K- teoria algebraiczna

W matematyce , K- algebraiczna teoria jest ważną gałęzią homologicznej algebry . Jej celem jest określenie i zastosowanie sekwencji z Funktory K n z kategorii pierścieni z tym grup abelian . Ze względów historycznych K 0 i K 1 są nieco inne niż K n dla n ≥ 2. Te dwie grupy K są rzeczywiście bardziej dostępne i mają więcej zastosowań niż te z wyższymi wskaźnikami. Teoria ta ostatnia sięga znacznie głębiej i są one znacznie trudniejsze do obliczenia, jeśli tylko na ringu z liczb całkowitych .

Grupa abelowa K 0 ( A ) uogólnia konstrukcję grupy idealnych klas pierścienia A za pomocą A - modułów rzutowych . Został on opracowany w latach 1960 i 1970 - w którym „ przypuszczenie od Serre ” modułów projekcyjnych stały się twierdzenie Quillen-Suslin (w) - i zostało powiązane z wieloma innymi klasycznych problemów algebraicznych. Podobnie grupa K 1 ( A ) jest modyfikacją grupy jednostek , wykorzystującą macierze elementarne ; jest to ważne w topologii , zwłaszcza gdy jest pierścień grupy , ponieważ grupy iloraz The grupa Whitehead (i) zawiera się skręcanie Whitehead (en) , stosowany w prosty teorii homotopii i chirurgii . Grupa K 0 ( A ) zawiera również inne niezmienniki , takie jak niezmiennik skończoności . Od lat osiemdziesiątych algebraiczna teoria K ma coraz więcej zastosowań w geometrii algebraicznej . Na przykład kohomologia motywacyjna jest z nią ściśle związana.

Historia

Alexandre Grothendieck odkrył teorię K w połowie lat pięćdziesiątych XX wieku jako podstawę do ustalenia daleko idącego uogólnienia twierdzenia Riemanna-Rocha . Kilka lat później Michael Atiyah i Friedrich Hirzebruch rozważali podobną teorię topologiczną K (w) .

Od 1960 roku odkryto zastosowania grup K , szczególnie w chirurgii wielorakiej i wielu innych powiązaniach z klasycznymi problemami algebraicznymi.

Nieco później z zyskiem rozwinęła się gałąź teorii algebr operatorów , która dała początek teorii K operatorów (en) i teorii KK (of) . Stało się również jasne, że K -theory miał do odegrania ważną rolę w geometrii algebraicznej, w teorii cykli (przypuszczenie Gersten'S): the wyższe K -theory grupy były umieszczonego tam zjawisk w wyższych codimensions . Ci, trudniej zrozumieć zrozumieć.

Powstał problem różnorodności definicji teorii K , które na pierwszy rzut oka nie są równoważne. Korzystanie Steinberg pracy na uniwersalnych głównych rozszerzeń z klasycznych grup algebraicznych , John Milnor wybiera określenia grupy K 2 ( A ) pierścienia A jako środka , izomorficzne do H 2 (E ( A ), ℤ) , uniwersalnego centralnego występu z E grupy ( A ) wytworzonej przez nieskończoną elementarnymi macierzy A . Istnieje naturalna mapa dwuliniowa od K 1 ( A ) × K 1 ( A ) do K 2 ( A ). W szczególnym przypadku pola k grupa K 1 (k) jest izomorficzna z grupą multiplikatywną GL (1, k ) , a obliczenia Hideya Matsumoto wykazały, że K 2 ( k ) jest izomorficzna z grupą wygenerowaną przez K 1 ( k ) × K 1 ( k ) modulo zbiór relacji łatwych do opisania.

Trudności te fundamentalne rozwiązany ostatecznie (pozostawiając teorii głębokie i trudnych) przez Daniel Quillen , która dała kilka definicji K n ( A ) w przypadku wszystkich naturalnych N cyfr , za pośrednictwem konstrukcji powiększonej i jego Q konstrukcji .

Pierwszy K -grupy

K -grupy o indeksie 0 i 1 jako pierwsze zostały odkryte, w różnych doraźnych opisów , które pozostają użyteczne. W dalszej części A oznacza jedyny pierścień .

K 0

Wszystkie klasy izomorfizmu z A - rzutowych modułów skończonego typu , wyposażonego w bezpośrednim suma tworzy monoid . Definiujemy K 0 ( A ) jako grupę Grothendiecka .

Każdy morfizm pierścienia A → B daje mapę K 0 ( A ) → K 0 ( B ), która wysyła (klasę) dowolny moduł A M (rzutowy i skończony) na M ⊗ A B , co daje K 0 kowariantny funktor.

Jeśli pierścień A jest przemienny , możemy zdefiniować w K 0 ( A ) podgrupę

$\ widetilde K_ {0} (A) = \ bigcap \ limits _ {{P {\ text {główny ideał}} A}} {\ mathrm {Ker}} \ dim _ {P},$

lub

$\ dim _ {P}: K_ {0} (A) \ to \ mathbb {Z}$

jest aplikacją, która z (klasą) M kojarzy rangę modułu A P - wolnego M P (ten moduł jest rzeczywiście wolny, ponieważ jest to moduł projekcyjny na lokalnym pierścieniu ). Ta podgrupa jest nazywany K obniżony indeks -theory 0 z A . $\ widetilde K_ {0} (A)$

Możemy rozszerzyć definicję K 0 do niekoniecznie zunifikowanego pierścienia B , biorąc pod uwagę jego zjednoczony A = B 1 i kanoniczny morfizm zunifikowanych pierścieni A → ℤ. Następnie definiujemy K 0 ( B ) jako jądro odpowiedniego morfizmu K 0 ( A ) → K 0 (ℤ) = ℤ.

Przykłady

Te moduły nad pola k są k - przestrzenie wektorowe i K 0 ( k ) jest izomorficzna z ℤ przez mapie wymiar .
Mówiąc bardziej ogólnie, moduły rzutowe na lokalnym pierścieniu A są dowolne, a K 0 ( A ) jest izomorficzne do ℤ, na mapie rang .
Jeśli jest Dedekind pierścień K 0 ( ) = PIC ( ) ⊕ ℤ, gdzie zdjęcie ( ) to grupa Picard z A i podobnie, zmniejszona K -theory jest przez $\ widetilde K_ {0} (A) = {{\ rm {Pic}}} (A).$
Algebraicznym-geometryczny wariant tej konstrukcji odnosi się do kategorii z odmianami algebraicznych ; Łączy algebraiczny odmiany X w K -GROUP Grothendieck kategorii lokalnie darmowych belek (lub spójne belki ) na X .
Dla każdego zwartej przestrzeni topologicznej The topologiczna K -theory (w) K góry ( X ) od ( rzeczywistego ) wiązek wektora o X pokrywa się z K 0 pierścienia w funkcji ciągłych od X do ℝ.

K 0 względne

Albo ja idealny od A . Zdefiniować skojarzony „podwójny” w następujący pod-pierścień z pierścieniem produktu x A :

$D (A, I) = \ {(x, y) \ in A \ times A \ mid xy \ in I \},$

następnie względna grupa K :

$K_ {0} (A, I) = \ ker \ left (K_ {0} (D (A, I)) \ do K_ {0} (A) \ right),$

gdzie zastosowanie jest wywołane rzutem na pierwszy czynnik.

Tego Względne K -GROUP K 0 ( , I ) jest izomorficzny K 0 ( I ), gdzie I jest postrzegane jako bezwymiarowy pierścienia. Fakt, że jest niezależny od A, jest analogiem twierdzenia o wycięciu w homologii.

Pierścień K 0

Jeśli pierścień A jest przemienny, iloczyn tensorowy dwóch modułów rzutowych jest nadal rzutowy, co wywołuje mnożenie, dzięki czemu K 0 jest pierścieniem przemiennym, z klasą [ A ] jako multiplikatywną wartością neutralną. Podobnie produkt zewnętrzny wywołuje strukturę pierścienia λ (en) . Grupa Picarda zanurza się w grupie jednostek K 0 ( A ).

K 1

Hyman Bass dał następujące definicją, która jest uogólnieniem, że grupy jednostek pierścienia: K 1 ( A ) jest abelianized o ogólnym liniową grupę nieskończonej :

$K_ {1} (A) = \ operatorname {GL} (A) ^ {{{\ mbox {ab}}}} = \ operatorname {GL} (A) / [\ operatorname {GL} (A), \ operatorname {GL} (A)].$

Zgodnie z lematu Whitehead The grupę pochodzącą [gl ( ), GL ( )] pokrywa się z idealnym podgrupy E ( A ) wytworzonej przez elementarnymi macierzy. Grupa GL ( ) / E ( ), zidentyfikowany i badane Whitehead jest nazywana grupą Whitehead pierścieniowej A .

K 1 względny

W Względne K -GROUP K 1 ( , I ) jest określony w kategoriach „ podwójne ”:

$K_ {1} (A, I) = \ ker {\ Big (} K_ {1} (D (A, I)) \ do K_ {1} (A) {\ Big)}.$

Pasuje do dokładnej sekwencji :

$K_ {1} (A, I) \ do K_ {1} (A) \ do K_ {1} (A / I) \ do K_ {0} (A, I) \ do K_ {0} (A) \ do K_ {0} (A / I).$

Pierścienie przemienne

Jeśli pierścień jest przemienne, można określić morfizm określający , GL ( A ) wybrane są z grupy A × jednostek A . Ta mapa znika na E ( A ) przechodzi więc do ilorazu i definiuje morfizm det: K 1 ( A ) → A × , którego jądrem jest specjalna grupa Whitehead SK 1 ( A ): = SL ( A ) / E ( A ). Otrzymujemy nawet krótki, dokładny podział sekwencji po prawej stronie $1 \ do SK_ {1} (A) \ do K_ {1} (A) \ do A ^ {{\ times}} \ do 1,$ iloraz tego, $1 \ to \ operatorname {SL} (A) \ to \ operatorname {GL} (A) \ to A ^ {{\ times}} \ to 1,$ którego przekrój A × → GL ( A ) jest określony przez włączenie A × = GL (1, A ) do GL ( A ).

Zatem K 1 ( A ) rozkłada się na bezpośrednią sumę grupy jednostek i specjalnej grupy Whiteheada: K 1 ( A ) ≃ A × ⊕ SK 1 ( A ).

Jeśli A jest pierścieniem euklidesowym (na przykład ciałem przemiennym lub pierścieniem liczb całkowitych) lub półlokalnym , to grupa SK 1 ( A ) jest trywialna, a wyznacznikiem jest izomorfizm z K 1 ( A ) w A × . Jest to niewłaściwe w przypadku każdego pierścienia głównego , który zapewnia jedną z rzadkich właściwości pierścieni euklidesowych, które nie uogólniają się na pierścienie główne. Z przeciw-przykłady podano Bass w 1972 roku i w 1980 roku przez Ischebeck.

SK 1 ( A ) jest również trywialne, jeśli A jest podpórką Dedekind pola liczbowego .

Trywialność SK 1 można zinterpretować mówiąc, że K 1 jest generowane przez obraz GL 1 . Gdy tak nie jest, możemy dowiedzieć się, czy K 1 jest generowane przez obraz GL 2 . Dotyczy to pierścienia Dedekinda, gdzie K 1 jest następnie generowane przez obrazy GL 1 i SL 2 . Możemy zbadać podgrupę SK 1 wygenerowaną przez SL 2 za pomocą symboli Mennickego (en) . Dla DEDEKIND pierścień, w którym wszystkie ilorazy według maksymalnego idei są skończone , SK 1 jest grupa skręcanie .

W przypadku pierścienia nieprzemiennego morfizm determinujący nie jest ogólnie zdefiniowany, ale zastępuje go mapa GL ( A ) → K 1 ( A ).

Proste algebry centralne

Jeśli A jest prostą algebrą centralną nad ciałem F , zredukowana norma zapewnia uogólnienie wyznacznika, dając mapę K 1 ( A ) → F * i możemy zdefiniować SK 1 ( A ) jako jej jądro. Shianghao Wang (i) wykazano, że jeśli stopień o A jest pierwsza następnie SK 1 ( ) jest trywialne i ta rozciąga się do przypadku, w którym poziom jest squareless . Wang udowodnił również, że SK 1 jest trywialne dla każdej prostej algebry centralnej w polu liczbowym. Władimir Płatonow podał przykłady, dla dowolnej liczby pierwszej p , algebr stopnia p 2, których SK 1 nie jest trywialne.

K 2

John Milnor zdefiniowane K 2 ( A ) jako środka do grupy Steinberg St ( A ) o A . Jest także jądrem morfizmu φ: St ( A ) → GL ( A ) i mnożnika Schura grupy E ( A ) generowanej przez macierze elementarne.

K 2 (ℤ) = ℤ / 2ℤ i bardziej ogólnie, K 2 z pierścieniem liczb całkowitych o korpusie liczb jest skończona.

K 2 (ℤ / n ℤ) jest nadal ℤ / 2ℤ, jeśli n jest podzielne przez 4, ale w przeciwnym razie jest trywialne.

Twierdzenie Matsumoto

K 2 pola ustalona przez symboli Steinberg :

Twierdzenie Matsumoto - dla dowolnego pola przemiennego k ,

K_ {2} (k) = k ^ {\ times} \ otimes _ {{\ mathbb {Z}}} k ^ {\ times} / \ langle a \ otimes (1-a) \ mid a \ not = 0 , 1 \ rangle.

Możemy łatwo wywnioskować, że K 2 dowolnego pola skończonego jest trywialne.

Obliczenie K 2 ( ℚ ) jest trochę bardziej skomplikowane. John Tate to udowodnił

$K_ {2} (\ mathbb {Q}) = (\ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}) ^ {\ times} \ times \ prod _ {{p {\ text {first odd}}}} ( \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) ^ {\ times}$

zauważając, że dowód, a następnie ten sam plan jak pierwszy dowód przez Gaussa o prawie kwadratowej wzajemności .

Jeśli C jest lokalnego pola nie Archimedesa jego K 2 jest bezpośrednim suma cykliczną gotowego ℤ / m ℤ i dzieli grupy K 2 ( C ) m , w którym m oznacza liczbę korzeni jedności w F .

Długie, dokładne sekwencje

Jeśli A jest pierścieniem Dedekinda, a F jego polem ułamków , mamy długą dokładną sekwencję

$K_ {2} (F) \ do \ oplus _ {P} K_ {1} (A / P) \ do K_ {1} (A) \ do K_ {1} (F) \ do \ oplus _ {P} K_ {0} (A / P) \ do K_ {0} (A) \ do K_ {0} (F) \ do 0$

gdzie P działa ponad wszystkimi ideał pierwszy niezerowy od A .

Z drugiej strony, dla wszystkich A i I (ideał A ) dokładna sekwencja, która wprowadza do gry względne K 1 i K 0, jest wydłużana:

$K_ {2} (A) \ do K_ {2} (A / I) \ do K_ {1} (A, I) \ do K_ {1} (A) \ cdots \.$

Sprzęganie

Jest sprzęgania na K 1 wartości w K 2 : dali dojazdy macierzy X i Y w A , to x i y w tle w grupie Steinberg . Przełącznik XYX -1 r -1 jest elementem K 2 . Ta aplikacja nie zawsze jest surowa .

K - Teoria Milnora

Powyżej wyrażenie na k 2 przemiennej pola k doprowadziły MILNOR do definicji „wyżej” K -grupy jako składników w każdym stopniu , z ilorazu z Algebra napinającej z tym grupa przemienna k x L „Two - ideał jednostronny generowany przez a ⊗ (1 - a ) dla a ≠ 0, 1:

$K _ {*} ^ {M} (k): = T ^ {*} (k ^ {\ times}) / (a \ otimes (1-a)).$

Dla n = 0, 1 lub 2 te grupy K M n pokrywają się z grupami K n zdefiniowanymi poniżej , ale dla n ≥ 3 są one generalnie różne. Na przykład, dla każdej skończonego pola K , K M n ( k ) jest trywialne dla wszystkich n ≥ 2, natomiast K n ( k ) jest tylko trywialny, gdy n jest parzyste.

Obraz elementu a 1 ⊗… ⊗ a n w K M n ( k ) nazywamy symbolem i oznaczamy jako { a 1 ,…, a n }. Jeśli m jest odwracalną liczbą całkowitą w k , istnieje aplikacja

$\ częściowe: k ^ {*} \ do H ^ {1} (k, \ mu _ {m})$

gdzie μ m oznacza grupę m -tego korzeni jedności w rozłącznej rozszerzenia o k . Rozciąga się na aplikację

$\ częściowe ^ {n}: k ^ {*} \ times \ cdots \ times k ^ {*} \ to H ^ {n} \ left ({k, \ mu _ {m} ^ {{\ otimes n}} } \ dobrze),$

który sprawdza relacje definiujące grupy K Milnora. Mapa ∂ n , tak zdefiniowana na K M n ( k ), nazywana jest „symbolem Galois”.

Relacja pomiędzy Etale (lub Galois ) kohomologie z organizmu i jego K -theory z Milnora modulo 2 jest hipoteza Milnor , wykazano Władimir Wojewodski . Analogicznym stwierdzeniem dla nieparzystych liczb pierwszych jest hipoteza Blocha-Kato (en) , zademonstrowana przez Voevodsky'ego, Rosta (de) i innych.

Wyższe K- Theory Groups

Po kilku latach, w czasie których zaproponowano różne niezgodne definicje dla grup K o wyższych indeksach, przyjęto definicję podaną przez Quillena. Wyzwaniem było znalezienie definicji K ( R ) i K ( R , I ) w kategoriach klasyfikowania przestrzeni (en) , tak że R ↦ K ( R ) i ( R , I ) ↦ K ( R , I ) są funktorami o wartościach w homotopijne kategorii (in) w przestrzeni i że długie dokładna sekwencja względnej K -grupy jest po prostu długości dokładnie homotopią sekwencja o fibration K ( R , i ) → K ( R ) → K ( R / I ).

Quillen przedstawił dwie konstrukcje, „konstrukcję plus” i „konstrukcję Q ”, przy czym ta ostatnia była później na różne sposoby modyfikowana. Obie konstrukcje dają takie same K -grupy.

Budowa więcej

Dla n > 0, Quillen określa n -tego K -wiązka R jak n -tym grupy homotopii o powierzchni otrzymanej przez naniesienie jej Plus (de) konstrukcji do klasyfikatora B GL ( R ) nieskończonej grupę liniową GL ( R ): $K_ {n} (R) = \ pi _ {n} (B {{\ rm {GL}}} (R) ^ {+}).$

Aby rozszerzyć tę definicję na przypadek n = 0, wystarczy ustawić $K_ {n} (R) = \ pi _ {n} (B {{\ rm {GL}}} (R) ^ {+} \ times K_ {0} (R)),$

ponieważ B GL ( R ) + jest połączone łukami, a K 0 ( R ) jest dyskretne .

Konstrukcja Q

Budynek P (w) daje takie same wyniki jak budowanie więcej, ale odnosi się do bardziej ogólnych sytuacjach. Ponadto jest bardziej bezpośredni w tym sensie, że grupy K, które tworzy, są z definicji funktorskie, podczas gdy fakt ten nie jest natychmiastowy w konstrukcji plus.

Do dowolnej dokładnej kategorii P przypisujemy kategorię Q P, której obiektami są obiekty P i której morfizmy od M do M ' są klasami izomorfizmów diagramów w P postaci

$M \ leftarrow N \ to M ',$

gdzie pierwsza strzała jest dopuszczalnym epimorfizmem, a druga dopuszczalnym monomorfizmem .

N -tego K -wiązka dokładnie kategorii P jest wtedy określone

$K_ {n} (P) = \ pi _ {{n + 1}} ({\ mathrm {BQ}} P, 0)$

gdzie 0 to stały obiekt zerowy, a BQ P to przestrzeń klasyfikacyjna kategorii Q P , to znaczy geometryczna realizacja (w) jej nerwu . W szczególności, K 0 ( P ) jest taka grupa Grothendiecka z P .

Przyjmując za P kategorię rzutowych R -modułów typu skończonego, znajdujemy te same grupy, co K n ( R ) zdefiniowane przez konstrukcję plus. Bardziej ogólnie, K -grupy z programu X są zdefiniowane jako te, w kategorii (dokładnie) z Coherent belki lokalnie darmo na X .

Używamy również następującego wariantu: zamiast rzutowych R -modułów typu skończonego (tj. Lokalnie swobodnych), bierzemy wszystkie R -moduły typu skończonego. Grupy K otrzymane w ten sposób zwykle oznaczamy przez G n ( R ) . Jeśli R jest zwykłym pierścieniem Noetherian , jego teorie G i K pokrywają się. Rzeczywiście, globalny wymiar od R jest skończony, to znaczy, że każdy R -module skończonej typu M przyjmuje się (w) rzutowej rozdzielczości P * → M i prosty argumentu pozwala wywnioskować, że kanoniczny morfizmem K 0 ( R ) → G 0 ( R ) jest bijektywne , gdzie [ M ] = Σ ± [ P n ]. Pokazujemy, że morfizm między wyższymi grupami K jest również bijektywny.

Konstrukcja S.

Trzeci konstrukcja K -grupy jest S konstrukcja z Waldhausen (En) . Dotyczy to kategorii z kofibracjami (zwanych kategoriami Waldhausen (in) ), bardziej ogólnych niż dokładne kategorie.

Przykłady

Choć algebraiczne Quillen za K- Teoria pomogła w dogłębne zrozumienie różnych aspektów algebraicznej geometrii i topologii , K -grupy okazały się szczególnie trudne do obliczenia z wyjątkiem kilku izolowanych ale ciekawych przypadków.

Gotowe ciała

Tego pierwszego obliczenia K - górnych grup pierścienia - i jednej z najważniejszych - dokonał sam Quillen: pole skończone z q elementami oznaczonymi przez F q , mamy:

K 0 ( F q ) = ℤ,
K 2 i ( F q ) = 0 dla i ≥ 1,
K 2 i –1 ( F q ) = ℤ / ( q i - 1) ℤ dla i ≥ 1.

Pierścienie całkowite

Quillen wykazały, że K -grupy o O F pierścienia liczb całkowitych o zakresie liczb C są skończonego typu . Armand Borel użył go do obliczenia modulo skręcania K i ( O F ) i K i ( F ) . Na przykład dla F = ℚ Borel udowodnił, że dla wszystkich i > 1, K i (ℤ) modulo torsion wynosi ℤ, jeśli i jest przystające do 1 modulo 4 i $0 w$ przeciwnym razie.

Niedawno określone podgrupy Skręcanie K 2 i + 1 (ℤ) i kolejność z ograniczonych grup abelian K 4 K + 2 (ℤ), ale pytania o cykliczności tego ostatniego i trywialności o K 4 K (ℤ ) zależy na domysłach Vandiver jest na zespoły grup o cyclotomic całkowitymi . Szczegółowe informacje można znaleźć w artykule „ Guess Quillen-Lichtenbaum (in) ”.

Aplikacje i pytania otwarte

Do grupy K- algebraicznej teorii interweniować hipotez na specjalnych wartości (PL) w funkcji L , preparat głównej hipotezy (Pl) w nie przemiennego teorii Iwasawa i budowy większych regulatorów (PL) .

Przypuszczenie Parshin (i) stanowi, że dla każdej odmiany gładka na pole ograniczonej, K wyższe są -grupy skręcanie .

Ta z Bassa (en) przewiduje, że dla dowolnej ℤ-algebry A typu skończonego wszystkie grupy G n ( A ) są typu skończonego.

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Algebraic K-teoria ” ( zobacz listę autorów ) .

(en) C. Soule , D. Abramovich (de) , J.-F. Burnol i J. Kramer (de) , Lectures Arakelov Geometry , CUP , al. "Studia w Cambridge zaawansowanym matematyki" ( N ° 33),1992, 185 pkt. ( ISBN 978-0-521-41669-6 , zbMATH 0812.14015 ) , str. 36.
(w) Daniel Quillen , „Wyższa algebraiczna K-teoria. I ” , w: Hyman Bass , Algebraic K-Theory, I: Higher K-Theories , Springer , pot. „Notatki do wykładów z matematyki. „( N O 341)1973( ISBN 978-3-540-06434-3 , DOI 10.1007 / BFb0067053 , Recenzje matematyczne 0338129 ) , str. 85-147.
(w) Daniel Quillen , „Wyższa teoria K dla kategorii z dokładnymi sekwencjami” w Graeme Segal , New Developments in Topology , CUP al. „London Math. Soc. Czytanie Uwaga Ser. „( N O 11)1974( Recenzje matematyczne 0335604 , czytaj online ) , s. 95-103.
(en) Jonathan Rosenberg (de) , Algebraic K-Theory and Its Applications , Springer, pot. " GTM " ( N O 147)1994, 394, str. ( ISBN 978-0-387-94248-3 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-4314-4 , zbMATH 0801.19001 , czytaj online )(+ Errata ), s. 30 .
(en) John Willard Milnor , Wprowadzenie do algebraicznej teorii K , PUP , pot. "Annals of Mathematics Studies" ( n ö 72),1971( zbMATH 0237.18005 , czytaj online ) , str. 5.
Milnor 1971 , s. 14.
(w) Max Karoubi , K-Theory: an Introduction , Springer al. „Klasyka w matematyce”,2008, 308 str. ( ISBN 978-3-540-79889-7 , czytaj online ), Twierdzenie I.6.18.
Rosenberg 1994 , str. 27.
Milnor 1971 , s. 15.
(w) JHC Whitehead , " Prosty typ homotopii " , Amer. J. Math. , vol. 72,1950, s. 1-57.
Rosenberg 1994 , 2.5.1, s. 92.
Rosenberg 1994 , 2.5.4, s. 95.
Rosenberg 1994 , Twierdzenie 2.3.2, str. 74.
(in) Tsit Yuen Lam , Problem Serre'a to rzutowe moduły Springer2006, 404 pkt. ( ISBN 978-3-540-34575-6 , czytaj online ) , str. 44. Dla nie-przemienne pół miejscowego pierścienia A , z wyjątkiem wymienionych wyjątkami K 1 ( ) jest izomorficzny do abelianized z A x : (i) LN Vaserstein (PL) , „ Z determinanty Whitehead dla pół-lokalnych pierścieni ” , J. Algebra , tom. 283 n O 2 2005, s. 690-699 ( DOI 10.1016 / j.jalgebra.2004.09.016 ).
(w) Hyman Bass, „Niektóre problemy w„ klasycznej ”algebraicznej teorii K” , w Algebraic K-Theory, II , Springer al. „Notatki do wykładów z matematyki. „( N O 342)1972, s. 3-73.
(w) Friedrich Ischebeck, " Hauptidealringe put nichttrivialer SK 1 -Gruppe " , Arch. Matematyka. (Bazylea) , t. 35,1980, s. 138-139 ( DOI 10.1007 / BF01235330 , czytaj online ).
Milnor 1971 , s. 159.
Rosenberg 1994 , s. 75.
Rosenberg 1994 , s. 78.
(w) Philippe Gille i Tamás Szamuely (de) , Centralne same algebry i kohomologia Galois , CUP al. "Studia w Cambridge zaawansowanym matematyki" ( N O 101),2006( ISBN 0-521-86103-9 , zbMATH 1137.12001 , czytaj online ) , str. 61.
Gille i Szamuely 2006 , s. 62.
(w) Shianghaw Wang , " O grupie komutatorów pojedynczej algebry " , Amer. J. Math. , vol. 72,1950, s. 323-334 ( DOI 10.2307 / 2372036 , zbMATH 0040.30302 ).
(w) Wiceprezes Platonow, „ O problemie Tannaka-Artin ” , Dokl. Akad. Nauk SSSR , vol. 221,1975, s. 1038-1041 ( zbMATH 0333.20032 ), (en) Soviet Math. Dokl. , lot. 16, 1975, s. 468-473 .
Milnor 1971 , s. 81.
Lemmermeyer 2000 , str. 385.
(w) John R. Silvester, Wprowadzenie do algebraicznej teorii K , Chapman & Hall ,Dziewiętnaście osiemdziesiąt jeden, 255 str. ( ISBN 978-0-412-22700-4 , zbMATH 0468.18006 ) , str. 228.
Hideya Matsumoto " arytmetyki podgrupy grup półprosty rozmieszczone " Asens , 4 p Series, Vol. 2,1969, s. 1-62 ( zbMATH 0261.20025 , czytaj online ).
Rosenberg 1994 , Twierdzenie 4.3.15, str. 214.
(w) Tsit Yuen Lam, Wprowadzenie do form kwadratowych nad polami , AMS , al. " GSM " ( N O 67)2005( ISBN 978-0-8218-7241-3 , zbMATH 1068.11023 , czytaj online ) , str. 139.
(en) Franz Lemmermeyer , Reciprocity Laws. Od Eulera do Eisensteina , Springer, pot. „Springer Monographs in Mathematics”,2000, 492, str. ( ISBN 978-3-642-08628-1 , DOI 10.1007 / 978-3-662-12893-0 , zbMATH 0949.11002 , czytaj online ) , str. 66.
Milnor 1971 , s. 101.
Milnor 1971 , s. 102.
(w) Georges Gras Class Field Theory. Od teorii do praktyki [ szczegóły wydania ], s. 205 .
Milnor 1971 , s. 175.
Milnor 1971 , s. 123.
Rosenberg 1994 , s. 200.
Milnor 1971 , s. 63.
Milnor 1971 , s. 69.
(w) Charles Weibel (w) , „Algebraiczna K-teoria pierścieni liczb całkowitych w polach lokalnych i globalnych” , w Handbook of K-teoria , Springer,2005( DOI 10.1007 / 978-3-540-27855-9_5 , czytaj online ) , str. 139-190, Lemat 1.8.
Gille i Szamuely 2006 , s. 209.
(w) V. Voevodsky, „ motywacyjna kohomologia ze współczynnikami ℤ / 2 ” , Wyd. Matematyka. IHES , tom. 98,2003, s. 59-104 ( DOI 10.1007 / s10240-003-0010-6 ).
Quillen 1973 .
Rosenberg 1994 , str. 245-246.
Rosenberg 1994 , s. 289.
(w) Friedhelm Waldhausen, „Algebraic K -Theory of spaces” , w: Algebraic and Geometric Topology , Springer al. "Lecture Notes in matematyki" ( N O 1126),1985( ISBN 978-3-540-15235-4 , DOI 10.1007 / BFb0074449 ) , str. 318-419. Zobacz także Reading IV i odnośniki (w) Eric M. Friedlander i Charles W. Weibel, „An overview of algebraic K- Theory” , w Algebraic K-teoria and its Applications (Trieste, 1997) , World Sci. Publ.,1999, s. 1-119.
Friedlander i Weibel 1999 , Reading VI.

Zobacz też

Bibliografia

(en) Hyman Bass, Algebraic K-teoria , WA Benjamin, pot. "Seria notatek z wykładów z matematyki",1968( zbMATH 0174.30302 )
(en) Eric Friedlander i Daniel Grayson, Handbook of K-Theory , Springer,2005( ISBN 978-3-540-30436-4 , DOI 10.1007 / 978-3-540-27855-9 )
(en) Bruce A. Magurn, An Algebraic Introduction to K-Theory , CUP, rozdz. "Encyclopedia Matematyczny i jej zastosowania" ( N O 87)2009( ISBN 978-0-521-10658-0 , czytaj online )
(en) John Willard Milnor, „ Algebraiczna teoria K i formy kwadratowe ” , Invent. Matematyka. , vol. 9 N O 4,1970, s. 318-344 ( DOI 10.1007 / BF01425486 )
(en) Daniel Quillen, „Higher algebraic K -theory” , w Proc. ICM (Vancouver, BC, 1974) , t. 1, Kanada. Matematyka. Kongres,1975, s. 171-176(konstrukcja Q )
(en) Wolfgang Seiler, „λ-Rings and Adams Operations in Algebraic K-Theory” , w: M. Rapoport, P. Schneider i N. Schappacher, Beilinson 's Conjectures on Special Values of L-Functions , Academic Press,1988( ISBN 978-0-12-581120-0 )
(en) Vasudevan Srinivas (en) , Algebraic K-Theory , Birkhäuser , pot. „Modern Birkhäuser Classics”,2008, 341 str. ( ISBN 978-0-8176-4736-0 , zbMATH 1125.19300 , czytaj online )
(en) Charles Weibel, K-book: An Introduction to Algebraic K-teoria , AMS, pot. " GSM " ( N O 145)2013( czytaj online )

Linki zewnętrzne

(en) „ K-teoria Preprint Archives ”
(en) " Przykłady algebraicznych grup K-teorii " na PlanetMath
(en) „ Algebraiczna K-teoria ” na PlanetMath

Powiązane artykuły

Determinant Dieudonné
Formuła Blocha (w)
Podstawowe twierdzenie teorii algebraicznej K ( fr )
Spectrum K - teoria (en)
Przypuszczenie przesunięcie ku czerwieni (in)
Symbol Hilberta