K-teoria
W matematyce , K teoria jest narzędzie wykorzystywane w różnych dziedzinach. W algebraicznej topologii The topologiczna Teoria K (w) służy teoretyczny kohomologii . Wariant jest stosowany w algebrze pod nazwą algebraicznej K-teorii .
Pierwsze wyniki K-teorii były w ramach topologii algebraicznej, jak niezwykła teoria kohomologii (nie weryfikuje aksjomatu wymiaru). Następnie metody te zostały wykorzystane w wielu innych dziedzinach, takich jak geometria algebraiczna, algebra, teoria liczb, teoria operatorów itp.
Historia
To właśnie Alexandre Grothendieck dokonał pierwszej konstrukcji grupy K-teorii w swojej pracy nad twierdzeniem znanym obecnie jako twierdzenie Grothendiecka-Riemanna-Rocha . Wprowadził zakończenie tego dodatku kategorii z ( izomorfizmu klas o) snopy z grupa przemienna (obdarzone z bezpośrednim suma ) z wykorzystaniem formalnych odwrotności . Pomysł ten został podjęty przez Michaela Atiyah i Friedricha Hirzebrucha, aby zdefiniować grupę K ( X ) przestrzeni topologicznej , wykonując tę samą konstrukcję dla wiązek wektorów . Konstrukcja ta była pierwszą „niezwykłą teorią kohomologiczną” w topologii algebraicznej . Jego użycie było fundamentalne dla zademonstrowania słynnego „ twierdzenia o indeksie ” Michaela Atiyah i Isadore Singera , pracy, która zdobyła dla pierwszego autora Medal Fieldsa w 1966 roku i obie nagrody Abela w 2004 roku.
Ponadto Jean-Pierre Serre oparł się na analogii między wiązkami wektorów i modułami rzutowymi na pierścieniu, aby znaleźć algebraiczną teorię K w 1959 r. To doprowadziło go do wskazania otwartego problemu, który wbrew sobie nazwaliśmy „ hipotezą Serre'a ”: Każdy moduł rzutowy na pierścieniu wielomianów ciała jest modułem swobodnym. To przypuszczenie zostało udowodnione w 1976 roku przez Daniela Quillena i Andrei Suslina przy użyciu algebraicznych metod K-teorii. Quillen podał następnie zadowalającą definicję funktorów K n , posługując się teorią homotopii.
Oprócz wspomnianych już matematyków Max Karoubi jest jednym z twórców teorii K.
Częstotliwość Dna
-
K ( X × S 2 ) = K ( X ) ⊗ K (S 2 ) i K (S 2 ) = ℤ [ H ] / ( H - 1) 2 , gdzie H jest klasą wiązki w liniach tautologicznych na S 2 = ℂP 1 .
- K.~nie+2(X)=K.~nie(X).{\ Displaystyle {\ tylda {K}} ^ {n + 2} (X) = {\ tylda {K}} ^ {n} (X).}
- Ω2bU≃bU×Z.{\ Displaystyle \ Omega ^ {2} \ mathrm {BU} \ simeq \ mathrm {BU} \ razy \ mathbb {Z}.}
K-teoria algebry Banacha A (unitarnej lub nie) i jej unitaryzowanej A 1 są powiązane:
K 0 ( A 1 ) = K 0 ( A ) ⊕ ℤ i K 1 ( A 1 ) = K 1 ( A ).
K-teoria C * -algebry funkcji ciągłych na zwartej przestrzeni Y jest zatem wydedukowana z podalgebry zerowych funkcji ciągłych w ustalonym punkcie y , innymi słowy, z algebry C 0 ( X ) funkcji ciągłych zero w nieskończoności w lokalnie zwartej podprzestrzeni X = Y \ { y } (dla Y = S n , X = ℝ n ).
Mamy również następujący katalog:
W{\ displaystyle A}
|
K.0(W){\ Displaystyle K_ {0} (A)}
|
K.1(W){\ Displaystyle K_ {1} (A)}
|
---|
K.{\ displaystyle \ mathbb {K}}
|
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
|
0{\ displaystyle 0}
|
b{\ displaystyle \ mathbb {B}}
|
0{\ displaystyle 0}
|
0{\ displaystyle 0}
|
b/K.{\ displaystyle \ mathbb {B} / \ mathbb {K}}
|
0{\ displaystyle 0}
|
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
|
VS0(R2nie){\ Displaystyle C_ {0} (\ mathbb {R} ^ {2n})}
|
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
|
0{\ displaystyle 0}
|
VS0(R2nie+1){\ Displaystyle C_ {0} (\ mathbb {R} ^ {2n + 1})}
|
0{\ displaystyle 0}
|
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
|
Wθ{\ displaystyle A _ {\ theta}}
|
Z2{\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}
|
Z2{\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}
|
VSr∗(fanie){\ Displaystyle C_ {r} ^ {*} (F_ {n})}
|
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
|
Znie{\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}
|
T{\ displaystyle {\ mathcal {T}}}
|
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
|
0{\ displaystyle 0}
|
Onie{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {n}}
|
Z/(nie-1)Z{\ Displaystyle \ mathbb {Z} / (n-1) \ mathbb {Z}}
|
0{\ displaystyle 0}
|
O∞{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ infty}}
|
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
|
0{\ displaystyle 0}
|
lub
-
K.{\ displaystyle \ mathbb {K}}jest C * -algebra o zwartej operatorów o niezerowej przestrzeni Hilberta (o ograniczonej lub nieskończonej wymiaru);
-
b{\ displaystyle \ mathbb {B}}jest C * -algebrą ograniczonych operatorów nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta;
-
Wθ{\ displaystyle A _ {\ theta}}jest nieprzemiennym torusem wymiaru 2 związanym z liczbą niewymierną ;θ{\ displaystyle \ theta}
-
VSr∗(fanie){\ Displaystyle C_ {r} ^ {*} (F_ {n})}jest zmniejszona C * -algebra (PL) z wolną grupą nad n elementów;fanie{\ displaystyle F_ {n}}
-
T{\ displaystyle {\ mathcal {T}}}jest algebrą Toeplitza ;
-
Onie{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {n}}i są algebrami Cuntza (en) wygenerowanymi odpowiednio przez n elementów i nieskończoność elementów.O∞{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ infty}}
Pojęcie nieprzemiennego torusa można łatwo uogólnić na wyższe wymiary. Te nieprzemienne torusy mają tę samą teorię K, co ich przemienne analogi .
Niech A i B będą dwoma C * -algebrami z A w klasie twierdzenia uniwersalnym współczynniku , stąd jądro (de) . Istnieje wówczas istnieje dokładnie krótka sekwencja o abelowa grupy ℤ 2 -graduates :
0→K.∗(W)⊗K.∗(b)→K.∗(W⊗b)→Tor1Z(K.∗(W),K.∗(b))→0,{\ Displaystyle 0 \ rightarrow K _ {*} (A) \ otimes K _ {*} (B) \ rightarrow K _ {*} (A \ otimes B) \ rightarrow {\ rm {Tor}} _ {1} ^ {\ mathbb {Z}} (K _ {*} (A), K _ {*} (B)) \ rightarrow 0,}
gdzie pierwsza nietrywialnym mapa jest stopnia 0, a drugi stopnia 1. Tor funktora umożliwia zatem wyrazić ewentualny brak surjectivity z injective morfizmu .
Na przykład, ponieważ K 0 (C (S 1 )) = K 1 (C (S 1 )) = ℤ (bez skręcania ), algebra C (S 1 ) ⊗ n funkcji ciągłych na torusie wymiaru n ma dla K-teoria: K 0 ⊕ εK 1 = (ℤ ⊕ εℤ) ⊗ n (przy ε 2 = 1), czyli ℤ 2 n –1 ⊕ εℤ 2 n –1 .
K-teoria i fizyka
W teorii strun , K-teoria dostarczyła dobrego opisu dopuszczalnych ładunków D-bran .
Uwagi i odniesienia
-
„Nie wiemy, czy istnieją projekcyjne moduły A typu skończonego, które nie są wolne. „ Coherent Algebraic Sheaves”, Annals of Mathematics , 1955.
-
Inne przykłady, patrz (w) „ Przykłady grup K-teorii ” na PlanetMath i (w) DO Wegge-Olsen (w) , K-teoria i C * -algebras , Oxford Science Publications, 1993.
-
(w) Pan Pimsner i DV Voiculescu , „ Grupy K zredukowanych produktów krzyżowych przez wolne grupy ” , J. Operator Theory , t. 8, N O 1,1982, s. 131-156 ( czytaj online ), róg. 3.2.
-
(w) Bruce Blackadar (z) , Algebry operatorów ( ISBN 978-3-540-28486-4 , czytaj online ) , str. 417, Twierdzenie V.1.5.10.
Zobacz też
Powiązane artykuły
Linki zewnętrzne
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">