Integrowalność
W matematyce The Całkowalność z numerycznym funkcję jest ich zdolność do mógł być zintegrowany, to znaczy posiadać określoną całkę (co ma sens) i skończonych (który nie jest równy nieskończoność ).
Pojęcie całkowalności zależy od rozważanego pojęcia całki. Istnieje kilka rodzajów całek, z których najbardziej znane i używane to całka Riemanna i całka Lebesgue'a .
Integrowalność w sensie Riemanna
Funkcje schodów
Pozwolić zamknięty przedział włączone i . Mówimy, że jest to funkcja klatki schodowej, jeśli istnieje podpodział i liczby rzeczywiste, takie jak[w,b]{\ styl wyświetlania [a, b]}R{\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}ψ:[w,b]⟶R{\ styl wyświetlania \ psi: [a, b] \ longrightarrow \ mathbb {R}}ψ{\ styl wyświetlania \ psi}w=x0<x1<⋯<xnie=b{\ styl wyświetlania a = x_ {0} <x_ {1} <\ kropki <x_ {n} = b} vs1,...,vsnie{\ styl wyświetlania c_ {1}, \ kropki, c_ {n}}
ψ(x)=vsja ∀x∈]xja-1,xja[ ∀ja∈{1,...,nie}{\ displaystyle \ psi (x) = c_ {i} ~~~ \ forall x \ in \ left] x_ {i-1}, x_ {i} \ right [~~~ \ forall i \ in \ {1, \ kropki, n \}}.
Jeśli jest funkcją krokową, to jego całka (w sensie Riemanna) jest zdefiniowana jako
ψ{\ styl wyświetlania \ psi}[w,b]{\ styl wyświetlania [a, b]}
∫wbψ(t)ret: =Σja=1nievsja(xja-xja-1){\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ psi (t) dt: = \ suma _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x_ {i} -x_ {i-1}) }.
Integrowalność w zamkniętym przedziale
Niech będzie przedziałem zamkniętym zawartym w i . Przypuszczamy, że jest to ograniczone , to znaczy, że istnieje coś rzeczywistego , że dla wszystkich . Uwaga
[w,b]{\ styl wyświetlania [a, b]}R{\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}fa:[w,b]⟶R{\ displaystyle f: [a, b] \ longrightarrow \ mathbb {R}}fa{\ styl wyświetlania f}M>0{\ styl wyświetlania M> 0}fa(x)≤M{\ styl wyświetlania f (x) \ leq M}x∈[w,b]{\ styl wyświetlania x \ w [a, b]}
ja+(fa): =inf{∫wbψ(t)ret:ψ jest funkcją kroku taką, że ψ≥fa}{\ displaystyle I _ {+} (f): = \ inf \ lewo \ {\ int _ {a} ^ {b} \ psi (t) dt: \ psi {\ tekst {to funkcja klatki schodowej taka, że}} \ psi \ geq f \ prawy \}} i
ja-(fa): =łyk{∫wbφ(t)ret:φ jest funkcją kroku taką, że φ≤fa}{\ displaystyle I _ {-} (f): = \ sup \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} \ varphi (t) dt: \ varphi {\ text {jest taką funkcją klatki schodowej, że}} \ varphi \ leq f \ prawy \}}.
Mówimy wtedy, że jest całkowalna (w sensie Riemanna), jeśli iw tym przypadku jej całka (w sensie Riemanna) jest zdefiniowana jako
fa{\ styl wyświetlania f}ja-(fa)=ja+(fa){\ styl wyświetlania Ja _ {-} (f) = Ja _ {+} (f)}
∫wbfa(t)ret: =ja-(fa)=ja+(fa){\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) dt: = ja _ {-} (f) = ja _ {+} (f)}.
Integrowalność w dowolnym przedziale
Czy odstęp od wewnętrznej nie- pusty włączone i . Przypuszczamy, że jest lokalnie do zabudowy (w sensie Riemanna) na , to znaczy, że ograniczenie stanowi na każdym przedziale domkniętym zawarte w jest do zabudowy (w sensie Riemanna). Oznacz lewy koniec i jego prawy koniec. Następnie mówimy, że jest całkowalny na (w sensie całki niewłaściwej Riemanna ), jeśli dla wszystkiego we wnętrzu mamy, że następujące dwie granice są zbieżne:
ja{\ styl wyświetlania I}R{\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}fa:ja⟶R{\ displaystyle f: I \ longrightarrow \ mathbb {R}}fa{\ styl wyświetlania f}ja{\ styl wyświetlania I}fa{\ styl wyświetlania f}ja{\ styl wyświetlania I}w{\ styl wyświetlania a}ja{\ styl wyświetlania I}b{\ styl wyświetlania b}fa{\ styl wyświetlania f}ja{\ styl wyświetlania I}vs{\ styl wyświetlania c}ja{\ styl wyświetlania I}
Limx→w∫xvsfa(t)ret{\ displaystyle \ lim _ {x \ do a} \ int _ {x} ^ {c} f (t) dt} i .
Limx→b∫vsxfa(t)ret{\ displaystyle \ lim _ {x \ do b} \ int _ {c} ^ {x} f (t) dt}
W tym przypadku całka (w sensie niewłaściwych całek Riemanna) jest zdefiniowana jako suma dwóch poprzednich granic.
fa{\ styl wyświetlania f}
Kryteria integralności
- Funkcja regulowany może być zintegrowany nad odcinkiem. W szczególności wnioskujemy, że funkcje zmienności ciągłej , odcinkowo ciągłej , monotonicznej lub nawet ograniczonej są całkowalne w przedziale domkniętym.
- Liniową kombinacją funkcji zabudowy jest do zabudowy na każdym odstępie.
- Jeśli są całkowalne w przedziale zamkniętym, tofa,sol:[w,b]⟶R{\ displaystyle f, g: [a, b] \ longrightarrow \ mathbb {R}}[w,b]{\ styl wyświetlania [a, b]}
- Dla dowolnej liczby ciągłej związek może być całkowany na .Φ:R⟶R{\ displaystyle \ Phi: \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {R}} Φ∘fa{\ styl wyświetlania \ Phi \ circ f}[w,b]{\ styl wyświetlania [a, b]}
- Produkt można zintegrować na .fasol{\ styl wyświetlania fg}[w,b]{\ styl wyświetlania [a, b]}
- Minimalna może być zintegrowany na .min(fa,sol){\ styl wyświetlania \ min (f, g)}[w,b]{\ styl wyświetlania [a, b]}
- Maksymalna może być zintegrowany na .maks(fa,sol){\ styl wyświetlania \ maks. (f, g)}[w,b]{\ styl wyświetlania [a, b]}
- Wartość bezwzględną można zintegrować na .|fa|{\ styl wyświetlania | f |}[w,b]{\ styl wyświetlania [a, b]}
- Jeśli wartość bezwzględna funkcji jest całkowalna w dowolnym przedziale, to sama funkcja również. Odwrotność jest prawdą dla przedziału zamkniętego, ale jest fałszem dla przedziału niezamkniętego. Jeśli funkcja jest całkowalna, ale jej wartość bezwzględna nie jest, to mówimy, że jej całka jest częściowo zbieżna .
- Jeśli są pozytywne, lokalnie do zabudowy i że ponadto przy czym Całkowalność z dnia wiąże się to z . Zauważ, że jest zaznaczone, jeśli na przykład lub kiedy .fa,sol:[w,b[⟶R+{\ displaystyle f, g: [a, b [\ longrightarrow \ mathbb {R} _ {+}}fa(x)=O(sol(x)){\ styl wyświetlania f (x) = O (g (x))}x→b{\ styl wyświetlania x \ do b}sol{\ styl wyświetlania g}[w,b[{\ styl wyświetlania [a, b [}fa{\ styl wyświetlania f}fa(x)=O(sol(x)){\ styl wyświetlania f (x) = O (g (x))}0≤fa≤sol{\ displaystyle 0 \ leq f \ leq g}fa(x)~sol(x){\ styl wyświetlania f (x) \ sim g (x)}x→b{\ styl wyświetlania x \ do b}
- Niech będzie niepustym interwałem wewnętrznym, którego lewy i prawy koniec oznaczono i . Załóżmy, że i są skończone. Jeśli jest lokalnie całkowalna i ma skończone granice w a następnie jest całkowalna na .ja{\ styl wyświetlania I}w{\ styl wyświetlania a}b{\ styl wyświetlania b}w{\ styl wyświetlania a}b{\ styl wyświetlania b}fa:ja⟶R{\ displaystyle f: I \ longrightarrow \ mathbb {R}}w{\ styl wyświetlania a}b{\ styl wyświetlania b}fa{\ styl wyświetlania f}ja{\ styl wyświetlania I}
Przykłady i kontrprzykłady
- Funkcja wskaźnik od racjonalnych liczb pomiędzy 0 a 1 nie mogą być zintegrowane.
- Kryterium Riemanna: funkcja jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy . Ta sama funkcja może być zintegrowana wtedy i tylko wtedy, gdy .x↦x-α{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {- \ alfa}}]0,1]{\ styl wyświetlania] 0.1]} α<1{\ styl wyświetlania \ alfa <1}[1,+∞[{\ styl wyświetlania [1, + \ infty [}α>1{\ styl wyświetlania \ alfa> 1}
- Kryterium Bertranda: funkcja jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy lub ( i ). Ta sama funkcja może być zintegrowana wtedy i tylko wtedy, gdy lub ( i ).x↦x-αja(x)-β{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {- \ alfa} \ ln (x) ^ {- \ beta}}]0,mi-1]{\ styl wyświetlania] 0, e ^ {- 1}]}α<1{\ styl wyświetlania \ alfa <1}α=1{\ styl wyświetlania \ alfa = 1}β>1{\ styl wyświetlania \ beta> 1}[mi,+∞[{\ styl wyświetlania [e, + \ infty [}α>1{\ styl wyświetlania \ alfa> 1}α=1{\ styl wyświetlania \ alfa = 1}β>1{\ styl wyświetlania \ beta> 1}
- Funkcja może być zintegrowana, ale nie jej wartość bezwzględna. Jej całka, zwana całką Dirichleta , jest zatem częściowo zbieżna.x↦grzech(x)/x{\ displaystyle x \ mapsto \ sin (x) / x}]0,+∞[{\ styl wyświetlania] 0, + \ infty [}
Integrowalność w sensie Lebesguea
Niech ( x , ?, μ) będzie mierzy przestrzeń i f funkcji na X , z wartościami ℝ lub ℂ i ? - mierzalny . Mówimy, że f jest całkowalna przez X jeśli
∫X|fa(x)| reμ(x)<+∞.{\ displaystyle \ int _ {X} | f (x) | ~ \ mathrm {d} \ mu (x) <+ \ infty.}
Uwagi
-
Zwróć uwagę, że w definicji funkcji klatki schodowej wartość en les nie jest istotna. Jednak niektórzy autorzy wymagają, aby równość była prawdziwa w przedziale półzamkniętym lub nawet .ψ{\ styl wyświetlania \ psi}xja{\ styl wyświetlania x_ {i}} [xja-1,xja[{\ styl wyświetlania [x_ {i-1}, x_ {i} [}]xja-1,xja]{\ styl wyświetlania] x_ {i-1}, x_ {i}]}
-
Fakt, że jest ograniczony, pozwala nam to powiedzieć i jest dobrze zdefiniowany; w rzeczywistości zbiory, których są dolną i górną granicą, nie są puste: zawsze istnieją funkcje schodów, które zwiększają się lub zmniejszają .fa{\ styl wyświetlania f}ja+(fa){\ styl wyświetlania I _ {+} (f)}ja-(fa){\ styl wyświetlania I _ {-} (f)}fa{\ styl wyświetlania f}
-
Hipoteza lokalnej całkowalności umożliwia zapewnienie, że całki i są dobrze zdefiniowane dla wszystkiego .∫xvsfa(t)ret{\ displaystyle \ int _ {x} ^ {c} f (t) dt}∫vsxfa(t)ret{\ displaystyle \ int _ {c} ^ {x} f (t) dt}x∈]w,b[{\ displaystyle x \ in \ left] a, b \ right [}
-
Liczby i mogą być nieskończone.w{\ styl wyświetlania a}b{\ styl wyświetlania b}
-
Definicja całki nie zależy od . Co więcej, wystarczy wykazać, że istnieje taka, że dwie wspomniane granice zbiegają się, aby było to całkowalne (nie jest zatem konieczne wykazanie, że dotyczy to wszystkiego ).vs{\ styl wyświetlania c}vs{\ styl wyświetlania c}fa{\ styl wyświetlania f}vs{\ styl wyświetlania c}
-
Niekoniecznie jest to prawdą dla dowolnego przedziału, na przykład funkcja tożsamości jest ciągła, a więc ustawiona, ale niecałkowalna na .R{\ styl wyświetlania \ mathbb {R}}
-
Te 5 właściwości staje się fałszywych, gdy przedział nie jest zamknięty. Oto niektóre przykłady przeciwne: 1) Funkcja jest całkowalna na ale jeśli weźmiemy wtedy nie jest. 2) Funkcja może być zintegrowana, ale produkt nie. 3) Funkcja może być zintegrowana, ale nie jest. 4) Podobnie nie można całkować na . 5) Kontrprzykład 3 również działa w tym przypadku.x↦1/x2{\ displaystyle x \ mapsto 1 / x ^ {2}}[1,+∞[{\ styl wyświetlania [1, + \ infty [}Φ(t)=t{\ displaystyle \ Phi (t) = {\ sqrt {t}}}x↦Φ(1/x2)=1/x{\ displaystyle x \ mapsto \ Phi (1 / x ^ {2}) = 1 / x}fa=sol:x↦1/x{\ displaystyle f = g: x \ mapsto 1 / {\ sqrt {x}}}]0,1]{\ styl wyświetlania] 0.1]}fasol:x↦1/x{\ displaystyle fg: x \ mapsto 1 / x}fa:x↦grzech(x)/x{\ displaystyle f: x \ mapsto \ sin (x) / x}]0,+∞[{\ styl wyświetlania] 0, + \ infty [}maks(fa,-fa)=|fa|{\ styl wyświetlania \ max (f, -f) = | f |}min(fa,-fa)=-|fa|{\ styl wyświetlania \ min (f, -f) = - | f |}]0,+∞[{\ styl wyświetlania] 0, + \ infty [}
-
Tutaj oznacza „duże o” notacji Landaua .O{\ styl wyświetlania O}
-
Ta własność staje się fałszywa, jeśli pominiemy warunek dodatni. Na przykład jeśli ma całkę semi-zbieżny wtedy mamy kiedy jednak nie jest całkowalna.fa:[w,b[⟶R{\ displaystyle f: [a, b [\ longrightarrow \ mathbb {R}}|fa|(x)=O(fa(x)){\ styl wyświetlania | f | (x) = O (f (x))}x→b{\ styl wyświetlania x \ do b}|fa|{\ styl wyświetlania | f |}
-
Jeśli końce nie są zakończone, ta właściwość staje się fałszywa. Na przykład funkcja dopuszcza 0 jako granicę, ale nie jest całkowalna na .x↦1/x{\ styl wyświetlania x \ mapsto 1 / x}+∞{\ styl wyświetlania + \ infty}[1,+∞[{\ styl wyświetlania [1, + \ infty [}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">