Schemat produktu

W geometrii algebraicznej iloczyn dwóch diagramów (a dokładniej dwóch diagramów powyżej tego samego schematu podstawowego) jest odpowiednikiem iloczynów pierścieni, przestrzeni wektorowych, przestrzeni topologicznych… Jest to podstawowe narzędzie do budowania diagramów, zmiany baz itp. .

Definicja

Możemy ustalić schemat (zwany podstawowy schemat) i weźmiemy pod uwagę kategorię z -schemes . Niech będą dwa schematy. W języku kategorycznego The (włókno) produkt z powyżej jest po prostu produktem włókno z , w kategorii -schemas. Mówiąc bardziej konkretnie, iloczyn włókien z powyższego jest danymi z zaznaczonego schematu i morfizmów ( morfizmów projekcyjnych ) , spełniających następującą uniwersalną właściwość: S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}X,Y{\ displaystyle X, Y}S{\ displaystyle S}X,Y{\ displaystyle X, Y}S{\ displaystyle S}X→S{\ displaystyle X \ do S}Y→S{\ Displaystyle Y \ do S}S{\ displaystyle S}X,Y{\ displaystyle X, Y}S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}X×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y}p:X×SY→X{\ Displaystyle p: X \ razy _ {S} Y \ do X}q:X×SY→Y{\ Displaystyle q: X \ razy _ {S} Y \ do Y}

dla dowolnego -schematu i dla dowolnej pary morfizmów -schemów i istnieje unikalny morfizm taki, że i .S{\ displaystyle S}Z{\ displaystyle Z}S{\ displaystyle S}fa:Z→X{\ displaystyle f: Z \ do X}sol:Z→Y{\ displaystyle g: Z \ do Y}godz:Z→X×SY{\ Displaystyle h: Z \ do X \ razy _ {S} Y}fa=pgodz{\ displaystyle f = ph}sol=qgodz{\ displaystyle g = qh}

Twierdzenie  -  Produkt błonnikowy istnieje i jest unikalny aż do pojedynczego izomorfizmu. (X×SY,p,q){\ Displaystyle (X \ razy _ {S} Y, p, q)}

Jak każde rozwiązanie uniwersalnego problemu, wyjątkowość wynika bezpośrednio z definicji. Istnienie udowadnia się, sprowadzając się do iloczynu błonnika dwóch schematów afinicznych powyżej jednego schematu afinicznego. Następnie wykorzystamy fakt, że iloczyn tensorowy dwóch algebr nad unitarnym pierścieniem przemiennym jest sumą w kategorii -algebr, przeciwnej kategorii w kategorii schematów afinicznych. W{\ displaystyle A}W{\ displaystyle A}W{\ displaystyle A}

Ocena. Produkt błonnika jest ogólnie oznaczony przez , przy czym zakłada się morfizm projekcji. Jeśli jest afiniczna, w notacji możemy zastąpić przez . Zauważono morfizm we właściwości uniwersalnej powyżej . X×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y}S=SpmivsW{\ displaystyle S = {\ rm {Spec}} A}S{\ displaystyle S}W{\ displaystyle A}godz:Z→X×SY{\ Displaystyle h: Z \ do X \ razy _ {S} Y}(fa,sol){\ displaystyle (f, g)}

Pierwsze właściwości

• W przypadku dowolnego diagramu plik applicationS{\ displaystyle S}Z{\ displaystyle Z}

MorS(Z,X×SY)→MorS(Z,X)×MorS(Z,Y){\ Displaystyle {\ rm {Mor}} _ {S} (Z, X \ razy _ {S} Y) \ do {\ rm {Mor}} _ {S} (Z, X) \ razy {\ rm { Mor}} _ {S} (Z, Y)}

zdefiniowany przez jest bijektywny. godz↦(pgodz,qgodz){\ displaystyle h \ mapsto (ph, qh)}

• Jeśli i są afiniczne, to i morfizmy projekcyjne są indukowane przez homomorfizmy pierścieniowe , zdefiniowane odpowiednio przez i .X=SpmivsW,Y=Spmivsb{\ Displaystyle X = {\ rm {Spec}} A, Y = {\ rm {Spec}} B}S=SpmivsR{\ displaystyle S = {\ rm {Spec}} R}X×SY=Spmivs(W⊗Rb){\ Displaystyle X \ razy _ {S} Y = {\ rm {Spec}} (A \ otimes _ {R} B)}p,q{\ displaystyle p, q}W→W⊗Rb{\ Displaystyle A \ do A \ otimes _ {R} B}b→W⊗Rb{\ Displaystyle B \ do A \ otimes _ {R} B}w↦w⊗1{\ displaystyle a \ mapsto a \ otimes 1}b↦1⊗b{\ displaystyle b \ mapsto 1 \ otimes b}
• Jeśli są odpowiednie otwarte części , to , a morfizmy projekcji są tylko ograniczeniami .U,V{\ displaystyle U, V}X,Y{\ displaystyle X, Y}U×SV=p-1(U)∩q-1(V){\ Displaystyle U \ razy _ {S} V = p ^ {- 1} (U) \ nasadka q ^ {- 1} (V)}U×SV{\ displaystyle U \ times _ {S} V}p,q{\ displaystyle p, q}
• Mamy izomorfizmy kanoniczne

X×SY→Y×SX,{\ Displaystyle X \ razy _ {S} Y \ do Y \ razy _ {S} X,} (X×SY)×SZ→X×S(Y×SZ){\ Displaystyle (X \ razy _ {S} Y) \ razy _ {S} Z \ do X \ razy _ {S} (Y \ razy _ {S} Z)}

• Jeśli jest -schematem, to mamy izomorfizm kanonicznyZ{\ displaystyle Z}Y{\ displaystyle Y}

(X×SZ)×ZY→X×SY.{\ Displaystyle (X \ razy _ {S} Z) \ razy _ {Z} Y \ do X \ razy _ {S} Y.}

Przykłady

• Jeśli są algebry nad polem . Następnie jest diagram -affine powiązany z -algebrą . W,b{\ displaystyle A, B}k{\ displaystyle k}SpmivsW×kSpmivsb{\ Displaystyle {\ rm {Spec}} A \ razy _ {k} {\ rm {SpecB}}}k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}W⊗kb{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}
  • Jeśli i wtedy . A więc .W=k[T1,...,Tnie]{\ Displaystyle A = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]}b=k[S1,...,Sm]{\ Displaystyle B = k [S_ {1}, \ ldots, S_ {m.}]}W⊗kb=k[T1,...,Tnie,S1,...,Sm]{\ Displaystyle A \ otimes _ {k} B = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}, S_ {1}, \ ldots, S_ {m.}]}Wknie×kWkm=Wknie+m{\ Displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {n} \ razy _ {k} {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {m} = {\ mathbb {A}} _ {k } ^ {n + m}}
  • Jeśli i , to jest ilorazem przez ideał wygenerowany przez .W=k[T1,...,Tnie]/ja{\ Displaystyle A = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / I}b=k[S1,...,Sm]/jot{\ Displaystyle B = k [S_ {1}, \ ldots, S_ {m.}] / J}W⊗kb{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}k[T1,...,Tnie,S1,...,Sm]{\ Displaystyle k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}, S_ {1}, \ ldots, S_ {m}]}ja,jot{\ displaystyle I, J}
• Sam iloczyn linii rzutowej nie jest izomorficzny w stosunku do płaszczyzny rzutowej . Ten produkt jest kwadratowa izomorficzna z . Mówiąc bardziej ogólnie, iloczyn dwóch rozmaitości rzutowych jest rozmaitością rzutową ( osadzenie Segre'a ).P.k1{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {1}}P.k2{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {2}}x0x3-x1x2=0{\ Displaystyle x_ {0} x_ {3} -x_ {1} x_ {2} = 0}P.k3{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {3}}
• SpmivsVS×RSpmivsVS{\ Displaystyle {\ rm {Spec}} {\ mathbb {C}} \ razy _ {\ mathbb {R}} {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}jest odmianą algebraiczną o dokładnie dwóch punktach, podczas gdy każdy składnik ma tylko jeden.R{\ displaystyle \ mathbb {R}}SpmivsVS{\ Displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}

Punkty nie są ogólnie punktami iloczynu kartezjańskiego (por. Powyższy przykład iloczynu z samym sobą powyżej ). Dla rozmaitości algebraicznych na ciałach mamy X×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y} X×Y{\ displaystyle X \ razy Y}SpmivsVS{\ Displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}k{\ displaystyle k}

(X×kY)(k)=X(k)×Y(k).{\ Displaystyle (X \ razy _ {k} Y) (k) = X (k) \ razy Y (k).}

Mamy więc dobrą kontrolę nad punktami racjonalnymi. Jednak nawet wtedy, gdy jest algebraicznie zamknięte, a my ograniczamy się do zamkniętych punktów (zamknięte punkty w bijekcji z iloczynu kartezjańskiego zamkniętych miejscach i w tym przypadku), topologia Zariski jest na produkcie (iloczyn kartezjański) jest ściśle drobniejsze niż ogólnie topologia produktu . Na przykład, jeśli linia jest włączona . Podobnie jest z płaszczyzną afiniczną . Otwór Żariski (dopełnienie przekątnej) nie zawiera niepustych otworów formy z otworami o . k{\ displaystyle k}X×kY{\ displaystyle X \ times _ {k} Y}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}X×Y{\ displaystyle X \ razy Y}X=Y{\ displaystyle X = Y}k{\ displaystyle k}X×kY{\ displaystyle X \ times _ {k} Y}Spmivsk[t,s]{\ displaystyle {\ rm {specyfikacja}} k [t, s]}re(t-s){\ Displaystyle D (ts)}U×V{\ Displaystyle U \ razy V}U,V{\ displaystyle U, V}Wk1{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {1}}

Zmiana baz

Koncepcja zmiany podstaw jest fundamentalna w teorii wzorców. Pozwolić -schema. Niech będzie morfizmem diagramów. Wówczas iloczyn włókien zaopatrzony w drugi rzut jest schematem i mówimy, że uzyskuje się go poprzez zmianę zasad . Tak otrzymany schemat zauważyć . Bardziej ogólnie, jest morfizmem z -schémas włókno wytwarzane przez indukuje morfizmem z -schémas. X→S{\ displaystyle X \ do S}S{\ displaystyle S}T→S{\ displaystyle T \ do S}X×ST{\ displaystyle X \ times _ {S} T}q:X×ST→T{\ Displaystyle q: X \ razy _ {S} T \ do T}T{\ displaystyle T}T→S{\ displaystyle T \ do S}T{\ displaystyle T}XT{\ displaystyle X_ {T}}fa:X→Y{\ displaystyle f: X \ do Y}S{\ displaystyle S}T{\ displaystyle T}faT:XT→YY{\ displaystyle f_ {T}: X_ {T} \ do Y_ {Y}}T{\ displaystyle T}

• Na przykład, jeśli jest homomorfizmem pierścieni (unitarnych zamienników), przestrzeń afiniczną można zbudować z rozważenia zmiany zasad .b→VS{\ displaystyle B \ do C}WVSnie{\ Displaystyle A_ {C} ^ {n}}Wbnie{\ displaystyle A_ {B} ^ {n}}SpmivsVS→Spmivsb{\ Displaystyle {\ rm {Spec}} C \ do {\ rm {Spec}} B}
• Jeśli jest rozszerzenie ciała, staje się po zmianie bazy danych , .K./k{\ displaystyle K / k}Spmivsk[T1,...,Tnie]/ja{\ Displaystyle {\ rm {Spec}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / I}SpmivsK.→Spmivsk{\ Displaystyle {\ rm {Spec}} K \ do {\ rm {Spec}} k}Spmivs(K.[T1,...,Tnie]/(ja)){\ Displaystyle {\ rm {Spec}} (K [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / (I))}
• Podobnie staje się .P.rojotk[T0,...,Tnie]/ja{\ Displaystyle {\ rm {Proj}} k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / I}P.rojot(K.[T0,...,Tnie]/(ja)){\ Displaystyle {\ rm {Proj}} (K [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / (I))}

W tych dwóch przykładach zmiana podstawy jest podana przez rozszerzenie pola. Mówimy wtedy o rozszerzeniu pola podstawowego lub rozszerzeniach skalarów . Na przykład niejednolity stożek rzutowy staje się izomorfizmem do linii rzutowej po kwadratowym przedłużeniu, które można oddzielić od pola podstawowego.

• Jeśli jest odmianą algebraiczną na polu, a jeśli jest rozszerzeniem. Następnie jest zbiorem punktów wymiernych .X{\ displaystyle X}k{\ displaystyle k}K./k{\ displaystyle K / k}X(K.)=XK.(K.){\ Displaystyle X (K) = X_ {K} (K)}XK.{\ displaystyle X_ {K}}

Włókna morfizmu

Niech będzie morfizmem diagramów. Niech będzie punkt. Ensemblistement The włókien z IN jest podgrupa o . Produkt światłowodowy umożliwia kanoniczne nadanie temu podzbiorowi struktury schematu. Rzeczywiście, mamy kanoniczną morfizm , gdzie jest pole resztkowe od pl . Albo . To jest diagram przy drugiej projekcji. Pokazujemy, że projekcja wywołuje homeomorfizm sur . Schemat nazywamy en włókno . -Schema może być postrzegane jako rodziny -schemas, gdy przejeżdżające punkty . fa:X→Y{\ displaystyle f: X \ do Y}y∈Y{\ displaystyle y \ in Y}fa{\ displaystyle f}y{\ displaystyle y}fa-1(y){\ Displaystyle f ^ {- 1} (y)}X{\ displaystyle X}Spmivsk(y)→Y{\ Displaystyle {\ rm {Spec}} k (r) \ do Y}k(y){\ Displaystyle k (y)}Y{\ displaystyle Y}y{\ displaystyle y}Xy: =X×YSpmivsk(y){\ Displaystyle X_ {y}: = X \ razy _ {Y} {\ rm {Spec}} k (y)}k(y){\ Displaystyle k (y)}X×YSpmivsk(y)→X{\ Displaystyle X \ razy _ {Y} {\ rm {Spec}} k (y) \ do X}Xy{\ displaystyle X_ {y}}fa-1(y){\ Displaystyle f ^ {- 1} (y)}k(y){\ Displaystyle k (y)}Xy{\ displaystyle X_ {y}}fa{\ displaystyle f}y{\ displaystyle y}Y{\ displaystyle Y}X{\ displaystyle X}k(y){\ Displaystyle k (y)}y{\ displaystyle y}Y{\ displaystyle Y}

Jeśli jest nieredukowalne do punktu generycznego , włókna nazywa się włókno rodzajowe z . Jeśli jest to punkt zamknięty , światłowód nazywany jest światłowodem zamkniętym (lub specjalnym światłowodem, gdy jest widmem dyskretnego pierścienia wartościującego ). Y{\ displaystyle Y} η{\ displaystyle \ eta}Xη{\ displaystyle X _ {\ eta}}fa{\ displaystyle f}y{\ displaystyle y}Y{\ displaystyle Y}Xy{\ displaystyle X_ {y}}Y{\ displaystyle Y}

Przykłady

• Włókna morfizmu strukturalnego przestrzeni afinicznej na niej są przestrzeniami afinicznymi .WYnie{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {Y} ^ {n}}Y{\ displaystyle Y}Wk(y)nie{\ Displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k (y)} ^ {n}}
• Niech gdzie jest ustalona liczba pierwsza. To jest schemat. Jego ogólne włókno jest izomorficzne po prawej stronie, w mniejszym stopniu udoskonala pochodzenie ciała racjonalnych ludzi, ponieważ jest odwracalne . W ten sam sposób jego włókno na samym początku (a więc odpowiadające pierwszemu ideałowi ) jest izomorficzne z linią mniejszą niż początek pola skończonego z elementami. Z drugiej strony, jego włókno jest równe połączeniu dwóch prostych linii afinicznych przecinających się poprzecznie w punkcie. To włókno nie jest redukowane, ponieważ klasa w ilorazie jest zerowa i nie jest równa zeru.X=Spmivs(Z[t,s]/(ts2-p)){\ Displaystyle X = {\ rm {Spec}} (\ mathbb {Z} [t, s] / (ts ^ {2} -p))}p{\ displaystyle p}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}p{\ displaystyle p}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}l{\ displaystyle l}lZ{\ displaystyle l \ mathbb {Z}}fal{\ displaystyle F_ {l}}l{\ displaystyle l}p{\ displaystyle p}Spmivsfap[t,s]/(ts2){\ Displaystyle {\ rm {Spec}} F_ {p} [t, s] / (ts ^ {2})}fap{\ displaystyle F_ {p}}ts{\ displaystyle ts}
• Niech będzie rozszerzeniem pól liczbowych i niech będą odpowiadające im pierścienie liczb całkowitych . Pozwól się indukować przez włączenie pierścieni liczb całkowitych. Podczas gdy rozszerzenie jest nie rozgałęzione nad pierwszym ideału z wtedy i tylko wtedy, gdy włókno w to zmniejszoną schemat.L/K.{\ displaystyle L / K}OK.,OL{\ displaystyle O_ {K}, O_ {L}}fa:SpmivsOL→SpmivsOK.{\ Displaystyle f: {\ rm {Spec}} O_ {L} \ do {\ rm {Spec}} O_ {K}}L/K.{\ displaystyle L / K}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}OK.{\ displaystyle O_ {K}}fa{\ displaystyle f}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}
• Jeśli jest włączona krzywa eliptyczna , jej minimalne równanie Weierstrassa definiuje schemat rzutowy na (czyli jest ). Jej włókno w kilku prime (widziany jako punkt z ) jest rzutowe krzywa na głównego korpusu i nazywa się (lub raczej) zmniejszenie o modzie .mi{\ displaystyle E}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}P.rojotZ[X,Y,Z]/(Y2Z+w1XZY+w3Z2Y-(X3+w2X2Z+w4XZ2+w6Z3){\ Displaystyle {\ rm {Proj}} \ mathbb {Z} [X, Y, Z] / (Y ^ {2} Z + a_ {1} XZY + a_ {3} Z ^ {2} Y- (X ^ {3} + a_ {2} X ^ {2} Z + a_ {4} XZ ^ {2} + a_ {6} Z ^ {3})}p{\ displaystyle p}pZ{\ displaystyle p \ mathbb {Z}}SpmivsZ{\ Displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {Z}}fap{\ displaystyle F_ {p}}mi{\ displaystyle E}p{\ displaystyle p}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">