Wymiar homologiczny

W Algebra The homologiczna wymiar z pierścieniem B zasadniczo różni się od wymiaru Krull i jest określana na rzutowe lub za pomocą wstrzyknięć rozdzielczościach z R -modules. Również określić małymi wymiarami z płaskich rozdzielczościach tych R -modules. Wymiar Krull (odp. Homologiczna, słabe) z R mogą być traktowane jako miara odległości od tego pierścienia z klasy Artinian (wzgl. Semi-proste , regularne Neumanna pierścieni (i) ), ten wymiar jest zero, jeżeli i tylko wtedy, gdy R jest artyńskie (względnie półproste, regularne von Neumanna). W przypadku noetherowskiego pierścienia przemiennego R te trzy wymiary pokrywają się, jeśli R jest regularne , w szczególności jeśli jego wymiar homologiczny jest skończony.  

Uchwały

• Pozwolić R -module. Dokładna kolejnośćM{\ displaystyle M}⟶...⟶minie⟶...⟶mi0⟶M⟶0{\ displaystyle \ longrightarrow ... \ longrightarrow E_ {n} \ longrightarrow ... \ longrightarrow E_ {0} \ longrightarrow M \ longrightarrow 0}nazywa się lewą rozdzielczością . Jeśli we wszystkim moduł jest rzutowy (odpowiednio płaski, swobodny), to o tej rozdzielczości mówi się, że jest rzutowy (odpowiednio płaski, swobodny). Jeśli i wszyscy , ta rezolucja jest długa . Jeśli nie ma takiej liczby całkowitej , mówi się, że ta rozdzielczość ma nieskończoną długość.M{\ displaystyle M}ja{\ displaystyle i}mija{\ displaystyle E_ {i}}minie≠0{\ Displaystyle E_ {n} \ neq 0}mija=0{\ displaystyle E_ {i} = 0}ja>nie{\ displaystyle i> n}nie{\ displaystyle n}nie{\ displaystyle n}
• Dokładna sekwencja⟵...⟵minie⟵...⟵mi0⟵M⟵0{\ Displaystyle \ longleftarrow ... \ longleftarrow E ^ {n} \ longleftarrow ... \ longleftarrow E ^ {0} \ longleftarrow M \ longleftarrow 0}nazywa się właściwą rozdzielczością . Jeśli dla wszystkiego moduł jest iniekcyjny, to mówi się, że ta rozdzielczość jest iniekcyjna. Definiujemy powyżej długość rozdzielczości iniekcyjnej.M{\ displaystyle M}ja{\ displaystyle i}minie{\ displaystyle E ^ {n}}
• Każdy moduł R dopuszcza dowolne rozdzielczości, a zatem rozdzielczości projekcyjne i płaskie. Każdy moduł R dopuszcza również rozdzielczości iniekcyjne.M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}

Wymiary modułu

• W dalszej części, i bierzemy to dla każdej umowy , , i .Z¯=Z∪{-∞,+∞}{\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {Z}}} = \ mathbb {Z} \ kubek \ lewo \ {- \ infty, + \ infty \ prawo \}}nie∈Z{\ Displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}-∞<nie<+∞{\ Displaystyle - \ infty <n <+ \ infty}-∞+nie=-∞{\ Displaystyle - \ infty + n = - \ infty}+∞+nie=+∞{\ Displaystyle + \ infty + n = + \ infty}
• Pozwolić R -module po lewej stronie. Jego wymiar rzutowa (odpowiednio, za pomocą wstrzyknięć, płaskie), oznaczoną (wzgl. ) Czy dolną granicę na długości rzutowej (odpowiednio, za pomocą wstrzyknięć, płaskie) o rozdzielczościach .M{\ displaystyle M}repR(M){\ Displaystyle dp_ {R} \ lewo (M \ prawej)}rejaR(M),refaR(M){\ Displaystyle di_ {R} \ lewo (M \ prawo), df_ {R} \ lewo (M \ prawo)}Z¯{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Z}}}}M{\ displaystyle M}
• Mamy .repR(0)=rejaR(0)=refaR(0)=-∞{\ Displaystyle DP_ {R} \ lewo (0 \ prawo) = di_ {R} \ lewo (0 \ prawo) = DF_ {R} \ lewo (0 \ prawo) = - \ infty}
• Aby być rzutowym (odpowiednio iniekcyjnym, płaskim) jest to konieczne i wystarczające (odpowiednio ).M{\ displaystyle M}repR(M)≤0{\ Displaystyle dp_ {R} \ lewo (M \ prawo) \ równoważnik 0}rejaR(M)≤0,refaR(M)≤0{\ Displaystyle di_ {R} \ lewo (M \ prawo) \ równoważnik 0, df_ {R} \ lewo (M \ prawo) \ równoważnik 0}

Wymiary pierścionka

Nie wracamy tutaj do wymiaru Krull.

Wymiar homologiczny

• Niech kategoria od R -modules po lewej stronie. Następujące ilości są równe:RMore{\ displaystyle _ {R} Mod}

1. łyk{repR(M):M∈RMore}{\ Displaystyle \ sup \ lewo \ {dp_ {R} \ lewo (M \ prawo): M \ w _ {R} Mod \ prawo \}}
2. łyk{rejaR(M):M∈RMore}{\ Displaystyle \ sup \ lewo \ {di_ {R} \ lewo (M \ prawo): M \ w _ {R} Mod \ prawo \}}

• Ich wspólną wartość nazywana jest globalny wymiar na lewo od R i zauważyć, co następuje . Ta ilość jest górna granica w ilościach , dla których istnieją dwa R -modules na lewo, i takie jak (patrz artykuł funkcja pochodna ).resolsol(R){\ Displaystyle dgg (R)}Z¯{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Z}}}}nie{\ displaystyle n}M{\ displaystyle M}NIE{\ displaystyle N}mixtRnie(M,NIE)≠0{\ Displaystyle Ext_ {R} ^ {n} \ lewo (M, N \ prawo) \ neq 0}

Definiujemy w ten sam sposób globalny wymiar na prawo od R , co opisano poniżej . resolre(R){\ Displaystyle dgd (R)}

• Po = (jest to oczywiście przypadek, gdy R jest przemienne), ich wspólna wartość nazywana jest globalny wymiar od R i zauważyć .resolsol(R){\ Displaystyle dgg (R)}resolre(R){\ Displaystyle dgd (R)}resol(R){\ Displaystyle dg (R)}
• Pojęcie wymiaru globalnego rozciąga się na przypadek dowolnej kategorii abelowej, tak że jeśli (odpowiednio ), wymiar ten pokrywa się z ilością (lub ) zdefiniowaną powyżej.VS{\ displaystyle {\ mathfrak {C}}}VS=RMore{\ displaystyle {\ mathfrak {C =}} _ {R} Mod}VS=MoreR{\ displaystyle {\ mathfrak {C =}} Mod_ {R}}resol(VS){\ Displaystyle dg \ lewo ({\ mathfrak {C}} \ prawej)}resolsol(R){\ Displaystyle dgg (R)}resolre(R){\ Displaystyle dgd (R)}

Niski wymiar

Następujące ilości są równe:

1. łyk{refaR(M):M∈RMore},{\ Displaystyle \ sup \ lewo \ {df_ {R} \ lewo (M \ prawo): M \ w _ {R} Mod \ prawo \},}
2. łyk{refaR(M):M∈MoreR}.{\ Displaystyle \ sup \ lewo \ {df_ {R} \ lewo (M \ prawo): M \ w Mod_ {R} \ prawo \}.}

Ich wspólną wartość nazywana jest słaby wymiar globalny z R , zauważył , co następuje. Ta ilość jest górna granica w ilościach , dla których istnieje R -module po prawej i po lewej stronie na module , takim jak (patrz artykuł funkcji Derived ). resolfa(R){\ Displaystyle dgf (R)}Z¯{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Z}}}}nie{\ displaystyle n}M{\ displaystyle M}NIE{\ displaystyle N}TornieR(M,NIE)≠0{\ Displaystyle Tor_ {n} ^ {R} \ lewo (M, N \ prawo) \ neq 0}

Nieruchomości

• Mamy .resol(0)=resolfa(0)=-∞{\ Displaystyle dg (0) = dgf (0) = - \ infty}
• Mamy równość, jeśli R jest Noetherianem.resolfa(R)≤resolsol(R){\ Displaystyle dgf \ lewo (R \ prawo) \ równoważnik dgg \ lewo (R \ prawo)}
• Jeśli R jest Noetherian, mamy .resolfa(R)=resolsol(R)=resolre(R)=resol(R){\ Displaystyle dgf (R) = dgg (R) = dgd (R) = dg (R)}
• Niech będzie przemiennym pierścieniem; następnie ( twierdzenie o syzygusie Hilberta ). Dlatego jeśli jest ciałem przemiennym (lub, bardziej ogólnie, półprostym pierścieniem przemiennym) .W{\ displaystyle A}resol(W[X])=resol(W)+1{\ Displaystyle dg (A \ lewo [X \ prawej]) = dg (A) +1}K.{\ displaystyle K}resol(K.[X1,...,Xnie])=nie{\ Displaystyle dg (K \ lewo [X_ {1}, ..., X_ {n} \ prawo]) = n}
• Niech R będzie przemienną pierścień mnożnikowy zestaw zawierający nie dzielniki zera i na miejscowe jeden . Mamy i .S⊂R{\ Displaystyle S \ podzbiór R}T{\ displaystyle T} S-1R{\ Displaystyle S ^ {- 1} R}resol(T)≤resol(R){\ Displaystyle dg (T) \ równoważnik dg (R)}resolfa(T)≤resolfa(R){\ Displaystyle dgf (T) \ równoważnik dgf (R)}
• Pierścień Ore R to pierścień Dedekinda, który nie jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdyresol(R)=1.{\ Displaystyle dg (R) = 1.}
• Przemiennej pierścień integruje R jest pierścieniem Prüfer  (PL) , wtedy i tylko wtedy, gdy .resolfa(R)≤1{\ Displaystyle dgf (R) \ równoważnik 1}
• Przemienne Bezouta pierścienia R , która nie jest głównym jest pierścień Prüfer, a więc sprawdza . Z drugiej strony nie jest Noetherian, dlatego nie jest pierścieniem Dedekinda, a zatem .resolfa(R)≤1{\ Displaystyle dgf (R) \ równoważnik 1}resol(R)>1{\ Displaystyle dg (R)> 1}

Regularne pierścienie

• Mówi się, że pierścień R jest regularny po lewej stronie, jeśli jakikolwiek moduł R po lewej stronie typu skończonego dopuszcza skończoną rozdzielczość. Regularny pierścień jest również zdefiniowany po prawej stronie, a pierścień mówi się, że jest regularny, jeśli jest regularny po lewej i prawej stronie.
• Jeśli , R jest oczywiście regularne po lewej stronie, ale Nagata podał w 1962 r. Przykład regularnego, przemiennego pierścienia Noether o nieskończonym wymiarze globalnym.resolsol(R)<+∞{\ Displaystyle dgg (R) <+ \ infty}
• Jeśli R jest regularny przemienne pierścień, wtedy każda zlokalizowane z R jest regularny. Jeśli R jest regularne i noetherian, to tak jest .T=S-1R{\ Displaystyle T = S ^ {- 1} R}R[X1,...,Xnie]{\ Displaystyle R \ lewo [X_ {1}, ..., X_ {n} \ w prawo]}
• Niech R będzie pierścieniem Bézout po lewej stronie. Każdy moduł R po lewej stronie typu skończonego ma skończoną prezentację , więc R jest regularny po lewej stronie.

Uwagi i odniesienia

Uwagi

1. McConnell i Robson 2001 , 7.1.9; Lam 1999 , (5,94), (5,95).
2. wielkość Goldie , zwany także jednolita wielkość , która ma znaczenie zupełnie inna, nie jest skierowana tutaj. Zobacz na przykład McConnell i Robson 2001 , §2.2.
3. Rotman 2009 , Prop. 6.2 i 6.4.
4. de może być pierwsza litera angielskiego słowa mieszkaniu lub francuskiego słowa słaby .fa{\ displaystyle f}refaR{\ displaystyle df_ {R}}
5. McConnell i Robson 2001 , 7.1.8.
6. To właśnie Bourbaki 2007 (§8.3), który rozważa tylko moduły po lewej stronie, nazywa homologiczny wymiar pierścienia R i zauważa . Nie definiuje słabego wymiaru homologicznego.regodz(R){\ displaystyle dh (R)}
7. McConnell i Robson 2001 , 7.1.11. Notacja angielska: wymiar globalny po lewej stronie, wymiar globalny po prawej stronie, wymiar globalny.lsollre(R){\ Displaystyle lgld (R)}rsollre(R){\ displaystyle rgld (R)}sollre(R){\ displaystyle gld (R)}
8. Mitchell 1965 . Nie trzeba zakładać, że ma „wystarczającą liczbę rzutów” lub „wystarczającą liczbę zastrzyków”.VS{\ displaystyle {\ mathfrak {C}}}
9. McConnell i Robson 2001 , § 7.1.
10. English Ocena: .wsollre(R){\ displaystyle wgld (R)}
11. Bourbaki 2007 , § 8, Thm. 1.
12. McConnell i Robson 2001 , § 7.4. Podobny rezultat w przypadku nieprzemiennym poprzez wprowadzenie pojęcia zbioru mianowników .
13. Rotman 2009 , przykład 8.20.
14. Rotman 2009 , §4.4.
15. Nie mylić ze zwykłym pierścieniem von Neumanna.
16. McConnell i Robson 2001 , 7.7.1.
17. Lam 1999 , s.  201 wymaga, wraz z innymi autorami, aby R był ponadto Noetherian po lewej stronie.
18. Lam 1999 , (5,94); Nagata 1962 , załącznik.
19. McConnell i Robson 2001 , 7.7.3, 7.7.5. Rozszerzenia nieprzemiennych przypadków właściwości wymienionych tutaj są podane w tych odniesieniach.
20. Jest to oczywiście poprawne tylko wtedy, gdy nie wymaga się własności Noetherian w definicji prawidłowości.

Bibliografia

• N. Bourbaki , Algebra, Rozdział 10: Algebra homologiczna , Springer,2007, 216  str. ( ISBN  978-3-540-34492-6 i 3-540-34492-6 )
• N. Bourbaki , Algebra przemienna, rozdziały od 1 do 4 , Springer,2006, 356  s. ( ISBN  3-540-33937-X )
• (en) Paul Moritz Cohn , Free Rings and their Relations (wyd. 2) , London / Orlando / San Diego itd., Academic Press Press,1985, 588  str. ( ISBN  0-12-179152-1 )
• (en) Tsit Yuen Lam , Wykłady o modułach i pierścieniach , Nowy Jork / Berlin / Heidelberg, Springer,1999, 557  s. ( ISBN  0-387-98428-3 )
• (en) John C. McConnell i James C. Robson , nieprzemienne pierścienie Noetherian , American Mathematical Society,2001, 636  str. ( ISBN  0-8218-2169-5 , czytaj online )
• (en) Masayoshi Nagata , Local Rings , Interscience,1962, 234  str. ( ISBN  0-470-62865-0 )
• (en) Barry Mitchell , Teoria kategorii , Nowy Jork / Londyn, Academic Press,1965, 273  pkt. ( ISBN  0-12-499250-1 )
• (en) Joseph J. Rotman , Wprowadzenie do algebry homologicznej , Springer,2009, 2 II  wyd. , 710  s. ( ISBN  978-0-387-24527-0 i 0-387-24527-8 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">