W Algebra , formalne serii to uogólnienie wielomianów pozwalających nieskończone sum, w taki sam sposób, jak w analizie , seria całkowite uogólnić funkcje wielomianowe , przy czym w ramach algebraicznej problemy zbieżności unika się doraźne definicje . Obiekty te są przydatne do zwięzłego opisywania sekwencji i znajdowania wzorów na sekwencje zdefiniowane przez indukcję poprzez tak zwane szeregi generujące .
Niech R będzie przemienne ( ujednolicony ) pierścienia . Pierścień R [[ X ]] posiadanie szeregu nad R w nieokreślony X jest grupa przemienna ( R N +) z sekwencji z wartościami R , wyposażone w pewną wewnętrzną mnożenia prawo . Dokładniej :
(jest to rodzaj dyskretnego produktu splotu ).
Te dwie operacje sprawiają, że R [[ X ]] jest pierścieniem przemiennym.
Topologia na R [[ X ]] najlepszym Dlatego, bez względu na współczynniki N w R , jest topologią utworzoną na R N, gdzie R jest wyposażony w topologię dyskretną .
Z założenia przestrzeń ta jest:
Zdajemy sobie sprawę z dystansu o topologii I -adic gdzie I = ( X ) jest wielokrotnością ideał X . To sprawia, że R [[ X ]] jest pierścieniem topologicznym (jeśli K jest polem przemiennym, K (( X )) jest również wyposażony w topologiczną strukturę pola ).
W konsekwencji właściwość, która uzasadniała wybór tej topologii, jest uogólniona: szereg wyrażenia ogólnego f n zbiega się w R [[ X ]] wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby naturalnej N prawie cały szereg formalny f n (au oznacza: Wszystkie ale skończona liczba ) są wielokrotnościami X N . Co więcej, wszelkie przegrupowania szeregu zbiegają się wtedy w kierunku tej samej granicy.
W analizie zbieżna cała seria definiuje funkcję z wartościami rzeczywistymi lub złożonymi. Szeregi formalne można również postrzegać jako funkcje, których zbiory początkowe i końcowe należy traktować ostrożnie. Jeśli f = ∑ a n X n jest elementem R [[ X ]], S jest algebrą przemienną i asocjacyjną na R , I ideałem S takim, że I -adyczna topologia na S jest kompletna, a x element Ja wtedy można zdefiniować:
Ta seria zbiega się w S dzięki założeniu na x . Ponadto :
i
Jednak te wzory nie są definicjami i należy je wykazać.
Ponieważ topologia nad R [[ X ]] jest topologią ( X ) -adyczną, a R [[ X ]] jest kompletna, możliwe jest zastosowanie szeregu formalnego do innego szeregu formalnego, pod warunkiem, że argumenty n 'nie mają stałej współczynnik: f (0), f ( X 2 - X ) if ((1 - X ) −1 - 1) są dobrze zdefiniowane dla dowolnego szeregu formalnego f ∈ R [[ X ]].
Za pomocą tego formalizmu możemy podać wyraźną formułę odwrotności (w sensie multiplikatywnym) szeregu formalnego f, którego stały współczynnik a = f (0) jest odwracalny w R :
Jeśli szereg formalny g z g (0) = 0 jest dany niejawnie przez równanie
gdzie f jest znanym szeregiem liczb całkowitych spełniającym f (0) = 0, wówczas współczynniki g można obliczyć jawnie za pomocą twierdzenia o inwersji Lagrange'a .
Jeśli f = ∑ a n X n jest elementem R [[ X ]], określamy jego formalną pochodną za pomocą operatora D zdefiniowanego przez
Ta operacja jest R - liniowa :
do a , b, z R i f , g w R [[ X ]].
Wiele własności klasycznego wyprowadzania funkcji ma zastosowanie do wyprowadzania szeregów formalnych. Na przykład zasada wyprowadzenia produktu jest prawidłowa:
a także zasada wyprowadzenia związku:
W pewnym sensie wszystkie szeregi formalne są szeregami Taylora , ponieważ jeśli f = ∑ a n X n , pisząc D k jako k- tą formalną pochodną, stwierdzamy, że
Możemy również w naturalny sposób zdefiniować wyprowadzenie dla formalnych szeregów Laurenta, w tym przypadku zasada ilorazu, oprócz reguł wymienionych powyżej, będzie również obowiązywać.
Najszybszym sposobem zdefiniowania pierścień R [[ X 1 , ..., X R ]] formalnych serii o R w R zmiennych rozruchów pierścienia S = R [ X 1 , ..., X R ] wielomianów na badania . Niech będę ideałem S wygenerowanym przez X 1 ,…, X r ; rozważmy wtedy topologię I -adyczną na S i dokończ ją (en) . Rezultatem tego zakończenia jest kompletny pierścień topologiczny zawierający S i oznaczony jako R [[ X 1 ,…, X r ]].
Dla n = ( n 1 ,…, n r ) ∈ N r , piszemy X n = X 1 n 1 … X r n r . Następnie każdy element R [[ X 1 ,…, X r ]] jest zapisywany jako niepowtarzalna suma w następujący sposób:
Sumy te są zbieżne dla dowolnego wyboru współczynników a n ∈ R, a kolejność, w jakiej sumowane są elementy, nie ma znaczenia.
Topologia na R [[ X 1 ,…, X r ]] to J -adyczna topologia , gdzie J jest ideałem R [[ X 1 ,…, X r ]] generowanym przez X 1 ,…, X r ( tzn. J składa się z szeregu, którego stały współczynnik wynosi zero).
Ponieważ R [[ X 1 ,…, X r ]] jest pierścieniem przemiennym, możemy zdefiniować jego pierścień szeregu formalnego, oznaczony jako R [[ X 1 ,…, X r ]]. Ten pierścień jest naturalnie izomorficzny z pierścieniem R [[ X 1 ,…, X r ]] zdefiniowanym wcześniej, ale te pierścienie są topologicznie różne.
Jeśli R jest główną, to R [[ X 1 ,…, X r ]] jest silnia .
Jeśli chodzi o szereg formalny z jedną zmienną, można „zastosować” szereg formalny z kilkoma zmiennymi do innego szeregu formalnego, pod warunkiem, że jego stały współczynnik a (0,…, 0) wynosi zero. Możliwe jest również zdefiniowanie pochodnych cząstkowych tych szeregów formalnych. Pochodne cząstkowe dojeżdżają tak samo, jak w przypadku funkcji różniczkowalnych.
Możemy użyć szeregów formalnych, aby udowodnić czysto algebraiczną część niektórych klasycznych tożsamości analizy. Na przykład serie formalne (z racjonalnymi współczynnikami ) weryfikuj (ostatnie wyrażenie zdefiniowane w pierścieniu Q [[ X, Y ]].
Wiele metod ( patrz szczegółowy artykuł) umożliwia przedstawienie ciągu za pomocą szeregu formalnego i wyjaśnienie terminów ciągu (lub przynajmniej informacji o jego zachowaniu) na podstawie obliczeń na powiązanych szeregach.
Pierścień szeregu formalnego R [[ X 1 ,…, X r ]] ma następującą właściwość uniwersalną :
wtedy istnieje unikalna mapa Φ: R [[ X 1 ,…, X r ]] → S weryfikująca
Niech G będzie całkowicie uporządkowane grupa abelowa .
Następnie możemy skonstruować zbiór R (( G )) sum
na podzestawy uporządkowany I do G , i gdzie i są elementami R . Taka suma wynosi zero, jeśli wszystkie a i są równe zero. Bardziej formalnie są to mapy G in R z dobrze uporządkowanym wsparciem .
Następnie R (( G )) jest przemienne pierścień zwany pierścień posiadanie szeregu na ogólnym G . Warunek, że sumy odnoszą się do dobrze uporządkowanych podzbiorów I zapewnia, że produkt jest dobrze zdefiniowany.
Jeśli R jest polem, a G jest grupą względnych liczb całkowitych, znajdujemy szereg formalny Laurenta.
Różne właściwości R mogą przenosić się na R (( G )).
Jeśli R jest polem, tak samo jest z R (( G )). Jeśli R jest polem uporządkowanym , możemy zdefiniować na R (( G )) relację porządku, przypisując do każdego szeregu znak jego dominującego współczynnika: współczynnik związany z najmniejszym i takim, że a i jest niezerowe. Jeśli G jest grupą podzielną, a R jest zamkniętym polem rzeczywistym, to jest takie samo dla R (( G )) Wreszcie, jeśli G jest grupą podzielną, a R jest algebraicznie zamkniętym ciałem, to jest takie samo dla R (( G ))Teoria ta została opracowana przez austriackiego matematyka Hansa Hahna