W matematyce , o przestrzeń Schwartz (w ogólnym znaczeniu tego słowa) jest rodzajem lokalnie wypukła topologicznej przestrzeni wektorowej , który jest często spotykanych w analizie i który posiada niezwykłe właściwości stabilności. Nazwa ta, za sprawą Grothendiecka , uzyskała aprobatę samego Schwartza .
Lokalnie wypukła przestrzeń oddzielna E jest przestrzenią Schwartza, jeśli dla dowolnego sąsiedniego dysku ( tj. D. Zrównoważony i zamknięty ) U źródła, istnieje sąsiedni dysk V pochodzenia, który jest wstępnie zwarty dla topologii zdefiniowanej przez pół-standard zdefiniowany przez U . Oznacza to, że podane żadnym otoczeniu U z 0 istnieje otoczenie V od 0 takie, że dla każdego ε> 0, V mogą być pokryte przez liczbę przetłumaczonych zakończeniu wszystkich ε U .
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby przestrzeń lokalnie wypukła była przestrzenią Schwartza, jest to, że jest ona quasi-normalna i każda ograniczona część tej przestrzeni musi być wstępnie zwarta .
Przestrzeń z funkcji malejących nad ℝ n jest przestrzenią Schwartz, jak jest jej podwójna , czyli przestrzeń rozkładów umiarkowanych .
Niech będzie zbiorem otwartym ℝ n lub, bardziej ogólnie, rozmaitością różniczkową o skończonych wymiarach parakompaktowych . Przestrzenie notowane klasycznie (przestrzeń funkcji nieskończenie różniczkowalnych w ), jej dualność (przestrzeń rozkładów ze zwartym wsparciem w ), (przestrzeń funkcji nieskończenie różniczkowalnych ze zwartym wsparciem w ) i jej dualność (przestrzeń dystrybucji w ) to przestrzenie Schwartza.
Niech będzie zbiorem otwartym ℂ n lub bardziej ogólnie złożoną różnorodnością skończonego wymiaru parakompaktowego . Przestrzeń z funkcji holomorficznych w to przestrzeń Schwartz.
Przestrzenie Schwartza mają następujące niezwykłe właściwości: iloraz lub podprzestrzeń z przestrzeni Schwartza jest Schwartza. Produktem dowolnej rodziny przestrzeni Schwartza jest Schwartz. Indukcyjnego (nie muszą ścisłe) Ograniczenie z sekwencji przestrzeni Schwartz jest przestrzeń Schwartz.
Dlatego niech kompaktowy w (resp. ). Przestrzeń (odpowiednio ), Indukcyjne ograniczenie przestrzeni (odp. ) , Jest przestrzenią Schwartza.
Ponadto każda przestrzeń o słabej topologii jest przestrzenią Schwartza. Mocny podwójny z metryzowalnej Montel przestrzeń jest przestrzenią Schwartz. Dowolna spacja Fréchet -Schwartz - skrótem spacja (FS) ; jest to przypadek , of i of - jest w przypadku Fréchet-Montel, a zatem jest refleksyjny ; ponadto można go rozdzielić . Mówiąc bardziej ogólnie, iloraz przestrzeni Frécheta-Schwartza przez zamkniętą podprzestrzeń to przestrzeń Frécheta-Montela (podczas gdy iloraz przestrzeni Frécheta-Montela do zamkniętej podprzestrzeni może nie być odblaskowy., A fortiori nie być przestrzenią Montela ). W przestrzeni (FS) warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby sekwencja była zbieżna, jest jej słaba zbieżność.
Cała przestrzeń jądrowa jest przestrzenią Schwartza. Wszystkie wymienione powyżej przestrzenie są nuklearne; to samo odnosi się do miejsca na formalnym szeregowo w n zmiennych i przy złożonych współczynników, wyposażonego w topologii prostego zbieżności współczynników (co sprawia, że przestrzeń Fréchet), a także w przestrzeni wielomianów n zmiennych o złożonych współczynników zaopatrzony w swoją ścisłą indukcyjną topologię graniczną przestrzeni złożonych z wielomianów o stopniu mniejszym lub równym k ( are o skończonym wymiarze, a więc jest przestrzenią (LF), ścisła indukcyjna granica przestrzeni Frécheta); identyfikuje się z dualnością . Ale przestrzeń Frécheta-Schwartza może nie być nuklearna.
Silna podwójna przestrzeń Frécheta-Schwartza nazywana jest skrótem spacją (DFS) lub przestrzenią Silvy . Taka przestrzeń jest refleksyjna. Iloraz przestrzeni (DFS) przez zamkniętą podprzestrzeń to przestrzeń (DFS), a zamknięta podprzestrzeń przestrzeni (DFS) to przestrzeń (DFS). Przestrzeń (DFS) to kompletna przestrzeń Montela ; co więcej, ponieważ jest to dwoistość rozłącznej przestrzeni Frécheta- Montela, jest ona subliniczna . Silna dualność przestrzeni (DFS) to przestrzeń (FS), stąd Fréchet-Montel. Na przykład, przestrzeń kompaktowo obsługiwanych dystrybucji i przestrzeń analitycznych funkcjonałów w , przestrzeń umiarkowanych rozkładów, przestrzeń i przestrzeń lokalnie holomorficznych funkcji na zwartym K , to przestrzenie (DFS).
Silna dualność pełnej przestrzeni jądrowej, która jest granicą indukcyjną (niekoniecznie ścisłą) sekwencji przestrzeni Frécheta, jest nuklearna, a zatem jest przestrzenią Schwartza (dotyczy to w szczególności , ale nie jest (DFS)).
Z drugiej strony, silna dualność przestrzeni Schwartza nie jest, ogólnie rzecz biorąc, przestrzenią Schwartza (tak jak silna dualność przestrzeni jądrowej może nie być nuklearna). Na przykład, silna podwójna E ' przestrzeni Frécheta-Montela E, która nie jest przestrzenią Schwartza, jest przestrzenią Schwartza, ale jej silna dualność, która znowu jest E , nie jest przestrzenią Schwartza. Całkowicie oddzielna przestrzeń Schwartza jest refleksyjna, a jej silna dualność jest ultrabornologiczna (podczas gdy prawie kompletna przestrzeń jądrowa jest półodruchowa ); aby przestrzeń Schwartza była refleksyjna, musi (jak w przypadku każdej lokalnie wypukłej przestrzeni) być prawie kompletna.
Albo E i F przestrzeni Frechet i U ciągły odwzorowania S w F . Następujące warunki są równoważne:
(a) u jest ścisłym morfizmem (stara terminologia: homomorfizm), gdy E i F są wyposażone w początkowe topologie.
(b) u jest ścisłym morfizmem dla osłabionych topologii i .
(c) obraz U jest zamknięta F .
(d) Transpozycja jest ścisłym morfizmem in ze słabymi topologiami i .
(e) Obraz jest zamknięty w wyposażeniu w słabą topologię .
Jeśli ponadto E i F są przestrzeniami Frécheta-Schwartza, powyższe warunki są równoważne
(f) jest ścisłym morfizmem in z silnymi topologiami i (topologie silne są topologiami jednolitej zbieżności na ograniczonych częściach ).
Powyższe ma ważne konsekwencje związane z dokładnymi konsekwencjami . Niech E , F i G będą trzema lokalnie wypukłymi przestrzeniami i rozważ sekwencję
(S):gdzie i są ciągłe mapy liniowe. Mówi się, że jest (algebraicznie) dokładna, jeśli i (ściśle) dokładna, jeśli jest (algebraicznie) dokładna, i jeśli i są ścisłymi morfizmami. Albo „sekwencja podwójna”
(S) .Mamy następujący wynik:
Jeśli (S) jest algebraicznie dokładne i jeśli jest morfizmem ścisłym (gdy F i G są wyposażone w topologie początkowe lub topologie osłabione), (S ') jest algebraicznie dokładne.
Jeżeli E , F i G są miejsca Frechet i (S) jest ściśle dokładne (gdy E , F i G są trzy wyposażony zarówno początkowe topologii), a następnie (S) jest dokładne , kiedy , i wszystkie trzy o słabych topologii .
Jeżeli E , F i G są miejsca Fréchet-Schwartz, a następnie (S) jest ściśle dokładne (gdy F i G są wszystkie trzy obdarzone początkowych topologii), wtedy i tylko wtedy, gdy (S „) jest ściśle dokładne, kiedy , i są trzy z silnymi topologiami.