Niejednolita odmiana algebraiczna

Nieosobliwe (lub gładkie) algebraiczna odmiana jest odmianą nie w jednym punkcie (i) . Jest to naturalny szkielet wielu podstawowych twierdzeń geometrii algebraicznej.

Definicja

Mówimy, że odmiana algebraiczna jest regularna, gdy jej pierścień lokalny jest regularnym pierścieniem lokalnym dla dowolnego punktu . $X$ $O_ {X, x}$ $x \ w X$

Niech będzie rozmaitością algebraiczną na ciałach . Pozwolić algebraiczne zamknięcie od . Mówi się, że nie jest pojedyncza lub gładka, jeśli odmiana uzyskana po zmianie bazy jest odmianą zwykłą. $X$ $k$ ${\ szczekać}}$ $k$ $X$ $X _ {{{\ bar {k}}}}$ ${\ bar {k}} / k$

Przykłady

Przestrzenie afiniczne i przestrzenie rzutowe nie są jednostkowe. ${\ mathrm {Spm}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]$ ${\ mathrm {Proj}} k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]$
Krzywa płaska nie jest osobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany nie mają wspólnego zera w (co jest równoważne stwierdzeniu, że generują idealną jednostkę ). ${\ Displaystyle \ mathrm {Spm} (k [T, S] / (F (T, S)))}$ $F, \ częściowe F / \ częściowe T, \ częściowe F / \ częściowe S$ ${\ bar {k}} ^ {2}$ $k [T, S]$
Jeśli jest ciałem niedoskonałym (tj. Ciałem, które nie jest doskonałe ), to istnieje, które nie jest -tą potęgą , gdzie jest cechą charakterystyczną . Pozwolić rozszerzenie promieniowe określone przez -tego pierwiastka z . Następnie mamy do czynienia z rozmaitością algebraiczną , regularną, ale nie pojedynczą. $k$ $\ lambda \ w k$ $p$ $p$ $k$ $k '= k [T] / (T ^ {p} - \ lambda)$ $p$ $\ lambda$ ${\ mathrm {Spm}} (k ')$ $k$

Uwaga Bycie regularnym jest absolutną własnością rozmaitości algebraicznej, podczas gdy bycie nieliczbowym zależy od rozważanego przez nas pola podstawowego. W powyższym przykładzie nie jest to liczba pojedyncza jako -różnorodność, ale jest jako -różnorodność. ${\ mathrm {Spm}} (k ')$ $k$ $k '$

Nieruchomości

Jeśli nie jest liczbą pojedynczą, to jest regularna. Odwrotność jest prawdą, jeśli jest doskonały . $X$ $k$
Kryterium Jakobian : Niech będzie połączoną afiniczną rozmaitością algebraiczną wymiaru d . Wtedy nie jest liczbą pojedynczą wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy Jakobiana jest równy n - d dla wszystkich . $X = {\ mathrm {Spm}} [T_ {1}, ..., T_ {n}] / (F_ {1}, ..., F_ {m})$ $X$ $Jac_ {x} (F_ {1}, ..., F_ {m})$ $x$
Niech będzie złożoną różnorodnością algebraiczną (tj. Zdefiniowaną na ciałach liczb zespolonych). Pozwolić kompleks przestrzeń analityczny (i) wiąże się z . Wtedy nie jest pojedyncza wtedy i tylko wtedy, gdy jest złożoną rozmaitością analityczną , tj. Lokalnie biholomorficzna względem zbioru otwartego n . $X$ $X ^ {{{\ mathrm {an}}}}$ $X$ $X$ $X ^ {{{\ mathrm {an}}}}$
Jeśli nie jest pojedynczy i powiązany z wymiarem n , to jest nieredukowalny, a nawet całkowy , a snop form różniczkowych na jest lokalnie wolny od rzędu n . Innymi słowy, jest to wiązka wektorów o randze n (zwana wiązką cotangent ) na . $X$ $X$ $X$ $X$
Struktura lokalna : W przeciwieństwie do złożonych lub różniczkowych rozmaitości analitycznych, rozmaitość algebraiczna, nawet niejednostkowa, nie jest lokalnie (dla topologii Zariskiego) izomorficzna z otwartą przestrzenią afiniczną. Ale stanie się to prawdą, jeśli zastąpimy topologię Zariski przez topologię etale . Mówiąc bardziej konkretnie, każdy punkt niejednolitej rozmaitości algebraicznej ma otwarte sąsiedztwo (Zariski!), Które jest rozłożone na otwartej przestrzeni afinicznej.