Twierdzenia o izomorfizmie

W matematyce , trzy twierdzenia Izomorfizm zapewnić istnienie isomorphisms w związku z tym teoretycznie grupy .

Te trzy twierdzenia o izomorfizmie można uogólnić na struktury inne niż grupy . Zobacz w szczególności „  Algebra uniwersalna  ” i „  Grupa z operatorami  ”.

Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie

Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie stwierdza, że ​​biorąc pod uwagę morfizm grup , możemy uczynić iniekcyjnymi , ilorazując ich jądro . fa:sol→sol′{\ displaystyle f: G \ do G '}fa{\ displaystyle f} sol{\ displaystyle G}

Intuicyjnie, zilustrowanie grupy przez podgrupę jest równoznaczne z „anulowaniem” elementów . Przez iloraz przez jądro programu , upewniamy się zatem, że jest to prawdą tylko dla , co jest równoważne iniekcyjności . sol{\ displaystyle G}H.{\ displaystyle H}H.{\ displaystyle H}fa{\ displaystyle f}fa(x)=0{\ Displaystyle f (x) = 0}x=0{\ displaystyle x = 0}fa{\ displaystyle f}

Zanim zaczniemy mówić o morfizmie grupy , aby móc mówić o grupie ilorazowej, należy się upewnić, że jest to normalna podgrupa. sol/Ker⁡fa→sol′{\ displaystyle G / \ operatorname {Ker} f \ do G '}sol/Ker⁡fa{\ displaystyle G / \ operatorname {Ker} f}Ker⁡fa{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}

Twierdzenie  -  niech będą dwiema grupami i niech będzie morfizmem grupowym. Następnie jest normalnie podgrupa o . sol{\ displaystyle G}sol′{\ displaystyle G '}fa:sol→sol′{\ displaystyle f: G \ rightarrow G '}Ker⁡fa{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}sol{\ displaystyle G}

Demonstracja

Zwróć uwagę na prawa i i oraz ich neutralne elementy i sprawdź, czy jest stabilne przez koniugację, to znaczy dla wszystkich . ⋅{\ displaystyle \ cdot}sol{\ displaystyle G}sol′{\ displaystyle G '}mi{\ displaystyle e}mi′{\ displaystyle e '}Ker⁡fa{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}x⋅godz⋅x-1∈Ker⁡fa{\ Displaystyle x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1} \ in \ nazwa operatora {Ker} f}x∈sol{\ Displaystyle x \ w G}godz∈Ker⁡fa{\ displaystyle h \ in \ nazwa operatora {Ker} f}

Mamy . To znaczy , że tak jest , to wnioskujemy . Tak więc jest w i dlatego jest normalną podgrupą . fa(x⋅godz⋅x-1)=fa(x)⋅fa(godz)⋅fa(x-1){\ Displaystyle f (x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1}) = f (x) \ cdot f (h) \ cdot f (x ^ {- 1})}godz{\ displaystyle h}Ker⁡fa{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}fa(godz)=mi′{\ Displaystyle f (h) = e '}fa(x⋅godz⋅x-1)=fa(x)⋅fa(x-1)=fa(x⋅x-1)=fa(mi)=mi′{\ Displaystyle f (x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1}) = f (x) \ cdot f (x ^ {- 1}) = f (x \ cdot x ^ {- 1}) = f ( e) = e '}x⋅godz⋅x-1{\ Displaystyle x \ cdot h \ cdot x ^ {- 1}}Ker⁡fa{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}Ker⁡fa{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}sol{\ displaystyle G}

Fakt, że jest to normalna podgrupa, pozwala na zdefiniowanie na grupie ilorazów prawa grupowego zgodnego z prawem . Dzięki tej zgodności morfizm grup wywołuje izomorfizm . Ker⁡fa{\ displaystyle \ operatorname {Ker} f}sol{\ displaystyle G}sol/Ker⁡fa{\ displaystyle G / \ operatorname {Ker} f}sol{\ displaystyle G}fa:sol→sol′{\ displaystyle f: G \ rightarrow G '}fa^:sol/Ker⁡fa→Im⁡fa{\ displaystyle {\ widehat {f}}: G / \ operatorname {Ker} f \ rightarrow \ operatorname {Im} f}

Możemy teraz stwierdzić twierdzenie.

Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie  -  Niech będą dwiema grupami i morfizmem grupowym. Następnie wywołaj izomorfizm robaka . sol{\ displaystyle G}sol′{\ displaystyle G '}fa:sol→sol′{\ displaystyle f: G \ rightarrow G '}fa{\ displaystyle f}sol/Ker⁡fa{\ displaystyle G / \ operatorname {Ker} f}fa(sol){\ displaystyle f (G)}

Demonstracja

Oznaczmy jądro . Definiujemy pozując H.{\ displaystyle H}fa{\ displaystyle f}fa^{\ displaystyle {\ hat {f}}}

fa^(xH.)=fa(x){\ Displaystyle {\ widehat {f}} (xH) = f (x)}.

• Funkcja jest dobrze zdefiniowana , to znaczy zależy tylko od klasy, a nie od konkretnego przedstawiciela . Rzeczywiście, jeśli jest innym przedstawicielem , to znaczy jeśli , to zatem skąd .fa^{\ displaystyle {\ widehat {f}}}fa^(xH.){\ displaystyle {\ widehat {f}} (xH)}xH.{\ displaystyle xH}x{\ displaystyle x}y∈sol{\ displaystyle y \ in G}xH.{\ displaystyle xH}xH.=yH.{\ displaystyle xH = yH}xy-1∈H.=Ker⁡fa{\ displaystyle xy ^ {- 1} \ in H = \ operatorname {Ker} f}fa(x)=fa(y){\ Displaystyle f (x) = f (y)}fa^(xH.)=fa^(yH.){\ displaystyle {\ widehat {f}} (xH) = {\ widehat {f}} (yH)}
• Z definicji ilorazu prawa grup jest morfizmem grup.fa^{\ displaystyle {\ widehat {f}}}
• Morfizm jest subiektywny: dla wszystkiego istnieje taki, że  ; ale wtedy .fa^{\ displaystyle {\ widehat {f}}}y∈fa(sol){\ Displaystyle y \ w f (G)}x∈sol{\ Displaystyle x \ w G}fa(x)=y{\ Displaystyle f (x) = y}fa^(xH.)=fa(x)=y{\ Displaystyle {\ widehat {f}} (xH) = f (x) = y}
• Morfizm jest iniekcyjny. Rzeczywiście, albo element jego rdzenia. Tak , to znaczy jest w jądrze z . Ale kto jest neutralnym elementem .fa^{\ displaystyle {\ widehat {f}}}xH.{\ displaystyle xH}mi′=fa^(xH.)=fa(x){\ displaystyle e '= {\ widehat {f}} (xH) = f (x)}x{\ displaystyle x}H.{\ displaystyle H}fa{\ displaystyle f}xH.=H.{\ displaystyle xH = H}sol/H.{\ displaystyle G / H}

Innym możliwym sformułowaniem poprzedniego twierdzenia jest to, że morfizm jest rozkładany na czynniki przez kanoniczne nadpisanie i wstrzyknięcie, to znaczy, że poniższy diagram jest przemienny . fa{\ displaystyle f}

Drugie twierdzenie o izomorfizmie

Drugie twierdzenie o izomorfizmie  -  Niech będzie grupą, podgrupą normalną i podgrupą . Następnie jest normalna podgrupa i mamy następujący izomorfizm: sol{\ displaystyle G}NIE{\ displaystyle N}sol{\ displaystyle G}H.{\ displaystyle H}sol{\ displaystyle G}H.∩NIE{\ displaystyle H \ cap N}H.{\ displaystyle H}

H./(H.∩NIE)≃H.NIE/NIE.{\ Displaystyle H / (H \ nasadka N) \ simeq HN / N.} Demonstracja

• Aby móc mówić o grupie , musimy najpierw pokazać, że jest to grupa i to jest normalna podgrupa.H.NIE/NIE{\ displaystyle HN / N}H.NIE{\ displaystyle HN}NIE{\ displaystyle N}

Niech i dwa elementy . Mamy z , (ponieważ jest to normalne w ) i dlatego jest w , co pokazuje, że jest stabilne przez mnożenie. jest stabilna inwersja, ponieważ zawiera . Zauważamy, że ponieważ i . godznie{\ displaystyle hn}godz′nie′{\ displaystyle h'n '}H.NIE{\ displaystyle HN}godzniegodz′nie′=godzgodz′(godz′-1niegodz′)nie′{\ Displaystyle hnh'n '= hh' (h '^ {- 1} nh') n '}godzgodz′∈H.{\ displaystyle hh '\ in H}godz′-1niegodz′∈NIE{\ displaystyle h '^ {- 1} nh' \ in N}NIE{\ displaystyle N}sol{\ displaystyle G}nie′∈NIE{\ displaystyle n '\ in N}godzniegodz′nie′{\ displaystyle hnh'n '}H.NIE{\ displaystyle HN}H.NIE{\ displaystyle HN}H.NIE{\ displaystyle HN}(godznie)-1=godz-1(godznie-1godz-1)∈H.NIE{\ Displaystyle (hn) ^ {- 1} = h ^ {- 1} (hn ^ {- 1} h ^ {- 1}) \ w HN}mi{\ displaystyle e}H.NIE=NIEH.{\ displaystyle HN = NH}niegodz=godz(godz-1niegodz)∈H.NIE{\ Displaystyle nh = h (h ^ {- 1} nh) \ w HN}godznie=(godzniegodz-1)godz∈NIEH.{\ displaystyle hn = (hnh ^ {- 1}) h \ w NH}

Z drugiej strony mamy inkluzje grupowe i jest to normalne , więc jest też normalne w . NIE⊂H.NIE⊂sol{\ Displaystyle N \ podzbiór HN \ podzbiór G}NIE{\ displaystyle N}sol{\ displaystyle G}H.NIE{\ displaystyle HN}

• Aby ustalić izomorfizm, użyjemy pierwszego twierdzenia o izomorfizmie.

Mamy morfizm iniekcyjny zdefiniowany przez i kanoniczną surjekcję (zestaw po przybyciu jest grupą, ponieważ jest normalny w ). Komponując te dwa morfizmy, otrzymujemy nowy morfizm zdefiniowany przez . jot:H.↪H.NIE{\ displaystyle j: H \ hookrightarrow HN}jot(godz)=godz{\ Displaystyle j (h) = h}σ:H.NIE↠H.NIE/NIE{\ displaystyle \ sigma: HN \ twoheadrightarrow HN / N}NIE{\ displaystyle N}sol{\ displaystyle G}fa=σ∘jot:H.→H.NIE/NIE{\ Displaystyle f = \ sigma \ Circ j: H \ do HN / N}fa(godz)=godzNIE{\ displaystyle f (h) = hN}

• Morfizm jest subiektywny.fa{\ displaystyle f}

Rzeczywiście, albo z i . Ponieważ jest w , więc . (godznie)NIE∈H.NIE/NIE{\ Displaystyle (hn) N \ w HN / N}godz∈H.{\ displaystyle h \ in H}nie∈NIE{\ displaystyle n \ in N}nie{\ displaystyle n}NIE{\ displaystyle N}godznieNIE=godzNIE{\ displaystyle hnN = hN}godznieNIE=fa(godz){\ displaystyle hnN = f (h)}

• Rdzeniem jest .fa{\ displaystyle f}H.∩NIE{\ displaystyle H \ cap N}

Rzeczywiście, jest neutralnym elementem tego, czy i tylko wtedy, gdy jest w . Jak już jest w , jest to równoznaczne ze stwierdzeniem, że jest w środku . fa(godz)=godzNIE{\ displaystyle f (h) = hN}NIE{\ displaystyle N}H.NIE/NIE{\ displaystyle HN / N}godz{\ displaystyle h}NIE{\ displaystyle N}godz{\ displaystyle h}H.{\ displaystyle H}godz{\ displaystyle h}NIE∩H.{\ displaystyle N \ cap H}

• Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie zapewnia następnie, że jest to normalna podgrupa i że indukowany morfizm jest izomorfizmem.NIE∩H.{\ displaystyle N \ cap H}H.{\ displaystyle H}fa^:H./(NIE∩H.)→H.NIE/NIE{\ Displaystyle {\ widehat {f}}: H / (N \ nasadka H) \ do HN / N}

Zawarcie tego twierdzenia pozostaje prawdziwe, jeżeli tylko jedna zakłada, że średnia ustawiająca do zawierać (zamiast przyjmować równa dowolnej liczby całkowitej). NIE{\ displaystyle N}H.{\ displaystyle H}sol{\ displaystyle G}

Trzecie twierdzenie o izomorfizmie

Trzecie twierdzenie o izomorfizmie  -  Niech będzie grupą i dwiema normalnymi podgrupami takich, które są objęte . Wtedy jest normalna podgrupa i mamy następujący izomorfizm: sol{\ displaystyle G}NIE{\ displaystyle N}M{\ displaystyle M}sol{\ displaystyle G}M{\ displaystyle M}NIE{\ displaystyle N}NIE/M{\ Displaystyle N / M}sol/M{\ displaystyle G / M}

(sol/M)/(NIE/M)≃sol/NIE.{\ Displaystyle (G / M) / (N / M) \ simeq G / N.} Demonstracja

Morfizm sol/M→sol/NIE, solM↦(solM)NIE=sol(MNIE)=solNIE{\ Displaystyle G / M \ do G / N, ~ GM \ mapsto (GM) N = g (MN) = GN} jest surjektywna i rdzenna . NIE/M{\ Displaystyle N / M}

Zobacz też

• Twierdzenie o faktoryzacji
• Twierdzenie o korespondencji
• Lemat Zassenhausa

Odniesienie

Serge Lang , Algebra [ szczegóły wydania ] rozdział I § 4

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">