Leftrightarrow y = -0 {,} 5-2x. \ End {wyrównane}}}
Układy 2 równań liniowych z 2 niewiadomymi
Najprostszy typ układu liniowego obejmuje dwa równania i dwie zmienne:
(S){wx+by=mivsx+rey=fa{\ Displaystyle (S) \ quad \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} ax + by = e \\ cx + dy = f \ koniec {macierz}} \ w prawo.}Taki system można rozwiązać przez podstawienie .
Graficzna interpretacja
Umożliwi nam to ustalenie przydatnych twierdzeń do następujących celów.
Każde równanie układu definiuje funkcję afiniczną i dlatego jest reprezentowane przez linię prostą w układzie współrzędnych. Złoto:
(S){\ displaystyle (S)}
- współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych przedstawiają rozwiązanie ;(S){\ displaystyle (S)}
- dwie linie mają:
- pojedynczy punkt przecięcia;
- brak punktu przecięcia;
- to znaczy nieskończoność punktów przecięcia.
Stąd następujące twierdzenie:
Twierdzenie 1 : System ma:
(S){\ displaystyle (S)}
- jedno rozwiązanie;
- albo brak rozwiązania;
- to znaczy nieskończoność rozwiązań.
Udowodnimy również następujące twierdzenie:
Twierdzenie 2 : System dopuszcza tylko jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jest różna od zera.
(S){\ displaystyle (S)}wre-bvs{\ displaystyle ad-bc}
Nazywamy ten wyznacznik systemu .
wre-bvs{\ displaystyle ad-bc}(S){\ displaystyle (S)}
Przykład rozdzielczości graficznej : Albo system
{4x+2y=-13x-y=2.{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} 4x + 2y = -1 \\ 3x-y = 2. \ koniec {macierz}} \ po prawej.}Pierwsze równanie jest równoważne ( patrz wyżej ).
y=-0,5-2x{\ Displaystyle y = -0 {,} 5-2x}
Drugie równanie jest równoważne:
-
3x-y=2{\ displaystyle 3x-y = 2} ;
-
-y=2-3x{\ displaystyle -y = 2-3x} ;
-
y=-(2-3x)=3x-2{\ Displaystyle y = - (2-3x) = 3x-2}.
Wykreślając linie odpowiednich równań i , widzimy, że ich punkt przecięcia to . Rozwiązaniem systemu jest i .
y=-0,5-2x{\ Displaystyle y = -0 {,} 5-2x}y=3x-2{\ Displaystyle y = 3x-2}(0,3,-1,1){\ displaystyle (0 {,} 3, -1 {,} 1)}x=0,3{\ displaystyle x = 0 {,} 3}y=-1,1{\ displaystyle y = -1 {,} 1}
Rozdzielczość algebraiczna
Gaussa-Jordana eliminacja , wspomniano powyżej, ma zastosowanie do wszystkich tych systemów, nawet jeśli współczynniki pochodzić z dowolnej dziedzinie.
Istnieją dwie różne metody a priori, ale opierają się one na tej samej podstawowej zasadzie: eliminacji nieznanego. Wyszczególnijmy je na przykładzie.
Metoda substytucji
Weźmy na przykład system:{4x+2y=-13x-y=2{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} 4x + 2y = -1 \\ 3x-y = 2 \ koniec {macierz}} \ po prawej.}
Pierwsze równanie pozwala nam wyrazić jako funkcję . Dokładniej, jest to równoważne z ( patrz wyżej ). Więc zastąpmy przez w drugim równaniu. Mamy :
y{\ displaystyle y}x{\ displaystyle x}y=-0,5-2x{\ Displaystyle y = -0 {,} 5-2x}y{\ displaystyle y}-0,5-2x{\ Displaystyle -0 {,} 5-2x}
3x-(-0,5-2x)=2⇔3x+0,5+2x=2⇔5x+0,5=2⇔5x=1,5⇔x=1,55=0,3.{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 3x - (- 0 {,} 5-2x) = 2 & \ Leftrightarrow 3x + 0 {,} 5 + 2x = 2 \\ & \ Leftrightarrow 5x + 0 {,} 5 = 2 \\ & \ Leftrightarrow 5x = 1 {,} 5 \\ & \ Leftrightarrow x = {\ dfrac {1 {,} 5} {5}} = 0 {,} 3. \ end {aligned}}}System jest zatem równoważny z:
{y=-0,5-2xx=0,3.{\ displaystyle {\ begin {przypadków} y = -0 {,} 5-2x \\ x = 0 {,} 3 \ koniec {przypadków}}.}Wymiana przez do pierwszego równania, otrzymuje się: .
x{\ displaystyle x}0,3{\ displaystyle 0 {,} 3}y=-0,5-2×0,3=-0,5-0,6=-1,1{\ Displaystyle y = -0 {,} 5-2 \ razy 0 {,} 3 = -0 {,} 5-0 {,} 6 = -1 {,} 1}
Dlatego system ma jedno rozwiązanie: parę .
(x,y)=(0,3,-1,1){\ Displaystyle (x, y) = (0 {,} 3, -1 {,} 1)}
Metoda łączenia lub eliminacji
Ta metoda jest również nazywana „metodą liniowej kombinacji”.
Przykład : weźmy system
{4x+2y=-13x-y=2{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} 4x + 2y & = - 1 \\ 3x-y & = 2 \ koniec {przypadków}}}Równoważny system uzyskuje się zachowując pierwszy wiersz i mnożąc drugi przez 2, a następnie dodając do niego pierwszy, tak aby wyeliminować . System staje się:
y{\ displaystyle y}
{4x+2y=-12×3x-2×y=2×2{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} 4x + 2y & = - 1 \\ 2 \ razy 3x-2 \ razy y & = 2 \ razy 2 \ koniec {przypadków}}}, to jest do powiedzenia
{4x+2y=-16x-2y=4{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} 4x + 2y & = - 1 \\ 6x-2y & = 4 \ koniec {przypadków}}}
następnie (przez dodanie):
{4x+2y=-110x=3{\ displaystyle {\ begin {przypadków} 4x + 2y & = - 1 \\ 10x i = 3 \ koniec {przypadków}}}, to jest do powiedzenia
{4x+2y=-1x=310.{\ displaystyle {\ begin {przypadków} 4x + 2y & = - 1 \\ x & = {\ dfrac {3} {10}}. \ koniec {przypadki}}}
Załóżmy, zamienić ze w pierwszej linii. Ona staje się :
x{\ displaystyle x}310=0,3{\ displaystyle {\ dfrac {3} {10}} = 0 {,} 3}
-
4×0,3+2y=-1{\ displaystyle 4 \ times 0 {,} 3 + 2y = -1} ;
-
1,2+2y=-1{\ displaystyle 1 {,} 2 + 2y = -1 \,} ;
-
2y=-1-1,2=-2,2{\ Displaystyle 2y = -1-1 {,} 2 = -2 {,} 2} ;
-
y=-2,22=-1,1{\ Displaystyle y = {\ dfrac {-2 {,} 2} {2}} = - 1 {,} 1}.
Dlatego początkowy system jest równoważny z
{y=-1,1x=0,3{\ displaystyle {\ begin {przypadków} y & = - 1 {,} 1 \\ x & = 0 {,} 3 \ koniec {przypadków}}}W ten sposób odkrywamy, że ma on wyjątkowe rozwiązanie: parę .
(0,3,-1,1){\ displaystyle (0 {,} 3, -1 {,} 1)}
Sprawa ogólna
Ogólnie system formularza
{wx+by=mivsx+rey=fa{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} ax + by = e \\ cx + dy = f \ koniec {macierz}} \ w prawo.}którego wyznacznik nie jest równy zero ma dla rozwiązania:
wre-bvs{\ displaystyle ad-bc}
x=|mibfare||wbvsre|=mire-bfawre-bvs,y=|wmivsfa||wbvsre|=wfa-mivswre-bvs.{\ displaystyle x = {{\ początek {vmatrix} e & b \\ f & d \ koniec {vmatrix}} \ ponad {\ początek {vmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {vmatrix}}} = {ed-bf \ over ad- bc}, \ quad y = {{\ begin {vmatrix} a & e \\ c & f \ end {vmatrix}} \ over {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}} = {af-ec \ over ad-bc}.}
Układ 3 równań z 3 niewiadomymi
Układy 3 równań z 3 niewiadomymi są również rozwiązywane w ten sposób:
Metoda substytucji
{x+10y-3z=5[1]2x-y+2z=2[2]-x+y+z=-3[3]{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {macierz} x + 10y-3z = 5 \ quad [1] \\ 2x-y + 2z = 2 \ quad [2] \\ - x + y + z = -3 \ quad [3] \ end {matrix}} \ right.}.
Aby rozwiązać ten układ 3 równań z 3 niewiadomymi, wyodrębniamy nieznaną w jednym z równań. W tym systemie wyodrębniamy nieznane x w równaniu [1]
[1] .
x=-10y+3z+5{\ displaystyle x = -10y + 3z + 5}Teraz zastępujemy nieznane w równaniach [2] i [3], co daje układ 2 równań z 2 niewiadomymi do rozwiązania.
x{\ displaystyle x}
{2(-10y+3z+5)-y+2z=2[2]-(-10y+3z+5)+y+z=-3[3]{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {macierz} 2 (-10y + 3z + 5) -y + 2z = 2 [2] \\ - (- 10y + 3z + 5) + y + z = -3 [ 3] \ end {matrix}} \ right.}.
Po znalezieniu i , zastępujemy je w równaniu [1], aby znaleźć .
y{\ displaystyle y}z{\ displaystyle z}x{\ displaystyle x}
Metoda eliminacji
{x-3y+10z=5[1]2x+2y-z=2[2]-x+y+z=-3[3]{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} x & - i 3y i + i 10z i = 5 i [1] \\ 2x i + i 2y i - i z i = 2 i [2] \\ - x i + & y & + & z & = - 3 i [3] \ end {sprawy}}}Aby rozwiązać ten układ, można wyeliminować na przykład w równaniach [2] i [3], zastępując je równaniami [2 ']: = –2 × [1] + [2] i [3']: = [1] + [3]. Ponieważ ta transformacja jest odwracalna ([2] = [2 '] + 2 × [1] i [3] = [3'] - 1), początkowy system jest równoważny nowemu systemowi
x{\ displaystyle x}
{x-3y+10z=5[1]8y-21z=-8[2′]-2y+11z=2[3′]{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} x & - & 3y i + i 10z & = 5 i [1] \\ && 8y & - i 21z & = - 8 i [2 '] \\ && - 2y i + & 11z & = 2 i [3 '] \ end {sprawy}}}Wystarczy wtedy wyeliminować inny nieznany czynnik, na przykład w równaniu [3 '], zastępując ten ostatni (ponownie odwracalnie) przez 4 × [3'] + [2 ']. System jest zatem odpowiednikiem następującego systemu, który jest naprzemiennie (a nawet trójkątny ):
y{\ displaystyle y}
{x-3y+10z=5[1]8y-21z=-8[2′]23z=0[3″]{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} x & - & 3y i + i 10z & = 5 i [1] \\ && 8y & - i 21z & = - 8 i [2 '] \\ &&&& 23z & = 0 & [3 ''] \ end {cases}}}Równanie [3 "] określa, kto, zastąpiony w równaniu [2 '], określa . Te dwie wartości, zastąpione w równaniu [1], określają .
z{\ displaystyle z}y{\ displaystyle y}x{\ displaystyle x}
Metoda ta jest uogólniona na układy zawierające więcej równań i więcej niewiadomych i nosi nazwę metody obrotu Gaussa .
Uwagi i odniesienia
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">