Minkowski funkcjonalny

W geometrii pojęcie cechowania uogólnia, że z pół-normą . W każdej części C z ℝ - wektor przestrzeni E jest związany z wymiarem, albo funkcjonalny z Minkowskiego p C , która jest realizacja z e w [0, ∞] pomiar, dla każdego wektora, które raport może się rozwijać C obejmuje ten wektor . Jak tylko C zawiera początek, C jest pozytywnie jednorodny  ; Jeśli C jest wystąpił w odniesieniu do 0 , P C ma inne właściwości podstawowej. Jeśli C jest wypukłe - przypadek najczęściej badany - p C jest nawet podliniowy , ale niekoniecznie jest symetryczny i może przyjmować nieskończone wartości. Przy pewnych dodatkowych założeniach p C jest półnormą, której C jest kulą jednostkową .

Pojęcie to pojawia się w analizie funkcjonalnej (dowód analitycznej postaci twierdzenia Hahna-Banacha ), w optymalizacji (problem nakładania się cechowania , optymalizacja stożkowa ), w uczeniu maszynowym , w geometrii liczb ( drugie twierdzenie Minkowskiego )  itp.

W całym artykule E oznacza rzeczywistą przestrzeń wektorową, o której w razie potrzeby zakłada się, że jest topologiczna .

Skrajnia dowolnej części

Określenie  -  „wskaźnik lub Minkowskiego funkcjonalny” w części od jest zastosowanie określonego przez: W{\ displaystyle A}mi{\ displaystyle E}pW:mi→[0,+∞]{\ Displaystyle p_ {A}: E \ do \ lewo [0, + \ infty \ prawej]}

∀x∈mipW(x): =inf{λ>0∣x∈λW}{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad p_ {A} (x): = \ inf {\ {\ lambda> 0 \ mid x \ in \ lambda A \}}}. Przykład Niech i takie to . Za wszystko , i dla wszystkiego , inf (∅) = + ∞ .mi=R{\ displaystyle E = \ mathbb {R}}W⊂R+∗{\ Displaystyle A \ subset \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}łyk(W)=1{\ Displaystyle \ sup (A) = 1}x>0{\ displaystyle x> 0}pW(x)=x{\ Displaystyle p_ {A} (x) = x}x≤0{\ displaystyle x \ leq 0}pW(x)={\ Displaystyle p_ {A} (x) =} Pierwsze uwagi

• W⊂pW-1([0,1])⊂dom⁡pW=∪λ>0λW{\ Displaystyle A \ podzbiór p_ {A} ^ {- 1} (\ lewo [0,1 \ prawo]) \ podzbiór \ nazwa operatora {dom} {p_ {A}} = \ kubek _ {\ lambda> 0} \ , \ lambda A}. W szczególności, jeśli i mamy:pW(0)=+∞{\ Displaystyle p_ {A} (0) = + \ infty}0∉W{\ displaystyle 0 \ notin A}

Wystarczający warunek skończenia  -  Si jest absorbentem, więc ma wartość skończoną. W{\ displaystyle A}pW{\ displaystyle p_ {A}}

• W↦pW{\ displaystyle A \ mapsto p_ {A}}maleje: dla wszystkich części i ,W{\ displaystyle A}b{\ displaystyle B} W⊂b⇒pW≥pb{\ Displaystyle A \ podzbiór B \ Rightarrow p_ {A} \ geq p_ {B}}.
• Te zestawy podrzędnych z są homothetic  :pW{\ displaystyle p_ {A}}∀t>0pW-1([0,t])=tpW-1([0,1]){\ Displaystyle \ forall t> 0 \ quad p_ {A} ^ {- 1} (\ lewo [0, t \ prawo]) = t \, p_ {A} ^ {- 1} (\ lewo [0,1 \ dobrze])}lub, co jest równoważne, dla dowolnego wektora , .x{\ displaystyle x}∀t>0pW(tx)=tpW(x){\ Displaystyle \ forall t> 0 \ quad p_ {A} (tx) = t \, p_ {A} (x)}
• Dlatego jest: pW{\ displaystyle p_ {A}}
  • „Zamknięte” (to znaczy poniżej półciągłe ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięte ,pW-1([0,1]){\ Displaystyle p_ {A} ^ {- 1} (\ lewo [0,1 \ prawo])}
  • półciągłe wyższe wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarte .pW-1([0,1[){\ Displaystyle p_ {A} ^ {- 1} (\ lewo [0,1 \ prawo [)}
• p-W(x)=pW(-x){\ displaystyle p _ {- a} (x) = p_ {a} (- x)}(więc jeśli jest symetryczne w porównaniu z 0 to ).W{\ displaystyle A}∀t∈R∗pW(tx)=|t|pW(x){\ Displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R} ^ {*} \ quad p_ {A} (tx) = | t | \, p_ {A} (x)}
• ∀t>0ptW=t-1pW{\ displaystyle \ forall t> 0 \ quad p_ {tA} = t ^ {- 1} \, p_ {A}}.
• Jeśli następnie dlatego jest korzystnie homogeniczny , to jest poprzednie równanie funkcjonalna posiada nie tylko do , ale także  :0∈W{\ displaystyle 0 \ in A}pW(0)=0{\ Displaystyle p_ {A} (0) = 0}pW{\ displaystyle p_ {A}}t>0{\ displaystyle t> 0}t=0{\ displaystyle t = 0}
  ∀t≥0∀x∈mipW(tx)=tpW(x){\ Displaystyle \ forall t \ geq 0 \ quad \ forall x \ in E \ qquad p_ {A} (tx) = t \, p_ {A} (x)}.
  
  Następna sekcja pokazuje, że odwrotnie, każda pozytywnie jednorodna funkcja in jest miernikiem (tj. Jest miernikiem części ).mi{\ displaystyle E}[0,+∞]{\ Displaystyle \ lewo [0, + \ infty \ prawej]}mi{\ displaystyle E}

Skrajnia części gwiaździstej

Przed uściśleniem badania w bardziej użytecznym konkretnym przypadku wypukłości zawierającej 0 , rozważmy część oznaczoną gwiazdką (w porównaniu do 0 , która będzie teraz niejawna), tj. Część zawierającą 0 i taką niż S⊂mi{\ Displaystyle S \ podzbiór E}

∀x∈S[0,x]⊂S{\ Displaystyle \ forall x \ w S \ quad \ lewo [0, x \ w prawo] \ podzbiór S}.

Właściwości algebraiczne

Wiemy już o tym i to jest pozytywnie jednorodne. Nowa hipoteza pozwala wyjaśnić sytuację: S⊂pS-1([0,1]){\ Displaystyle S \ podzbiór p_ {S} ^ {- 1} (\ lewo [0,1 \ prawo])}pS{\ displaystyle p_ {S}}

Charakterystyka  -  Skrajnia części gwiaździstej sprawdza:S{\ displaystyle S} {x∈mi∣pS(x)<1}⊂S⊂{x∈mi∣pS(x)≤1}{\ displaystyle \ {x \ in E \ mid p_ {S} (x) <1 \} \ podzbiór S \ podzbiór \ {x \ in E \ mid p_ {S} (x) \ równoważnik 1 \}}.

I odwrotnie, dla każdej dodatnio jednorodnej funkcji (w sensie zdefiniowanym powyżej ), części miernika gwiazdy są zbiorami zawartymi między i . p:mi→[0,+∞]{\ Displaystyle p: E \ do \ w lewo [0, + \ infty \ w prawo]}p{\ displaystyle p}p-1([0,1[){\ Displaystyle p ^ {- 1} (\ lewo [0,1 \ prawo [)}p-1([0,1]){\ Displaystyle p ^ {- 1} (\ lewo [0,1 \ prawo])}

Dodatkowo :

• dla wszystkich oznaczonych części i , (co jest bardziej dokładne niż wzrost prosty z );S1{\ Displaystyle S_ {1}}S2{\ Displaystyle S_ {2}}pS1∩S2(x)=max(pS1(x),pS2(x)){\ Displaystyle p_ {S_ {1} \ nasadka S_ {2}} (x) = \ max {\ lewo (p_ {S_ {1}} (x), p_ {S_ {2}} (x) \ prawej) }}S↦pS{\ displaystyle S \ mapsto p_ {S}}
• pS-1({0})=∩ε>0εS{\ Displaystyle p_ {S} ^ {- 1} (\ {0 \}) = \ nasadka _ {\ varepsilon> 0} \ varepsilon S}w związku z tym , co zapewnia pierwszy z dwóch poniższych odpowiedników;pS(x)=0⇔R+x⊂S{\ Displaystyle p_ {S} (x) = 0 \ Leftrightarrow \ mathbb {R} _ {+} x \ podzbiór S}
• niezbędny staje się warunek wystarczającej skończoności, znaleziony poprzednio dla dowolnej części (druga równoważność).

Niezbędne i wystarczające warunki braku degeneracji i skończoności  -  Lub część gwiazdowa. S{\ displaystyle S}

• pS{\ displaystyle p_ {S}}jest anulowany tylko w 0 wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera żadnej półprostej wynikającej z pochodzenia.S{\ displaystyle S}
• pS{\ displaystyle p_ {S}}ma wartość skończoną wtedy i tylko wtedy, gdy jest chłonna.S{\ displaystyle S}

Te dwa warunki zostaną przeformułowane później, w przypadku wypukłości o skończonym wymiarze.

Czasami jednym z dwóch inkluzji powyższej charakterystyki jest równość:

• jeśli S jest otwarte, to  ;S=pS-1([0,1[){\ Displaystyle S = p_ {S} ^ {- 1} (\ lewo [0,1 \ prawo [)}
• jeśli S jest zamknięty, to .S=pS-1([0,1]){\ Displaystyle S = p_ {S} ^ {- 1} (\ lewo [0,1 \ prawo])}

Skrajnia wypukła

Jeśli miernik zerowy przy 0 jest wypukły, to dwa zestawy i są nie tylko oznaczone gwiazdką, ale także wypukłe , i jest to miernik tych dwóch wypukłości. Mierniki tego typu charakteryzują się następującą właściwością. p{\ displaystyle p}p-1([0,1]){\ Displaystyle p ^ {- 1} (\ lewo [0,1 \ prawo])}p-1([0,1[){\ Displaystyle p ^ {- 1} (\ lewo [0,1 \ prawo [)}p{\ displaystyle p}

O aplikacji mówi się , że jest nieliniowa, jeśli: p:mi→R∪{+∞}{\ Displaystyle p: E \ do \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}

• pozytywnie jednorodny ( patrz wyżej ) i
• Sub-Dodatek  : .∀x,y∈mip(x+y)≤p(x)+p(y){\ Displaystyle \ forall x, r \ in E \ quad p (x + y) \ równoważnik p (x) + p (y)}

Każda mapa podliniowa jest wypukła i dla miernika zerowego przy 0 te dwa pojęcia są równoważne:

Skrajnia wypukła  -  Jeśli część zawierająca 0 jest wypukła, jej skrajnia jest podliniowa.

Demonstracja

Dodatnia jednorodność jest natychmiastowa i dla subaddytywności wystarczy zauważyć, że jeśli i wtedy , ponieważ należy do wypukłości , jako wypukła kombinacja dwóch elementów . W przeciwnym razie wynik jest natychmiastowy. pVS(x),pVS(y)≠+∞{\ Displaystyle p_ {C} (x), p_ {C} (r) \ neq + \ infty}pVS(x)<w{\ displaystyle p_ {C} (x) <a}pVS(y)<b{\ displaystyle p_ {C} (y) <b}pVS(x+y)≤w+b{\ displaystyle p_ {C} (x + y) \ leq a + b}x+yw+b=wxw+bxbw+b{\ Displaystyle {\ Frac {x + y} {a + b}} = {\ Frac {a {\ Frac {x} {a}} + b {\ Frac {x} {b}}} {a + b }}}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}

Converse jest fałszywe, co ilustruje poniższy przykład pokazuje.

Przykład

Funkcja podliniowa, na której warto, jeśli i jeśli , jest miernikiem dwóch wypukłości i , jak również wszystkich zbiorów pośrednich (wszystkie oznaczone gwiazdką, ale nie wszystkie wypukłe). p{\ displaystyle p}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}(x1,x2)≠(0,0){\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ neq (0,0)}x2{\ displaystyle x_ {2}}x2>0{\ displaystyle x_ {2}> 0}+∞{\ displaystyle + \ infty}x2≤0{\ displaystyle x_ {2} \ leq 0}p-1([0,1[)=(R×]0,1[)∪{(0,0)}{\ Displaystyle p ^ {- 1} (\ lewo [0,1 \ prawo [) = \ lewo (\ mathbb {R} \ razy \ lewo] 0,1 \ prawo [\ prawo) \ kubek \ {(0, 0) \}}p-1([0,1])=(R×]0,1])∪{(0,0)}{\ Displaystyle p ^ {- 1} (\ lewo [0,1 \ prawo]) = \ lewo (\ mathbb {R} \ razy \ lewo] 0,1 \ prawo] \ prawo) \ kubek \ {(0, 0) \}}

Mierniki podliniowe nie przyjmują wartości + ∞

Zauważyliśmy już, że skrajnia części gwiaździstej ma skończone wartości wtedy i tylko wtedy, gdy jest chłonna. S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}

Każde sąsiedztwo 0 jest chłonne; w wymiarze skończonym możemy łatwo zweryfikować, że odwrotnie, każde pochłaniające wypukłe C jest sąsiedztwem 0 - możemy to zrobić dość elegancko, zauważając, że jako funkcja wypukła o skończonych wartościach i zdefiniowana wszędzie jest wtedy ciągła i że zbiór (zawierający 0 i zawarty w C ) jest zatem otwarty. W podsumowaniu : pVS{\ displaystyle p_ {C}}{x∈mi∣pVS(x)<1}{\ displaystyle \ {x \ in E \ mid p_ {C} (x) <1 \}}

Twierdzenie  -  Niech C będzie wypukłością zawierającą 0 w skończonej przestrzeni wymiarowej. Więc jego wskaźnik jest skończone wartości tylko wtedy, gdy 0 jest wnętrze do C .

Kiedy 0 znajduje się wewnątrz C , możemy uzyskać prosty mentalny obraz miernika poprzez jego powierzchnie poziomu: zbiór punktów, w których przyjmuje wartość 1, jest dokładnie granicą wypukłości; płaszczyzny poziomu dla pozostałych wartości ściśle dodatnich są homotetyką tej granicy; w ewentualnych punktach nieobjętych spotkaniem tych płaskich powierzchni skrajnia przyjmuje wartość 0.

Wreszcie możemy zauważyć, że (dla rzeczywistej przestrzeni wektorowej), jeśli C jest symetryczne względem 0, a miernik omija wartość + ∞ , to miernik jest wówczas półnormą  ; To samo dotyczy złożonej przestrzeni wektorowej, jeśli żąda się ulepszonej wersji symetrii , a mianowicie niezmienności po pomnożeniu przez dowolny zespół modułu 1 .

Wskaźniki podliniowe odwołujące się tylko w miejscu pochodzenia

Zauważyliśmy już, że skrajnia części oznaczonej gwiazdką jest kasowana tylko na początku wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera żadnej półprostej wynikającej z pochodzenia. S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}

Jeśli jest ograniczony (w znormalizowanej przestrzeni wektorowej lub bardziej ogólnie w oddzielnej topologicznej przestrzeni wektorowej ), to nie zawiera takiej półprostej. S{\ displaystyle S}

Odwrotność jest prawdziwa dla zamkniętego wypukłości w skończonym wymiarze i zostałaby wykazana przez wykorzystanie zwartości kuli o promieniu 1 (jedyna hipoteza „wypukłości” nie jest tutaj wystarczająca: por. § „Przykład” powyżej ):

Twierdzenie  -  Niech C będzie zamkniętą wypukłością zawierającą 0 w skończonej przestrzeni wymiarowej. Wtedy jego miernik znika tylko na początku wtedy i tylko wtedy, gdy C jest ograniczony .

Przykłady użycia

• W teorii topologicznych przestrzeni wektorowych to właśnie poprzez wprowadzenie odpowiedniego zbioru mierników można scharakteryzować przestrzenie lokalnie wypukłe w kategoriach półnorm.
• W geometrii wypukłej miernik jest interesującym narzędziem do zredukowania problemu czysto geometrycznego (poszukiwanie hiperpłaszczyzny ) do problemu analitycznego (poszukiwanie równania hiperpłaszczyzny). Tak więc w dowodzeniu „formy geometrycznej” twierdzenia Hahna-Banacha - podstawy całej teorii rozdziału wypukłości i hiperpłaszczyzn podpierających - istotnym krokiem jest obserwacja, że ​​hiperpłaszczyzna równania f ( x ) = 1 to unika danego wypukłym C (otwarty i zawiera 0), tak samo jak pytanie f zwiększyć p C .

Aspekty obliczeniowe

W tym punkcie, będzie wyłącznie o sub-liniowej mierników na przestrzeni euklidesowej , którego produkt skalarne zauważyć . mi{\ displaystyle E}⟨⋅,⋅⟩{\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}

Dla takiego miernika oznaczymy jego zestaw podpoziomów  : p{\ displaystyle p}VSp{\ displaystyle C_ {p}}1{\ displaystyle 1}

VSp: ={x∈mi∣p(x)≤1}{\ displaystyle C_ {p}: = \ {x \ in E \ mid p (x) \ równoważnik 1 \}}.

Przypomnijmy, że przyczepność na części z zauważyć, oraz że polarny od jest zamknięty wypukłą zawierający źródło, znany i określona P.{\ displaystyle P}mi{\ displaystyle E}P.¯{\ displaystyle {\ overline {P}}}P.{\ displaystyle P}

P.∘: ={y∈mi∣∀x∈P.⟨y,x⟩≤1}.{\ displaystyle P ^ {\ circ}: = \ {y \ in E \ mid \ forall x \ in P \ quad \ langle y, x \ rangle \ równoważnik 1 \}.}

Możemy podać inny wyraz bieguna  : VSp{\ displaystyle C_ {p}}

VSp∘={y∈mi∣∀x∈mi⟨y,x⟩≤p(x)}{\ Displaystyle {C_ {p}} ^ {\ circ} = \ {y \ in E \ mid \ forall x \ in E \ quad \ langle y, x \ rangle \ leq p (x) \}}.

Przyczepność

Uchwyt lub zamknięcie to miernik, taki jak .p{\ displaystyle p}p¯{\ displaystyle {\ overline {p}}}VSp¯=VSp¯{\ displaystyle C _ {\ overline {p}} = {\ overline {C_ {p}}}}

W związku z tym :

• p¯{\ displaystyle {\ overline {p}}}to największy zamknięty ogranicznik opuszczania  ;p{\ displaystyle p}
• z epigrafy z i są połączone .p{\ displaystyle p}p¯{\ displaystyle {\ overline {p}}}ucho⁡(p¯)=ucho⁡p¯{\ displaystyle \ operatorname {epi} ({\ overline {p}}) = {\ overline {\ operatorname {epi} p}}}

Polarny

Polarny z jest szerokością tak, że . p{\ displaystyle p}p∘{\ displaystyle p ^ {\ circ}}VSp∘=VSp∘{\ displaystyle C_ {p ^ {\ circ}} = {C_ {p}} ^ {\ circ}}

Nieruchomości

• p∘{\ displaystyle p ^ {\ circ}} zamknięte.
• ∀y∈mip∘(y)=inf{s>0∣∀x∈mi⟨x,y⟩≤sp(x)}{\ displaystyle \ forall y \ in E \ quad p ^ {\ circ} (y) = \ inf {\ {s> 0 \ mid \ forall x \ in E \ quad \ langle x, y \ rangle \ leq s \ , p (x) \}}}.
• Dwubiegunowy jest równy jego adhezji: (ponieważ zgodnie z właściwościami zespołu bipolarnego ).p{\ displaystyle p}p∘∘=p¯{\ Displaystyle p ^ {\ circ \ circ} = {\ overline {p}}}VSp∘∘=VSp¯{\ displaystyle {C_ {p}} ^ {\ circ \ circ} = {\ overline {C_ {p}}}}
• Polarny z jest równa funkcji nośnej w związku z tym do koniugatu w funkcji wskaźnika z .pVS{\ displaystyle p_ {C}}σVS{\ displaystyle \ sigma _ {C}}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}
• Jeśli jest normą, jest jej podwójną normą (w szczególności jeśli jest normą euklidesową ).p{\ displaystyle p}p∘{\ displaystyle p ^ {\ circ}}p{\ displaystyle p}p∘=p{\ displaystyle p ^ {\ circ} = p}
• Uogólniona nierówność Cauchy'ego-Schwarza :∀x∈dom⁡p∀y∈dom⁡p∘⟨x,y⟩≤p(x)p∘(y){\ displaystyle \ forall x \ in \ operatorname {dom} p \ quad \ forall y \ in \ operatorname {dom} p ^ {\ circ} \ quad \ langle x, y \ rangle \ leq p (x) p ^ { \ circ} (y)}SO (wymianie z )p{\ displaystyle p}p∘{\ displaystyle p ^ {\ circ}}∀x∈dom⁡p∘∘∀y∈dom⁡p∘⟨x,y⟩≤p∘∘(x)p∘(y){\ displaystyle \ forall x \ in \ operatorname {dom} p ^ {\ circ \ circ} \ quad \ forall y \ in \ operatorname {dom} p ^ {\ circ} \ quad \ langle x, y \ rangle \ leq p ^ {\ circ \ circ} (x) p ^ {\ circ} (y)},co wzmacnia poprzednią nierówność od tego czasu .p∘∘=p¯≤p{\ displaystyle p ^ {\ circ \ circ} = {\ overline {p}} \ leq p}

Sub-dyferencjał

Różnica podrzędna z punktu spełnia∂p(x){\ Displaystyle \ częściowe p (x)}p{\ displaystyle p}x∈mi{\ displaystyle x \ in E}

∂p(x)={y∈VSp∘∣⟨y,x⟩=p(x)}{\ Displaystyle \ częściowe p (x) = \ {y \ w {C_ {p}} ^ {\ Circ} \ mid \ langle y, x \ rangle = p (x) \}}

(w szczególności i jeśli , ). ∂p(0)=VSp∘{\ Displaystyle \ częściowe p (0) = {C_ {p}} ^ {\ Circ}}p(x)=+∞{\ Displaystyle p (x) = + \ infty}∂p(x)=∅{\ Displaystyle \ częściowe p (x) = \ varnothing}

Możemy wywnioskować:

∂p(x)⊂{\ Displaystyle \ częściowe p (x) \ podzbiór}argmax , z równością, jeślijest zamknięty.y∈VSp∘⟨y,x⟩{\ displaystyle {} _ {y \ in {C_ {p}} ^ {\ circ}} \ langle y, x \ rangle}p{\ displaystyle p}

Kilka uwag do powyższego wyniku.

• Istnieją mierniki i punkty, dla których powyższe uwzględnienie jest ścisłe. Jest to przypadek, w euklidesowej płaszczyzny , na mierniku w § „Przykład” powyżej i punktem  :, , a w związku z tym .p{\ displaystyle p}x{\ displaystyle x}
  p{\ displaystyle p}x: =(1,0){\ Displaystyle x: = (1,0)}∂p(x)=∅{\ Displaystyle \ częściowe p (x) = \ varnothing}VSp∘=(R×]0,1])∘={0}×]-∞,1]{\ Displaystyle {C_ {p}} ^ {\ circ} = \ lewo (\ mathbb {R} \ razy \ lewo] 0,1 \ prawo] \ prawo) ^ {\ circ} = \ {0 \} \ razy \ left] - \ infty, 1 \ right]}argmaxy∈VSp∘⁡⟨y,x⟩=VSp∘{\ displaystyle \ operatorname {argmax} _ {y \ in {C_ {p}} ^ {\ circ}} \ langle y, x \ rangle = {C_ {p}} ^ {\ circ}}
• p{\ displaystyle p}jest poniżej różniczkowalnymi w każdej chwili , jeżeli i tylko jeżeli 0 to wnętrze na . Rzeczywiście ( patrz wyżej ) 0 jest wewnątrz wtedy i tylko wtedy, gdy przyjmuje tylko skończone wartości. Teraz, jeśli przyjmuje tylko skończone wartości, to jest sub-różniczkowalny we wszystkich punktach (ponieważ jest wypukły) i odwrotnie (ponieważ ).mi{\ displaystyle E}VSp{\ displaystyle C_ {p}}
  VSp{\ displaystyle C_ {p}}p{\ displaystyle p}p{\ displaystyle p}∂p(x)≠∅⇒p(x)≠+∞{\ Displaystyle \ częściowe p (x) \ neq \ varnothing \ Rightarrow p (x) \ neq + \ infty}

Uwagi i odniesienia

• Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu „  Miernik (analiza wypukła)  ” (patrz lista autorów ) .

Uwagi

1. The skutecznego domeny z funkcji z wartościami w ℝ jest zbiór punktów, w których nie bierze wartość .dom⁡p{\ displaystyle \ operatorname {dom} p}p{\ displaystyle p}+∞{\ displaystyle + \ infty}
2. Zgodnie z konwencją (por. Np. Rockafellar 1970 , s.  24 lub Schechter 1997 , s.  313).0×∞=0{\ Displaystyle 0 \ razy \ infty = 0}
3. Ta precyzja, zbędna w tym artykule, będzie odtąd domniemana. Należy jednak pamiętać, że (w) HG Eggleston Convexity , Cambridge University Press ,1958( czytaj online ) , s.  47zwane „funkcje cechowania” to sublinear odwzorowania (z wartościami ); (en) A. Wayne Roberts i Dale E. Varberg, Convex Functions , Academic Press,p:mi→R∪{+∞}{\ Displaystyle p: E \ do \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}1974( czytaj online ) , s.  216, nazwali więc te z wartościami w  ; i Rockafellar 1970 , s.  128, te z wartościami w , ponieważ wykluczył ze swoich badań mierniki zbiorów niewypukłych.R{\ displaystyle \ mathbb {R}}[0,+∞]{\ Displaystyle \ lewo [0, + \ infty \ prawej]}
4. Stożek ten jest opisany w artykule "  Stożek asymptotyczny  ", gdzie zakłada się, że jest wypukły.S∞(0){\ Displaystyle S ^ {\ infty} (0)}S{\ displaystyle S}
5. Funkcja wsparcie części z jest określone .P.{\ displaystyle P}mi{\ displaystyle E}∀y∈miσP.(y): =łyk{⟨y,x⟩∣x∈P.}{\ displaystyle \ forall y \ in E \ quad \ sigma _ {P} (r): = \ sup {\ {\ langle y, x \ rangle \ mid x \ in P \}}}
6. Koniugat funkcji jest określony przez .fa∗{\ displaystyle f ^ {*}}fa:mi→R¯{\ displaystyle f: E \ to {\ overline {\ mathbb {R}}}}∀y∈mifa∗(y): =łyk{⟨y,x⟩-fa(x)∣x∈mi}{\ Displaystyle \ forall y \ in E \ quad f ^ {*} (r): = \ sup {\ {\ langle y, x \ rangle -f (x) \ mid x \ in E \}}}
7. W analizie wypukłej, funkcja wskaźnik ramach części o to funkcja, która znika na i przyjmuje wartość na uzupełnienie .P.{\ displaystyle P}mi{\ displaystyle E}P.{\ displaystyle P}+∞{\ displaystyle + \ infty}P.{\ displaystyle P}
8. Aby to zobaczyć, możemy na przykład użyć poprzedniej relacji .p∘=σVSp{\ displaystyle p ^ {\ circ} = \ sigma _ {C_ {p}}}
9. Mówimy, że jest sub-różniczkowalny w si .p{\ displaystyle p}x{\ displaystyle x}∂p(x)≠∅{\ Displaystyle \ częściowe p (x) \ neq \ varnothing}

Bibliografia

1. Aliprantis i Border 2006 . Wielu autorów definiuje to tylko dla wypukłości zawierającej 0  :
   • Claude Berge , topologiczne przestrzenie: funkcje multivocal , Dunod ,1959, rozdz.  VII § 5 ;
   • Laurent Schwartz , analiza Hilberta , Hermann ,1979, s.  44 ;
   • A. Badrikian, „Remarks on theorems of Bochner and P. Lévy” , w: Symposium on Probability Methods in Analysis , Springer, coll.  „Notatki do wykładów z matematyki. „( N O  31)1967, s.  1-19, s.  3  : „  V otwarte zrównoważone wypukłe sąsiedztwo zera i P V jego skrajnia (lub„ funkcjonał Minkowskiego ”)”  ;
   • Gilbert Demengel i Françoise Demengel, Przestrzenie funkcjonalne: zastosowanie w rozwiązywaniu równań różniczkowych cząstkowych , EDP ​​Sciences ( czytaj online ) , str.  51, ćwiczenie 1. 7: „wypukły, zrównoważony i absorbujący zbiór topologicznej przestrzeni wektorowej X , zawierający 0. Definiujemy funkcjonał Minkowskiego p , a nawet miernik wypukły”  ;
   • itp.
2. W przypadku gwiazdką części w odniesieniu do 0 , jest to równoznaczne z definicji przez Schechter 1997 z jego „Minkowski funkcjonalny”  : jest dolna granica tego przedziału , który zawiera .S{\ displaystyle S} pS(x){\ displaystyle p_ {S} (x)} {λ∈]0,+∞]∣λ-1x∈S}{\ displaystyle \ {\ lambda \ in \ left] 0, + \ infty \ right] \ mid \ lambda ^ {- 1} x \ in S \}}+∞{\ displaystyle + \ infty}
3. Schechter 1997 , Aliprantis i Border 2006 .
4. Nawfal El Hage Hassan, Topologia ogólna i przestrzenie standardowe , Dunod,2018( 1 st  ed. 2011) ( czytaj on-line ) , s.  428.
5. Cédric Villani , „  Analiza II: kurs prowadzony w École normale supérieure de Lyon  ” , 2003-2004 , § I.2.
6. Wyniki tej sekcji pochodzą z Rockafellar 1970 , Hiriart-Urruty i Lemaréchal 2004 , Friedlander, Macêdo i Pong 2014 oraz Gilbert 2016 .
7. Ta własność zajmuje miejsce definicji w Rockafellar 1970 , s.  128.p∘{\ displaystyle p ^ {\ circ}}
8. Rockafellar 1970 , s.  130.

Bibliografia

• (en) Charalambos D. Aliprantis and Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , Springer ,2006, 3 e  ed. ( 1 st  ed. 1994) ( czytaj on-line ) , rozdz.  5.8 („Funkcje i mierniki podliniowe”) , s.  190-194
• (en) M. Friedlander, I. Macêdo i TK Pong, „  Optymalizacja miernika i dwoistość  ” , SIAM Journal on Optimization , tom.  24 N O  4,2014, s.  1999-2022 ( DOI  10.1137 / 130940785 , arXiv  1310.2639 )
• (en) J. Ch. Gilbert , „  On the solution unikeness characterization in the L1 normal and polyhedr gauge recovery  ” , Journal of Optimization Theory and Applications , tom.  1, N O  1,2016, s.  1-32 ( DOI  10.1007 / s10957-016-1004-0 )
• (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty i Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis , Berlin Heidelberg New York, Springer, coll.  "Tekst Grundlehren",2004( 1 st  ed. 2001) ( czytaj on-line ) , s.  128-130
• (en) R. Tyrrell Rockafellar , Convex Analysis , Princeton, New Jersey, Princeton University Press , pot.  "Princeton serii matematyczny" ( N O  , 28),1970( czytaj online )
• (en) Eric Schechter  (en) , Handbook of Analysis and Its Foundations , Academic Press ,1997( czytaj online ) , „Minkowski Functionals” , s.  315-317

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">