Grupa pochodna

W matematyce , w algebrze w grupie G , grupa pochodna , oznaczona jako D ( G ) lub [ G , G ], jest najmniejszą podgrupą normalną, dla której grupa ilorazowa G / [G, G] jest abelowa . Grupa wywodząca się z G jest trywialna wtedy i tylko wtedy, gdy grupa G jest abelowa. Grupa iloraz G przez jej pochodną grupy jest abelianization z G .

Proces abelianizacji często pozwala udowodnić, że dwie grupy nie są izomorficzne. Zajmuje się także geometrią .

Przełączniki

Przełącznik z dwóch elementów i jest z definicji element określonego przez: $g \ in G.$ ${\ displaystyle h \ in G}$ ${\ displaystyle [g, h]}$

{\ Displaystyle [g, h] = ghg ​​^ {- 1} h ^ {- 1} \,}

Przełącznik mierzy usterkę łączeniową elementów g i h :

{\ displaystyle gh = [g, h] hg}

a więc :

{\ Displaystyle [g, h] = e \ Leftrightarrow gh = hg}

W szczególności w grupie abelowej wszystkie przełączniki są równe elementowi neutralnemu . $mi$

Odwrotnością przełącznika g i h jest przełącznik h i g :

{\ Displaystyle [g, h] ^ {- 1} = [h, g]}

Zbiór komutatorów jest stabilny przez dowolny endomorfizm z G : dla wszystkich g i h , w G , $\ psi$

{\ Displaystyle \ psi ([g, h]) = [\ psi (g), \ psi (h)]}

Dla wszystkich g , h i k w G mamy:

{\ Displaystyle [g, hk] = [g, h]. h [g, k] h ^ {- 1}}

Grupa pochodna

Zestaw przełączników jest stabilny w odwrotnej kolejności, ale niekoniecznie przez kompozycję. Ogólnie nie jest podgrupą G . Podgrupa generowane przez przełączniki nazywa się grupy pochodzące od G , oznaczoną przez D ( G ) lub [ G , G ].

{\ Displaystyle D (G) = [G, G] = \ langle \ {[g, h] \ mid (g, h) \ in G ^ {2} \} \ rangle.}

W szczególności każdy element D (G) jest gotowym produktem łączników. Ponieważ obraz przełącznika przez grupę endomorfizm jest przełącznik, grupa pochodna jest stabilny przez dowolny endomorfizm z G : jest całkowicie charakterystyczny podgrupa o G . W szczególności, jest to charakterystyczne dla podgrup, a zatem normalnie z G .

Przykłady:

Grupa wywodząca się z symetrycznej grupy S n jest naprzemienną grupą A n .
Grupa wyprowadzona z ogólnej grupy liniowej GL ( n, K ) jest specjalną grupą liniową SL ( n, K ), chyba że n = 2 i K = F 2 .
Wszystkie grupy SL ( n, K ) są doskonałe (tj. Każda jest równa swojej pochodnej podgrupie) z wyjątkiem SL (2, F 2 ) i SL (2, F 3 ).

Nieruchomości

Grupa pochodzi od bezpośredniego sumy grup G i jest bezpośrednim suma pochodnej grupy D ( g- i ).
Grupa pochodzi od bezpośredniego produktu grup G i jest w bezpośrednim produktem grupy pochodnych D ( G I ), ich podgrup składa się z elementów g , dla których istnieje liczba całkowita n g taki sposób, że na wszystkich I The składnik g i z g jest iloczynem n g przełączników.

Abelianizowane

Ponieważ [ G , G ] jest normalną podgrupą G , możemy zdefiniować iloraz G przez [ G , G ], z definicji abelianizowaną przez G :

{\ Displaystyle Ab (G) = G ^ {ab} = G / [G, G]}

. Przykłady

Jeśli G jest przemienne, a G AB wynosi G / {1} jest tak kanonicznej oznaczone G .
Jeśli G jest na przykład multiplikatywna grupa ℍ * kwaterniony od Hamilton niezerową, [ G , G ] oznacza grupę o standardowej kwaterniony 1, który jest inny niż kuli jednostka S 3 o ℝ 4 . Funkcja a ↦ ║ a ║, ℍ * w grupie multiplikatywnej ℝ * + ściśle dodatnich liczb rzeczywistych, jest morfizmem grup suriektywnych z jądrem S 3 , a przechodząc do ilorazu otrzymujemy izomorfizm (ℍ *) ab = ℍ * / S 3 on ℝ * + .

Dla każdej grupy G jej abelianizowany Ab ( G ) jest grupą abelową.

Jest to nawet największy abelowy iloraz G w następującym znaczeniu (co dowodzi, że wspomniana we wstępie „najmniejsza normalna podgrupa, dla której grupa ilorazów G / [G, G] jest abelowa”, istnieje i jest równa wyprowadzonej grupa zdefiniowana powyżej):

Jeśli H jest podgrupą normalnej G iloraz G / H jest abelowa wtedy i tylko wtedy, H zawiera grupę pochodzącą od G .

Rzeczywiście, G / H jest abelem wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich elementów g i h z G istnieje x w H takie, że: gh = xhg , tj. Wtedy i tylko wtedy, gdy (dla wszystkich g i h ) [ g , h ] należy do h .

Poprzednia właściwość jest przeformułowana pod względem morfizmów:

Każdy morfizm od G do grupy abelowej jest rozkładany na czynniki przez Ab ( G ).

Abelianizacja grupy jest jej pierwszą grupą homologii o współczynnikach całkowitych : G ab = H 1 ( G , ℤ).

Pakiet pochodny

Sekwencja wywodząca się z G jest sekwencją podgrup G określonych przez indukcję w następujący sposób:

{\ Displaystyle D ^ {0} (G) = G}

{\ Displaystyle D ^ {k} (G) = D \ lewo [D ^ {k-1} (G) \ prawej] = [D ^ {k-1} (G), D ^ {k-1} ( SOL)]}

Podgrupy G występujące w jego sekwencji pochodnej są w pełni charakterystycznymi podgrupami G.
Jeśli ta sekwencja jest stacjonarna , tj. Jeśli istnieje naturalne n takie , że grupa jest rozwiązywalna . $\ {e \}$ ${\ Displaystyle D ^ {n} (G) = \ {e \}}$

Uwagi i odniesienia

Niektóre prace definiują komutator g i h jako ; nie jest to przyjęta tutaj konwencja. ${\ Displaystyle g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}$
(w) WR Scott, Teoria grup , Dover ,1987( 1 st ed. 1964) ( linia odczytu ) , str. 60, ćwicz. 3.4.13.
Aby zapoznać się z demonstracją, zobacz na przykład kurs na Wikiwersytecie .
(w) DJS Robinson (de) , Kurs teorii grup , Springer , al. " GTM " ( N O 80)1996, 2 II wyd. ( DOI 10.1007 / 978-1-4419-8594-1 , czytaj online ) , str. 124.

Zobacz też