Rozkład Frobeniusa

Rozważamy K - przestrzeń wektorową E o skończonym wymiarze i endomorfizm u tej przestrzeni. Frobeniusa rozkładu jest rozkład E w bezpośrednim sumy tzw podprzestrzeni cykliczne, tak, że odpowiednie minimalne (lub charakterystyczne ) wielomiany tych ograniczeń u do z czynnikami są niezmienne czynniki o u . Rozkład Frobeniusa można przeprowadzić na dowolnym polu : nie zakładamy tutaj, że K jest algebraicznie zamknięte .

Wielomian przewodzący

Niech x będzie wektorem E , zbioru

jax={P.∈K.[X]∣P.(u)(x)=0}{\ Displaystyle I_ {x} = \ {P \ w K [X] \ mid P (u) (x) = 0 \}}

Mieści się on w idealnym z K [ X ], nie zmniejsza się do 0 ° C (zgodnie z twierdzeniem Cayley Hamiltona , charakterystyczny wielomian niezerowy wielomian należące do ideału); jest zatem generowany przez unikalny jednostkowej wielomianu zwanego przewodzący wielomianu o u u X , czasem lokalnym minimalnym wielomianu u w X . πu,x{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}

Cykliczna podprzestrzeń

Niech x będzie wektorem E , zbioru

Sx={P.(u)(x)∣P.∈K.[X]}{\ Displaystyle S_ {x} = \ {P (u) (x) \ środkowy P \ w K [X] \}}

jest podprzestrzeń wektor z E stabilny przez U zwane U -cykliczny podprzestrzeń generowane przez x lub u -stabilny zamknięcie od x .

Albo mamy wtedy i tylko wtedy, gdy . Zatem wielomian przewodzący jest minimalnym wielomianem endomorfizmu indukowanego przez u w podprzestrzeni S x . P.∈K.[X]{\ Displaystyle P \ w K [X]}P.∈jax{\ displaystyle P \ in I_ {x}}∀y∈Sx, P.(u)(y)=0{\ Displaystyle \ forall y \ w S_ {x}, \ P (u) (r) = 0}πu,x{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}

Wymiar S x jest równy stopniowi wielomianu . πu,x{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}

U - wektory maksymalne

Dla dowolnego wektora x z E przewodzący wielomian dzieli minimalnej wielomianu o u . Powiemy, że x jest u -maksymalne kiedy . Rozkład Frobeniusa opiera się na następujących dwóch wynikach (pokazanych na Wikiversity ): πu,x{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}πu{\ displaystyle \ pi _ {u}} πu,x=πu{\ displaystyle \ pi _ {u, x} = \ pi _ {u}}

• każdy endomorfizm u dopuszcza wektor u -maksymalny;
• dla dowolnego wektora u -maksymalnie x , S x dopuszcza dodatkową stabilną o u .

Postępując przez indukcję, dochodzimy do rozkładu Frobeniusa .

Rozkład Frobeniusa

Istnieje ciąg wektorów w E. takie, że x1,x2,...,xp{\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {p}}

• mi=Sx1⊕Sx2⊕⋯⊕Sxp{\ displaystyle E = S_ {x_ {1}} \ oplus S_ {x_ {2}} \ oplus \ dots \ oplus S_ {x_ {p}}}
• πu,xp∣⋯∣πu,x2∣πu,x1{\ displaystyle \ pi _ {u, x_ {p}} \ mid \ dots \ mid \ pi _ {u, x_ {2}} \ mid \ pi _ {u, x_ {1}}}

Wielomiany nie zależą od wyboru wektorów , są niezmienne czynniki z u . Minimalny wielomian jest i wielomian charakterystyczny jest . πu,xja{\ displaystyle \ pi _ {u, x_ {i}}}xja{\ displaystyle x_ {i}}πu=πu,x1{\ displaystyle \ pi _ {u} = \ pi _ {u, x_ {1}}}χu=πu,x1πu,x2...πu,xp{\ displaystyle \ chi _ {u} = \ pi _ {u, x_ {1}} \ pi _ {u, x_ {2}} \ dots \ pi _ {u, x_ {p}}}

Dwa endomorfizmy są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same niezmienne czynniki.

Alternatywnie, można zobaczyć Frobenius'a rozkładu twierdzenie jako bezpośrednie następstwo czynnika niezmiennego twierdzenia poprzez związek między -wektor przestrzeni i - moduł obdarzonego produktu zewnętrznej wyznaczanej przez . Jednak twierdzenie o niezmiennym czynniku jest znacznie trudniejsze do zademonstrowania w kategoriach ogólnych niż opisany tutaj dowód, który wykorzystuje techniki algebry liniowej. K.{\ displaystyle \ mathbb {K}}mi{\ displaystyle E}K.[X]{\ displaystyle \ mathbb {K} [X]} (mi,u){\ displaystyle (E, u)}P.⋅ux=P.(u)(x){\ Displaystyle P \ cdot _ {u} x = P (u) (x)}

Endomorfizmy indukowane przez u to endomorfizmy cykliczne, z których pozostaje tylko zbadanie określonych właściwości.

Cykliczny endomorfizm

Uważa się, że u jest cyklicznym endomorfizm jeśli istnieje element x z E tak, że S x = E .

Można charakteryzować endomorfizm cyklicznych na kilka sposobów: AN endomorfizm U od E, jest cykliczny, wtedy i tylko wtedy, gdy:

• stopień najmniejszego wielomianu u jest równy wymiarowi E  ;
• minimalny wielomian i charakterystyczny wielomian u są równe (z wyjątkiem znaku);
• endomorfizm dojeżdża z u (jeśli i) tylko wtedy, gdy jest wielomianem w u  ;
• istnieje podstawa E, w której macierz u jest macierzą towarzyszącą . Jest to wtedy macierz towarzysząca minimalnego wielomianu u .

Aplikacje

• Rozkład Frobeniusa pozwala nam badać komutant i bikomutant endomorfizmu.
• Zapewnia kompletny system niezmienników podobieństwa macierzy kwadratowej, który elegancko pokazuje, że:
  • każda macierz kwadratowa jest podobna do jej transpozycji (udowadniamy to ręcznie dla macierzy towarzyszącej i to wystarczy);
  • Jeśli dwie macierze kwadratowe z wpisami w ciele K są podobne przez odwracania sygnału matrycy z współczynników a rozszerzenie w K , a następnie są również poprzez odwracalna matrycy z współczynników K .

Odniesienie

J. Fresnel, Algebra of matrices , Hermann, 1997, § A 4.1, s. 139-141

Zobacz też