Funkcja integrowalna lokalnie

W matematyce , zwłaszcza teorii integracji Lebesgue'a , A funkcji do wartości złożony zestaw do otwartego $Ohm$ na $ℝ n$ mówi się lokalnie do zabudowy , jeżeli jego ograniczenie wszystkich wypraski z $Ohm$ jest do zabudowy na środek Lebesgue'a $Î n$ . Przestrzeń wektorowa tych funkcji jest oznaczona jako $ℒ 1 loc (Ω),$ a jej iloraz przez podprzestrzeń funkcji zerowych prawie wszędzie jest oznaczony jako $L 1 loc (Ω)$ .

Równoważne definicje

Dla dowolnej funkcji $f : Ω \to ℂ$ następujące właściwości są równoważne:

$f$ jest integrowalna lokalnie (w powyższym znaczeniu);
$F$ jest Lebesgue'a - mierzalne i wymieniony zagęszczony $K$ z $Ohm$ , ${\ Displaystyle \ int _ {K} | f | ~ {\ rm {d}} \ lambda _ {n} <+ \ infty \;}$
dla każdej funkcji Test $cp$ na $Ohm$ (tj Każda funkcja C ∞ o zwartym nośniku z $Ohm$ w ℂ) $f φ$ jest Lebesgue'a-zabudowy;
$f$ jest mierzalne Lebesgue'a i dla dowolnej funkcji testowej $φ$ na $Ω$ , ${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} | f \ varphi | ~ {\ rm {d}} \ lambda _ {n} <+ \ infty.}$

Dowolna funkcja integrowalna jest integrowalna lokalnie.
Mówiąc bardziej ogólnie, $L 1 loc$ (Ω) zawiera $L p (Ω)$ dla wszystkich $p \in [1, + \infty]$ .
Dowolna mierzalna funkcja lokalnie ograniczona (w szczególności każda funkcja ciągła ) jest lokalnie integrowalna.
Funkcja $f$ zdefiniowana (prawie wszędzie) przez $f ( x ) = 1 / x$ - należąca zatem do $L 1 loc$ (ℝ *) - nie należy do $L 1 loc$ (ℝ).

$L 1 loc (Ω)$ jest przestrzenią Frécheta , ze względu na lokalnie wypukłą strukturę przestrzenną związaną z rodziną, indeksowaną zwartościami $K$ z $Ω$ , półnormami $║ ║ K$ zdefiniowanymi przez:

{\ Displaystyle \ | f \ | _ {K} = \ int _ {K} | f | ~ {\ rm {d}} \ lambda _ {n}.}