Wzór Grassmanna

W matematyce , a dokładniej w algebry liniowej , Grassmann jest formuła wyraża wymiar z sumy dwóch podprzestrzeni wektorowych z tej samej przestrzeni wektorowej . Dokładniej :

Wzór Grassmann  -  Pozwolić F and G dwa podprzestrzeni tego samego miejsca wektora E . Więc

Słońce⁡(fa)+Słońce⁡(sol)=Słońce⁡(fa+sol)+Słońce⁡(fa∩sol).{\ Displaystyle \ dim (F) + \ dim (G) = \ dim (F + G) + \ dim (F \ cap G).}

Jeśli F i G mają skończone odpowiednie wymiary, wynika z tego, że F + G również i to

Słońce⁡(fa+sol)=Słońce⁡(fa)+Słońce⁡(sol)-Słońce⁡(fa∩sol).{\ Displaystyle \ dim (F + G) = \ dim (F) + \ dim (G) - \ dim (F \ cap G).}

• Na następujące aplikacje liniowe :0→fa∩sol→fa×sol→fa+sol→0,{\ Displaystyle 0 \ do F \ nasadka G \ do F \ razy G \ do F + G \ do 0,}gdzie jest druga mapa, a trzecia , utwórz krótką dokładną sekwencję . Dlatego zgodnie z twierdzeniem rangowym (nawet w wymiarze nieskończonym)  :x↦(x,x){\ Displaystyle x \ mapsto (x, x)}(x,y)↦x-y{\ displaystyle (x, y) \ mapsto xy}Słońce⁡(fa∩sol)+Słońce⁡(fa+sol)=Słońce⁡(fa×sol).{\ Displaystyle \ dim (F \ cap G) + \ dim (F + G) = \ dim (F \ razy G).}Formuła Grassmanna wynika z tego, że wym ( F × G ) = wym ( F ) + wym ( G ) .
• Innym pomysłem jest dostrzeżenie analogii tego wzoru z następującym (obowiązującym nawet dla zbiorów nieskończonych) i wyciągnięcie z niego wniosków:karta(W)+karta(b)=karta(W∪b)+karta(W∩b).{\ Displaystyle {\ tekst {karta}} (A) + {\ tekst {karta}} (B) = {\ tekst {karta}} (A \ filiżanka B) + {\ tekst {karta}} (A \ czapka B).}Aby zidentyfikować termin po terminie, to równanie zSłońce⁡(fa)+Słońce⁡(sol)=Słońce⁡(fa+sol)+Słońce⁡(fa∩sol),{\ Displaystyle \ dim (F) + \ dim (G) = \ dim (F + G) + \ dim (F \ cap G),}wybrać bazę z i do ukończenia go w bazie z jednej strony oraz w bazie od drugiej strony: będzie wówczas podstawa i będzie równa podstawy zVS{\ displaystyle C}fa∩sol{\ displaystyle F \ cap G}W{\ displaystyle A}fa{\ displaystyle F}b{\ displaystyle B}sol{\ displaystyle G}W∪b{\ Displaystyle A \ filiżanka B}fa+sol{\ displaystyle F + G}W∩b{\ Displaystyle A \ czapka B}VS{\ displaystyle C}fa∩sol.{\ displaystyle F \ cap G.}

Bibliografia

• (en) Michael Artin , Algebra [ szczegóły wydania ], propozycja 6.9, s.  103 .
• (en) Serge Lang , Algebra , 1965 [ szczegóły wydań ] , s.  92 , ćwiczenie 6.

Powiązany artykuł

Drugie twierdzenie o izomorfizmie