Przestrzeń jądrowa

W matematyce , a dokładniej w analizie , przestrzeń jądrowa jest topologiczną przestrzenią wektorową o pewnych właściwościach analogicznych do skończonych wymiarów przestrzeni . Ich topologii może być określona przez rodzinę z naczepy norm , wielkość kulek jednostkowych , z których spada gwałtownie. Przestrzenie wektorowe, których elementy są w pewnym sensie „gładkie”, są często przestrzeniami jądrowymi; Typowym przykładem są regularne funkcje na różnych kompaktach . Chociaż notorycznie trudno jest manipulować ich definicją, ta klasa przestrzeni jest ważna w analizie funkcjonalnej .

Wiele teorii przestrzeni jądrowych zostało opracowanych przez Alexandre'a Grothendiecka w ramach jego pracy magisterskiej i zaprezentowanych na seminarium Nicolasa Bourbaki w 1952 r., A następnie opublikowanych w 1955 r.

Definicje

Poniższe trzy definicje są równoważne. Niektórzy autorzy stosują bardziej restrykcyjną definicję, prosząc, aby przestrzeń była również przestrzenią Frécheta , to znaczy, aby była kompletna, a jej topologia była zdefiniowana przez policzalną rodzinę półnorm.

Najpierw przypominamy, że lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa V ma topologię zdefiniowaną przez rodzinę półnorm . Dla każdej półnormy zamknięta kula jednostkowa jest zamkniętym , wypukłym i symetrycznym sąsiedztwem 0 ; i odwrotnie, każde sąsiedztwo 0 posiadające te właściwości jest kulą jednostkową jakiejś półnormy (dla złożonych przestrzeni wektorowych warunek „być symetrycznym” należy zastąpić „ być zrównoważonym ”). Jeśli p jest pół-norma na V , oznaczymy przez V p do przestrzeni Banacha uzyskanych przez quotienting i ukończenie V do tego pół-normą p . Istnieje kanoniczna (niekoniecznie iniekcyjna ) mapa od V do V p .

Definicja 1 : Przestrzeń jądrowa jest lokalnie wypukłą przestrzenią wektorową topologiczną, tak że dla dowolnej ciągłej półnormy p istnieje większa ciągła półnorma q taka, że mapa kanoniczna od V q do V p jest jądrowa (en) .

Zasadniczo sprowadza się to do stwierdzenia, że biorąc pod uwagę kulę jednostkową półnormy, możemy znaleźć inną półnormę, której kula jednostkowa jest zawarta w tej i jest „znacznie mniejsza” lub nawet większa niż wszystko. Sąsiedztwo 0 zawiera „dużo mniejsze” sąsiedztwo. Nie jest konieczne sprawdzanie tego warunku dla wszystkich pół-standardów, ale tylko dla zestawu generującego topologię, czyli dla bazy wstępnej dla topologii.

Tę definicję przy użyciu przestrzeni Banacha można przepisać na przestrzenie Hilberta , co czyni ją łatwiejszą w zarządzaniu, ponieważ na takiej przestrzeni operatory jądrowe są niczym innym jak operatorami śledzenia : mówimy, że półnorma p jest pół-standardową Hilberta Jeżeli V P jest przestrzeń Hilberta, co oznacza, że P jest z symetryczną postać dwuliniowa (lub formy hermitowskiego ) pozytywne (ale niekoniecznie wyżej) na V . Jednak dla dowolnej przestrzeni jądrowej w rozumieniu powyższej definicji 1 można wybrać półnormy definiujące topologię hilbertowską. Następnie mamy

Definicja 2 : Przestrzeń jądrowa to topologiczna przestrzeń wektorowa, której topologia jest zdefiniowana przez rodzinę półnormy Hilberta, i taka, że dla każdej półnormy p tej rodziny istnieje większe q , dla którego l 'mapowanie kanoniczne z V q do V p jest operatorem śledzenia.

Grothendieck używa bardziej wewnętrznej definicji (i bliższej językowi kategorii ):

Definicja 3 : a przestrzeń jądrowa jest lokalnie wypukła topologiczna wektor przestrzeń takie, że dla każdej lokalnie wypukła topologiczna wektora przestrzeni B , mapa kanoniczna z (w) rzutowe topologiczne tensor produkt z A i B w celu ich topologicznej produktu tensora jest izomorfizmem , powodując tym samym to samo uzupełnienie . $A {\ otimes} _ {{\ pi}} B$ $A {\ otimes} _ {{\ varepsilon}} B$ $A {\ hat {\ otimes}} B$

W istocie wystarczy, że warunek ten zostanie zweryfikowany dla wszystkich przestrzeni Banacha B , a nawet dla unikalnej przestrzeni Banacha ℓ 1 szeregu absolutnie zbieżnego.

Przykłady

Przestrzeń unormowana jest jądrowej wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończony wymiar (jeżeli: ponieważ wszyscy operatorzy na przestrzeni skończonego wymiaru są jądrowej; tylko wtedy, gdy: bo od twierdzenie o zwartości Riesza za ).
Najprostszym przykładem przestrzeni jądrowej o nieskończonym wymiarze jest przestrzeń C szybko malejących sekwencji ( c = ( c 0 , c 1 ,…) takich, że ciąg p ( n ) c n jest ograniczony dla dowolnego wielomianu p ). Dla każdego prawdziwego s , możemy zdefiniować normy || · || s przez: || c || s = sup | c n | n s . Biorąc pod uwagę C s uzupełnienie C dla tej normy, istnieje naturalna mapa od C s do C t, jeśli s ≥ t , i jest ona jądrowa, jeśli s > t +1, zasadniczo dlatego, że szereg Σ n t - s jest wtedy absolutnie zbieżny. W szczególności dla każdej normy || · || t , możemy zatem znaleźć inną normę || · || t +2 takie, że zastosowanie C t +2 do C t jest jądrem, a zatem przestrzeń C jest rzeczywiście jądrowa.
Przestrzeń funkcji gładkich ( klasy $C \infty$ ) na rozmaitości zwartej jest jądrowa.
Przestrzeń Schwartza gładkich funkcji nad ℝ n, której pochodne wszystkich rzędów gwałtownie się zmniejszają, jest przestrzenią jądrową.
Przestrzeń całych funkcji na płaszczyźnie zespolonej jest jądrowa.

Nieruchomości

W pewnym sensie przestrzenie jądrowe są bardzo podobne do przestrzeni o skończonych wymiarach i mają wiele wspólnych właściwości. Więc :

Każda ograniczona część przestrzeni jądrowej jest wstępnie zwarta . Właściwość tę można postrzegać jako uogólnienie twierdzenia Borela-Lebesgue'a na przestrzenie jądrowe.
Podprzestrzenie i przestrzenie ilorazowe przez zamkniętą podprzestrzeń przestrzeni jądrowych są nuklearne.
Granica indukcyjna i granica rzutowa szeregu przestrzeni jądrowych są jądrowe.
Mocny podwójny z jądrowym Frecheta przestrzeni jest jądrowej (dokładniej, przestrzeń Fréchet jądrowa jest wtedy i tylko wtedy, gdy jest silny podwójny jądrowy).
Produkt rodziny przestrzeni jądrowych jest nuklearny.
Ukończenie z przestrzeni jądrowej jądrowej (zresztą przestrzeń jest jądrowej wtedy i tylko wtedy, gdy jego realizacja jest).
Produkt topologiczna napinacz (i) dwóch przestrzeni jądrowych jest jądrowej.
Każda kompletna (lub nawet prawie pełna) przestrzeń z kratką, która jest nuklearna, jest przestrzenią Montela .
Każda przestrzeń jądrowa jest przestrzenią Schwartza (w ogólnym sensie tego terminu) .

Od środków cylindrycznych (w) są często łatwe do wykorzystania dowolnych topologicznych przestrzeni wektorowych, ale nie są one wykorzystywane w praktyce, ponieważ nie są one na ogół nawet przeliczalnie addytywne . Z drugiej strony, jakikolwiek pomiar cylindryczny na dualnym jądrowej przestrzeni Frécheta rozciąga się (naturalnie) na pomiar radonu .

Twierdzenie Bochnera-Minlosa

Mówimy, że ciągłe funkcjonalna C na przestrzeni jądra A to właściwości funkcjonalne jeśli C (0) = 1 i, jeżeli dla wszystkich ciągów skończonych kompleksów i wektory z A , j = 1, ..., n , mamy $z_ {j}$ $x_ {j}$

\ sum _ {{j = 1}} ^ {n} \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} z_ {j} {\ bar z} _ {k} C (x_ {j} -x_ { k}) \ geq 0.

Biorąc pod uwagę funkcjonał charakterystyczny na A , twierdzenie Bochnera-Minlosa (według Salomona Bochnera i Roberta Adol'fovicha Minlosa (en) ) gwarantuje istnienie i niepowtarzalność miary prawdopodobieństwa $μ$ w przestrzeni dualnej $A '$ , takiej jak

C (y) = \ int _ {{A '}} e ^ {{i \ langle x, y \ rangle}} ~ {\ mathrm d} \ mu (x).

To rozszerza odwrotną transformację Fouriera na przestrzenie jądrowe.

W szczególności, jeśli A jest przestrzenią jądrową , gdzie $H$ $k$ to przestrzenie Hilberta, twierdzenie Bochnera-Minlosa gwarantuje istnienie miary prawdopodobieństwa o funkcji charakterystycznej , tj. Istnienie miary Gaussa na przestrzeni dualnej; Pomiar ten nazywa się biały szum pomiarowy . Jeśli A jest przestrzenią Schwartza, odpowiadający jej element losowy jest losowym rozkładem . ${\ displaystyle A = \ bigcap _ {k = 0} ^ {\ infty} H_ {k}}$ $e ^ {{- {\ frac 12} \ | y \ | _ {{H_ {0}}} ^ {2}}}$

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Nuclear space ” ( zobacz listę autorów ) .

A. Grothendieck, „ Topologiczne produkty tensorowe i przestrzenie nuklearne ”, Bourbaki Seminar , vol. 2 (1951-1954),Grudzień 1952, s. 193-200 ( czytaj online ).
A. Grothendieck, „ Topologiczne produkty tensorowe i przestrzenie jądrowe ”, Mem. Jestem Math. Soc. , vol. 16,1955.
liniowy operatora $A, V \to W$ dwóch miejscach Banacha mówi się jądrowego , jeżeli może być sporządzona z (The topologii podwójnego o $V$ ) i . ${\ Displaystyle A (x) = \ suma y_ {n} (x) x_ {n}}$ ${\ Displaystyle x_ {n} \ w W, Y_ {n} \ w V '}$ ${\ Displaystyle \ suma \ | x_ {n} \ | \ | y_ {n} \ | ~ <~ \ infty}$
ograniczony operatora $A: V \to W$ dwóch miejscach Hilberta mówi śledzić czy gdzie jest podstawą Hilberta z $V$ . ${\ displaystyle \ sum _ {ja \ in ja} \ langle (A ^ {*} A) ^ {1/2} (e_ {i}), e_ {i} \ rangle ~ <\ infty}$ $(e_ {i}) _ {{i \ in I}}$
(w) Helmut H. Schaefer (de) , Topological Vector Spaces , New York, Springer al. " GTM " ( N O 3)1999, 2 II wyd. ( ISBN 978-0-387-98726-2 , czytaj online ) , str. 102.
To jest topologiczna dualność , zaopatrzona w topologię jednorodnej zbieżności w dowolnej ograniczonej części przestrzeni.

Zobacz też

Bibliografia

(en) IM Gel'fand i N. Ya. Vilenkin (en) , Funkcje uogólnione - vol. 4: Zastosowania analizy harmonicznej ,1964( OCLC 310816279 )
(en) Takeyuki Hida et Si Si, Wykłady o funkcjonalnych hałasach białych , World Scientific Publishing, 2008 ( ISBN 978-981-256-052-0 )
(en) TR Johansen, „Twierdzenie Bochnera-Minlosa o przestrzeniach jądrowych i abstrakcyjnej przestrzeni białego szumu”, 2003, pdf
(en) GL Litvinov , „Nuclear space” , w: Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , czytaj online )
(en) Albrecht Pietsch (de) , Jądrowe lokalnie wypukłe przestrzenie , Berlin, Nowy Jork, Springer , wyd. " Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete (i) " ( N O 66)1972( 1 st ed. 1965), 192 , str. ( ISBN 978-0-387-05644-9 )
(en) AP Robertson i WJ Robertson , Topologiczne przestrzenie wektorowe , CUP , al. "Cambridge pokarmowego w matematyki" ( N O 53)1964, s. 141
(en) François Treves , Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels , Dover Publications ,2007565 str. ( ISBN 978-0-486-45352-1 i 0-486-45352-9 , czytaj online )

Powiązane artykuły

C * - algebra jądrowa (z)
Twierdzenie Bochnera