Przestrzeń Schwartza

W matematyce , przestrzeń Schwartz jest przestrzenią funkcji malejących (to znaczy, w nieskończoność różniczkowalne funkcje z gwałtownym spadkiem, a także ich pochodne wszystkich zamówień). Podwójny tej przestrzeni jest przestrzeń rozkładów umiarkowanych . Przestrzenie i odgrywają istotną rolę w teorii transformaty Fouriera . ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}}$

Definicja

Funkcja $f$ jest częścią przestrzeni, gdy jest nieskończenie różniczkowalna i jeśli $f$ i wszystkie jej pochodne gwałtownie się zmniejszają , to znaczy, że ich iloczyn przez dowolną funkcję wielomianową jest nieskończenie związany. Mówi się, że funkcje należące do grupy maleją . ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$

Dla dwóch multi-indeksów określamy normy wg ${\ Displaystyle \ alfa, \ beta}$ ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alfa, \ beta}}$

{\ Displaystyle \ | f \ | _ {\ alfa, \ beta} = \ | x ^ {\ alfa} D ^ {\ beta} f \ | _ {\ infty}}

gdzie jest pochodną rzędu $f$ . Wtedy przestrzeń Schwartza można opisać jako ${\ Displaystyle D ^ {\ beta} f}$ $\ beta$

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}) = \ {f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ mid \ forall (\ alpha, \ beta) \ \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} <+ \ infty \}}

Jeśli nie ma dwuznaczności, przestrzeń można po prostu przedstawić za pomocą litery . ${\ mathcal {S}}$

Nieruchomości

Topologia

Przestrzeń Schwartza może być wyposażona w topologię, początkową topologię związaną z rodziną półnorm , równoważną tej związanej z filtrującą rodziną półnorm, zdefiniowaną przez: $(\ |. \ | _ {{\ alpha, \ beta}}) _ {{\ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} ^ {N}}}$ $({\ mathcal {N}} _ {p}) _ {{p \ in \ mathbb {N}}}$

{\ mathcal {N}} _ {p} (.) = \ sum _ {{| \ alpha |, | \ beta | \ leq p}} \ |. \ | _ {{\ alpha, \ beta}}, \, p \ in \ mathbb {N}.

W tej topologii przestrzeń Schwartza jest przestrzenią Frécheta . Będąc zdefiniowanym przez policzalną, filtrującą rodzinę półnorm, jest to rzeczywiście lokalnie wypukła , oddzielona , metryzowalna przestrzeń , a ponadto pokazujemy, że jest kompletna .

Zbieżność sekwencji w związku z tym zdefiniowana w następujący sposób. Sekwencja funkcji zbiega się w funkcję jeśli i jeśli ${\ mathcal {S}}$ ${\ Displaystyle (\ phi _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi$ $\ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad \ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ mathcal {N}} _ {p} (\ phi _ {n} - \ phi) = 0.

Jego dualność topologiczna to przestrzeń dystrybucji umiarkowanych ${\ mathcal {S}} '$ .

Przykłady

Przestrzeń zawiera przestrzeń z funkcji C ∞ o zwartym nośniku . Ta przestrzeń, również zauważona , jest gęsta w sensie (silnej) zbieżności zdefiniowanej powyżej. ${\ mathcal {S}}$ $\ mathcal {D}$ $C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$
Zawiera również inne elementy, takie jak funkcje postaci iloczynu wielomianu i Gaussa:

x \ mapsto x ^ {\ alpha} e ^ {{- a \ | x \ | ^ {2}}} \ in {\ mathcal {S}}

dla dowolnego współczynnika α o wielu indeksach i dowolnej liczby rzeczywistej .

a> 0

Przestrzeń jest podprzestrzenią wektorową różnych przestrzeni $L$ $p$ dla $1 \leq$ $p$ $\leq + \infty$ . Ponadto jest gęsty w każdym z tych zbiorów, z wyjątkiem $L$ $\infty$ . ${\ mathcal {S}}$

Operacje kosmiczne Schwartza

Przestrzeń jest stabilna dzięki dodawaniu wewnętrznemu i wyprowadzaniu, a operacje te definiują operatory ciągłe. ${\ mathcal {S}}$
Przestrzeń jest stabilna dzięki mnożeniu wewnętrznemu lub nawet mnożeniu przez dowolną funkcję. W szczególności jest stabilna przez pomnożenie przez funkcję wielomianową. Dla każdej funkcji na operator określa w sposób ciągły od wewnątrz siebie. ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ $fa$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi \ mapsto f \ phi$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

Mnożniki :

{\ mathcal {S}}

Przestrzeń mnożników określamy jako podzbiór funkcji, których wszystkie pochodne mają wzrost wielomianowy, tj. ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ forall \ alpha \ in (\ mathbb {N} ^ {N}) \ quad \ exist C _ {\ alpha}> 0, \ exist N _ {\ alpha} \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {N} \ quad | (\ częściowe ^ {\ alpha} f) (x) | \ leq C _ {\ alpha} (1+ | x |) ^ {{N _ {\ alfa}}}.

Nazywamy przestrzeń powoli rośnie w nieskończoność funkcje różniczkowalne. ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$

Transformacji Fouriera indukuje topologiczne automorfizm się . Ten automorfizm jest podawany przez ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {F}}$ $\ left ({\ mathcal {F}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}} f (x) {{\ rm {e} }} ^ {{- 2 {{\ rm {i}}} \ pi \ xi x}} {{\ rm {d}}} x$ gdzie odwrotny automorfizm jest dany przez $\ xi x = \ sum _ {{k = 1}} ^ {N} \ xi _ {k} x_ {k}.$ ${\ mathcal {{\ bar {F}}}},$ $\ left ({\ mathcal {{\ bar {F}}}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}} f (x) { {\ rm {e}}} ^ {{2 {{\ rm {i}}} \ pi \ xi x}} {{\ rm {d}}} x.$ Plancherela-Parseval twierdzenie mówi, że jeśli nadają prehilbertian Struktura wywołana przez transformacji Fouriera jest operatora jednostki o w sobie. ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ supset {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$
Klasa Schwartza jest chłonna dla produktu splotu z ${\ mathcal {E}} '$ : dla dowolnej dystrybucji z obsługą kompaktową i funkcją Schwartza, którą mamy $T \ in {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$

T \ ast \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).

Mówiąc bardziej ogólnie, oznaczamy zbiór convolors o to znaczy zbiór rozkładów takich jak ciągle przesyłane w ten zestaw jest podprzestrzenią wektor (czyli z przestrzeni hartowanych rozkładów ), który zawiera rozkładów o zwartym nośniku oraz z lokalnie zabudowy szybki rozpad funkcje . Dlatego nazywamy przestrzeń szybko malejących rozkładów. Wyposażony w produkt splotu, jest ponadto asocjacyjną , przemienną i zunifikowaną algebrą, na której i są modułami jednostkowymi. ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ $T \ in {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ $g \ mapsto g \ ast T$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {{c}} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$

Uwagi i odniesienia

Uwaga

Bibliografia

(en) Harish-Chandra , „ Seria dyskretna dla półprostych grup kłamstw. II. Jawne określenie postaci ” , Acta Math. , vol. 116,1966, s. 1-111
L. Schwartz , " Teoria dystrybucji i transformacja Fouriera ", Annales de l ' Université de Grenoble , vol. 23, 1947-1948, s. 7-24 ( czytaj online )
Laurent Schwartz , Teoria dystrybucji , Paryż, Hermann,1966, 418 s. ( ISBN 2-7056-5551-4 )
[PDF] F. Golse , Rozkłady , analiza Fouriera, równania różniczkowe cząstkowe , École polytechnique, 2012, materiały informacyjne