Dodatkowa podprzestrzeń

W matematyce , a dokładniej w algebrze liniowej , dwie podprzestrzenie wektorowe tej samej przestrzeni wektorowej są dodatkowe w tej przestrzeni, jeśli którykolwiek wektor przestrzeni rozkłada się w unikalny sposób na sumę wektorów każdej z dwóch podprzestrzeni.

Istnienie takiego rozkładu dla dowolnego wektora sprowadza się do stwierdzenia, że suma dwóch podprzestrzeni jest równa całej przestrzeni, a niepowtarzalność jest równoważna z tym, że suma ta jest bezpośrednia (która charakteryzuje się przyczynami przecięcia dwóch podprzestrzeni do zredukować do wektora zerowego).

Częste zamieszanie

Pojęcie dopełnienia jest często mylone z bardzo odmienną koncepcją zbioru dopełnienia . Różnice między tymi dwoma pojęciami są liczne. Przede wszystkim jest to niepowtarzalność komplementarności, podczas gdy dla danej podprzestrzeni istnieje generalnie nieskończoność różnych dodatkowych. Wówczas przecięcie podprzestrzeni z dodatkową nie jest puste, ale zawiera wektor zerowy (i tylko ten). Co więcej, dopełnienie podprzestrzeni wektorowej nigdy nie jest podprzestrzenią wektorową. Wreszcie połączenie podprzestrzeni i dodatkowej nie jest równe całej przestrzeni, subtelniej generuje tę przestrzeń. Intuicyjnie, dwie dodatkowe podprzestrzenie zawierają dokładnie te informacje, które są potrzebne do zrekonstruowania całej przestrzeni.

Definicja

W dalszej części, F i G są dwa podprzestrzeni tej samej przestrzeni E .

Definicja - F i G są dodatkowymi (w E ), które oznaczamy przez F ⊕ G = E , jeśli którykolwiek wektor E jest zapisany jednoznacznie jako suma wektora F i wektora G :

\ forall x \ in E, \ quad \ exist! (u, v) \ in F \ times G, \ quad x = u + v.

Kryteria

Twierdzenie - Następujące właściwości są równoważne:

F i G są dodatkowymi;
Suma mapy F × G → E , ( u , v ) ↦ u + v jest bijektywna , innymi słowy (ponieważ jest zawsze liniowa na przestrzeni wektorowej utworzonej F × G ) jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych ;
E = F + G i F ∩ G = {0};
Istnieje projektora q o E (tj endomorfizm z E spełniającego q ∘ Q = Q ) z jądra F i obrazu G ;
Istnieją dwa projektory p i q z E, których suma jest równa tożsamości i których odpowiednie obrazy to F i G ;
Istnieje podstawa z F i podstawy G których zestawienie tworzy podstawę E ;
Ograniczenie do G z kanonicznych liniowy surjection z E na iloraz wektora przestrzeni E / F jest bijective.

Demonstracja

Równoważność między 1, 4 i 5 jest szczegółowo opisana w artykule „ Projektor (matematyka) ”. Pozostaje pokazać, że 1, 2, 3, 6 i 7 są równoważne.

1⇔2: Definicja „ F i G są dodatkowe” dokładnie wyraża bijektywność mapy sumy: suriektywność odpowiada istnieniu dla wszystkich x pary ( u , v ), a iniekcyjność - niepowtarzalności z ( u , v ).
2⇔3: warunek E = F + G wyraża ponownie suriektywność mapy sumarycznej. Z drugiej strony, ponieważ ta mapa jest liniowa, jest iniekcyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jej jądro jest zredukowane do zerowego wektora przestrzeni iloczynu F × G , czyli do pary (0,0). Otóż to jądro, a priori , jest zbiorem ( u , v ) takim, że u należy do F , v do G , a u + v = 0. Jest to zatem zbiór par ( u , - u ) taki, że u należy do F ∩ G , więc jest redukowany do (0, 0) wtedy i tylko wtedy, gdy F ∩ G = {0}.
2⇔6 niech A podstawową F , B podstawy G , C, ich "zestawienie" i D podstawa ( x {0}) ⋃ ({0} x B ) o F x G . Ich ilość jest liniowy i wysyła D do C , a więc jest Izomorfizm wtedy i tylko wtedy C jest podstawa E .
3⇔7: Niech u mapa kanoniczna z E na E / F i przeciwko jego ograniczenie do G . W związku z tym sprawdza się, czy wstrzykiwanie v jest równoważne z faktem, że F i G są w sumie bezpośrednie ; Ponadto, tak surjectivity z v wynosi E = F + G . $\ ker (v) = \ ker (u) \ cap G = F \ cap G.$
${\ mathrm {Im}} (u) \ subset {\ mathrm {Im}} (v) \ Leftrightarrow \ forall x \ in E, \ exist g \ in G, u (x) = u (g) \ Leftrightarrow \ forall x \ w E, \ istnieje g \ in G, xg \ in F \ Leftrightarrow \ forall x \ in E, \ istnieje g \ w G, \ istnieje f \ w F, x = f + g$

W wymiarze skończonym wyprowadza się z niego inne kryteria, z których najbardziej przydatne jest następujące:

Jeśli E ma skończony wymiar, to F i G są dodatkowe wtedy i tylko wtedy, gdy F ∩ G = {0} i wym ( F ) + wym ( G ) = wym ( E ).

Nieruchomości

Kryterium 2 dowodzi następującego szczególnego przypadku formuły Grassmanna (w wymiarze skończonym lub nieskończonym):

jeśli F i G są dodatkowe w E , to dim ( F ) + dim ( G ) = dim ( E ).

Kryterium 6 zapewnia prosty proces konstruowania dwóch dodatkowych podprzestrzeni: pociąć podstawę E na dwie uzupełniające się części i wziąć podprzestrzenie wygenerowane przez te dwie części. Jeśli chodzi o podstawę, pojęcie uzupełnienia sprowadza się zatem do pojęcia uzupełnienia. Jeżeli rozpoczyna się od podstawowego F , i za pomocą twierdzenia o niepełnej podstawy zbudować bazę E , wektory, że w ten sposób dodane do bazy F wygenerować dodatkową F . Więc,

każda podprzestrzeń F w E ma dodatkowe.

Kryterium 7 pokazuje, że każdy dodatkowy C w E jest izomorficzny E / F . Więc,

wszystkie dodatkowe z F w E są izomorficzne.

Dlatego mają ten sam wymiar, skończony lub nieskończony. Ten wspólny wymiar nazywa się codimension z F do E .

W znormalizowanej przestrzeni wektorowej lub bardziej ogólnie w topologicznej przestrzeni wektorowej E , mówi się , że dwa dodatkowe algebraiczne F i G są topologiczne, jeśli spełniony jest jeden z następujących równoważnych warunków:

ciągły liniowy bijekcja +: F × G → E jest homeomorfizmem ;
F i G są zamknięte, a ograniczenie do F rzutu E na E / G jest homeomorfizmem;
F i G są zamknięte, a projektor obrazu F i rdzeń G są ciągłe.

Jeśli E jest przestrzenią Banacha , wystarczy, że dodatkowe algebraiczne F i G są zamknięte.

W znormalizowanej przestrzeni wektorowej każda podprzestrzeń o skończonych wymiarach i jakakolwiek zamknięta podprzestrzeń współwymiarowa o skończonej długości dopuszcza uzupełnienie topologiczne.

Demonstracja

Niech E będzie znormalizowaną przestrzenią wektorową.

Niech F będzie podprzestrzenią bazowy ( e 1 , ..., e n ) i ( e 1 *, ..., e n *) stanowi podwójnej podstawy z F * = F ' . Zgodnie z twierdzeniem Hahna-Banacha istnieją ciągłe formy liniowe na E , f 1 ,…, f n , rozciągające e i *. Ustawiając p ( x ) = ∑n
i = 1 F I ( x ) e I , otrzymujemy ciągłą projektora obrazów F .
Niech G będzie zamkniętą podprzestrzenią o skończonej kwymiarowości, a F dodatkowym algebraicznym. Wtedy F jest również zamknięty, a naturalny izomorfizm między F i E / G jest homeomorfizmem.

Zagadnienie określenia, wśród zamkniętych podprzestrzeni takiej lub takiej przestrzeni Banacha E , które mają uzupełnienie topologiczne, zostało szeroko zbadane. Wszystkie mają je wtedy i tylko wtedy, gdy E jest topologicznie izomorficzne z przestrzenią Hilberta . To jest izometrycznie izomorficzna do Hilberta jeśli (i tylko wtedy ), każdy zamknięty podprzestrzeń jest obraz z projektora z normą 1.

Uwagi i odniesienia

W przypadku, gdy wymiar nie jest skończony, konstrukcja ta wykorzystuje lemat Zorna (niezbędny do udowodnienia istnienia podstawy, a a fortiori dla twierdzenia o niepełnej podstawie), a więc aksjomat wyboru, który jest mu równoważny.
(w) Eric W. Weisstein , „ Uzupełniona podprzestrzeń ” na MathWorld .
N. Bourbaki , Elementy matematyki : Topologiczne przestrzenie wektorowe , Masson,Dziewiętnaście osiemdziesiąt jeden, s. I.4
(w) Bernard Beauzamy, Wprowadzenie do przestrzeni Banacha i ich geometrii , Holandia Północna,1982( czytaj online ) , s. 104-105.
(w) Eric W. Weisstein , „ Komplementarny problem podprzestrzenny ” na MathWorld .
(w) MS Moslehian , „ Ankieta dotycząca problemu uzupełnionej podprzestrzeni ” , Trends in Math. , vol. 9 N O 1,2006, s. 91-98 ( czytaj online ), arXiv : matematyka / 0501048 .
(w) J. Lindenstrauss i L. Tzafriri , „ O problemie uzupełnionym podprzestrzeniami ” , Israel J. Math. , vol. 9,1971, s. 263–269, Link Recenzje matematyczne .
(w :) S. Kakutani , „ Niektóre charakteryzacje przestrzeni euklidesowej ” , jap. J. Math , vol. 16,1939, s. 93–97.

Powiązany artykuł

Uzupełniający ortogonalny