Asystent operatora

W matematyce An operatora asystent to operatorowi na prehilbertian przestrzeni , która jest zdefiniowana, gdy jest to możliwe, z innego operatora A , i które oznaczymy przez A * . Mówi się również, że A * jest sprzężeniem operatora A .

Ten operator pomocniczy umożliwia przejście operatora A z prawej części iloczynu skalarnego definiującego przestrzeń przedhibertyjską do lewej części iloczynu skalarnego. Jest to zatem uogólnienie pojęcia macierzy przeniesionego na przestrzenie o nieskończonym wymiarze.

Jeśli operator początkowy jest ciągły i jeśli przestrzeń wektorowa jest kompletna , dodatek jest zawsze zdefiniowany. Tak więc w przypadku wymiaru skończonego pomocnik dowolnego operatora jest dobrze zdefiniowany. Aplikacja, która łączy swój dodatek z operatorem, jest izometrią półliniową  (en) i ewolwentyczną .

Pojęcie adjunct pozwala na zdefiniowanie zbioru operatorów o określonej zgodności w odniesieniu do iloczynu skalarnego, operatorów komutujących ze swoim adiunktem. Mówi się wtedy, że są normalne . Wśród tych operatorów istnieją trzy ważne przypadki szczególne: operatora samopomocy (pomocnika samego siebie), antysamopomocnika (pomocnika swego przeciwieństwa) i unitarnego (odwrotność jego asystenta). Na rzeczywistej przestrzeni wektorowej używane są odpowiednio terminy: symetryczny , antysymetryczny i ortogonalny . Na złożonej przestrzeni wektorowej mówimy odpowiednio: hermitowski (lub hermitowski ), antyhermicki (lub antyhermicki) i unitarny .

Koncepcja asystenta operatora ma wiele zastosowań. W wymiarze skończonym i na polu liczb zespolonych struktura normalnych endomorfizmów jest prosta, można je diagonalizować w bazie ortonormalnej . Przypadek wymiaru nieskończonego jest bardziej złożony. Jest to ważne w analizie funkcjonalnej . Przypadek autosprzężony jest szczególnie badany, dostarcza najprostszych ram teorii spektralnej , która sama jest sercem mechaniki kwantowej . W operatora teorii , A C * -algebra jest przestrzeń Banacha zawiera wewnętrzny prawa kompozycji podobnej do kompozycji operatorów i gwiazdy pracy o takich samych właściwościach jak aplikacji, która kojarzy jego uzupełnienie operatora.

Definicje

Asystent operatora to pojęcie odpowiadające bardzo różnym sytuacjom. Może być stosowany w przypadku przestrzeni euklidesowej lub hermitowskiej , czyli w wymiarze skończonym . Jest również używany w najprostszym kontekście analizy funkcjonalnej , czyli w przestrzeni Hilberta lub przestrzeni prehilbertowskiej . Wreszcie można go zastosować w bardzo ogólnych ramach do przestrzeni Banacha . Z tego powodu współistnieją dwie definicje.

przedhiberyjski

Definicja ta obejmuje w praktyce dwie nieco odmienne ramy teoretyczne. Tego wymiaru skończonego i tego, w którym nie ma żadnych założeń dotyczących wymiaru. Odpowiada to również pierwszemu, najprostszemu przypadkowi analizy funkcjonalnej. W ogóle przestrzeń wektor wybrany jest przestrzenią Hilberta, to znaczy na całkowite prehilbertian miejsca . Ponieważ stosunkowo łatwo jest uzupełnić przestrzeń przedhibertyjską, a dostępnych twierdzeń jest znacznie więcej, schemat ten jest szeroko stosowany. Jedna definicja obejmuje te dwa przypadki:

Niech H będzie przestrzenią prehilbertowską nad ciałem K równym liczb rzeczywistych lub ℂ kompleksów. Iloczyn skalarny jest oznaczony w tym artykule (⋅ | ⋅). Niech a i a * będą dwoma operatorami na H , czyli dwoma liniowymi odwzorowaniami H w sobie.

Określenie  -  Operator mówi się jako dodatek w przypadku gdy: W celu*{\ displaystyle a ^ {*}}W celu{\ styl wyświetlania a}

∀x,tak∈h(W celu(x)|tak)=(x|W celu*(tak)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y)).}

C * -algebra

Jak pokazuje dalsza część artykułu, mapa *, która wiąże swój dodatek z endomorfizmem, jest półliniową mapą przestrzeni endomorfizmu. Przestrzeń ta ma, wraz ze złożeniem endomorfizmów, strukturę algebry . Aplikacja *, mająca te same cechy co dodatek i zdefiniowana w algebrze, jest szkieletem struktury zwanej C * -algebrą. Obraz elementu a przez aplikację * nazywany jest pomocnikiem a .

Banach

W analizie funkcjonalnej nie wszystkie przestrzenie mają iloczyn skalarny. Podejście posłów pozostaje jednak owocne. Operator a ma gorsze właściwości niż w poprzednim akapicie.

W ogólnym przypadku nie jest ona już ograniczona, tzn. niekoniecznie istnieje górna granica normy obrazu wektora kuli jednostkowej . Zatem pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej w zbiorze rzeczywistym o zwartym nośniku , nieskończenie różniczkowalna i powiększona w wartości bezwzględnej o jeden, nie jest powiększana o stałą niezależną od funkcji. Ta przestrzeń zaopatrzona w normę jednostajnej zbieżności jest ważna dla definicji rozkładów . Pochodna jest nieograniczonym operatorem liniowym , który odgrywa dużą rolę w analizie funkcjonalnej.

Operator a niekoniecznie jest zdefiniowany na całym Banachu. Zatem operator derywacji nie jest zdefiniowany na żadnej funkcji] –1/2, 1/2 [w ℝ i całkowalny w wartości bezwzględnej. Z tego samego powodu, co w poprzednim akapicie, warto jednak rozważyć ten operator.

W tym punkcie, E i F wyznacza dwie Banacha ma to nieograniczony operatora od E do F , E * i M * oznaczają topologiczne Podwójne o E i F . W dalszej części artykułu termin dual oznacza dualność topologiczną. W tym kontekście jest on rzeczywiście częściej używany niż algebraiczny dual. Termin D ( a ) oznacza dziedzinę a , czyli podprzestrzeń wektorową, w której a jest zdefiniowane. Zakłada się gęstą w E . Zapis 〈⋅, ⋅〉E (odp. 〈⋅, ⋅〉F ) oznacza nawias dualności , odpowiada on dwuliniowemu odwzorowaniu E * × E (odp. F * × F ), które do pary utworzonej przez d ' forma liniowa i wektor E (odp. F ) wiążą skalar.

Określenie  -  domeną oznaczoną D ( *) operatora sprzężonego z jest następujący podzbiór F *:

D(W celu*)={tak*∈F*,∃vs≥0,∀x∈D(W celu)|⟨tak*,W celu(x)⟩F|≤vs‖x‖}{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) = \ {y ^ {*} \ in F ^ {*}, \; \ istnieje c \ geq 0, \; \ forall x \ in { \ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle _ {F} | \ leq c \ | x \ | \}}

Ta definicja pozwala na:

Określenie  -  operatora sprzężony * z jest operatorem D ( *) w E * sprawdzania równości:

∀x∈D(W celu),∀tak*∈D(W celu*)⟨tak*,W celu(x)⟩F=⟨W celu*(tak*),x⟩mi{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a), \; \ forall y ^ {*} \ in {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) \ quad \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle _ {F} = \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle _ {E}}

Często zdarza się, że E i F są mylone; asystent jest wtedy operatorem E *.

Przestrzeń Hilberta

Zakładamy, że w całej tej sekcji H jest przestrzeń Hilberta , to jest kompletna prehilbertian przestrzeń . W tym przypadku topologiczny dual utożsamia się z przestrzenią H . Wyniki uzyskane w przypadku form dwuliniowych obowiązują bez większych modyfikacji.

Przypadek wymiaru skończonego jest nieco prostszy, ponieważ każda liniowa mapa jest ciągła, a izomorfizm między przestrzenią a jej dualnością jest bardziej oczywisty. Bardziej dydaktyczne podejście dostępne jest w artykule Przestrzeń euklidesowa dla przypadku rzeczywistego i przestrzeń hermitowska dla przypadku złożonego.

Uwaga: W przypadku, gdy ciało leżące pod literą H jest ciałem kompleksów, iloczyn skalarny jest półtoraliniowy . Konwencja wybrana w artykule jest taka, że ​​kształt jest liniowy dla pierwszej zmiennej i półliniowy dla drugiej. Koniugat skalarnej Î oznaczamy Î . Domyślnie instrukcje są podawane dla przestrzeni złożonych. Pozostają prawdziwe, a połączone zastosowanie staje się tożsamością.

Istnienie (i wyjątkowość)

• Każdy operator ograniczony a na H dopuszcza (unikalnego) pomocnika.
  Rzeczywiście, niech y będzie wektorem H , odwzorowanie, które z wektorem x kojarzy ( a ( x ) | y ) jest ciągłą formą liniową. Przedstawienie twierdzenie Riesza następnie gwarantuje istnienie (jednorodne) Wektor Z tak, że ciągły liniowy pokrywa tworzą z zastosowania do x współpracowników ( x | oo ). Aplikacja posiada *, do którego to łączy oo jest następnie asystent ma .
• I odwrotnie, jeśli jakiekolwiek dwie mapy spełniająW celu,W celu*:h→h{\ displaystyle a, a ^ {*}: H \ do H}∀x,tak∈h(W celu(x)|tak)=(x|W celu*(tak)){\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y))}wtedy a , a * są zarówno liniowe jak i ciągłe .
  Pokażmy to na przykład w *.
  • Liniowość jest bezpośrednią konsekwencją właściwości dwuliniowości i braku degeneracji iloczynu skalarnego. Używamy tego:∀x,tak1,tak2∈h,∀λ∈K(x|W celu*(tak1+λtak2))=(W celu(x)|tak1+λtak2)=(W celu(x)|tak1)+λŻ(W celu(x)|tak2){\ displaystyle \ forall x, y_ {1}, y_ {2} \ in H, \; \ forall \ lambda \ in K \ quad (x | a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2 })) = (a (x) | y_ {1} + \ lambda y_ {2}) = (a (x) | y_ {1}) + {\ bar {\ lambda}} (a (x) | y_ {2})}Możemy wywnioskować :(x|W celu*(tak1+λtak2))=(x|W celu*(tak1))+(x|λW celu*(tak2))więc(1)(x|W celu*(tak1)+λW celu*(tak2)-W celu*(tak1+λtak2))=0.{\ displaystyle (x | a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = (x | a ^ {*} (y_ {1})) + (x | \ lambda a ^ { *} (y_ {2})) \ quad {\ text {so}} \ quad (1) \; (x | a ^ {*} (y_ {1}) + \ lambda a ^ {*} (y_ { 2}) - a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = 0.}Równość (1) jest prawdziwa dla wszystkich wartości x, co pokazuje, że wyraz po prawej jest równy zero. Ta nieważność demonstruje charakter liniowy a *.
  • Aby pokazać ciągłość a *, wystarczy, dzięki twierdzeniu o grafach zamkniętych , zweryfikować, że jeśli x n dąży do x i jeśli a * (x n ) zmierza do y, to a * ( x ) = y . Teraz te dwie hipotezy implikują (używając równania dodawania), że dla wszystkich z , ( z | a * ( x n )) dąży zarówno do ( z | a * ( x )) jak i do ( z | y ), tak że a * ( x ) - y wynosi zero (ponieważ ortogonalne do wszystkich z ).

Przykład Dla wszystkich wektorów asystentem operatora jest operator .x,tak∈h{\ styl wyświetlania x, y \ w H}x⊗tak:z↦⟨z,tak⟩x{\ displaystyle x \ otimes y: z \ mapsto \ langle z, y \ rangle x}tak⊗x{\ styl wyświetlania y \ czasami x}

Podstawowe właściwości

Pod wieloma względami asystent jest lustrzanym odbiciem operatora.

• Asystent operatora a jest liniowy.

Ten wynik (który nie obejmuje liniowości a ) został zademonstrowany powyżej.

W wymiarze skończonym, macierz adjunktu a jest adjunktem macierzy a . Rzeczywiście, niech matrycy ma na ortonormalną bazę z H i X (odp. Y ) matrycy wektora x (odp. Y) H .

(x|W celu*(tak))=(W celu(x)|tak)=T(DOx)TakŻ=Tx(TDOTakŻ)=TxTDOŻTakŻ.{\ displaystyle (x | a ^ {*} (y)) = (a (x) | y) = {} ^ {t} \! (AX) {\ overline {Y}} = ^ {t} \! X (^ {t} A {\ overline {Y}}) = ^ {t} \! X {\ overline {^ {t} {\ overline {A}} Y}}.}

• Jeśli operator a jest ograniczony , to asystent jest również ograniczony i jego norma operatora jest równa a .

Termin ograniczony tutaj oznacza, że obraz o kuli jednostkowej jest ograniczona. Operator jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły.

Ciągłość adiunktu została zademonstrowana powyżej bez założenia, że a jest ograniczone, używając potężnego twierdzenia o grafach zamkniętych. Zakładając, że jest to ograniczone, dowody są bardziej podstawowe: właśnie zauważyłem, że standardem był, tak samo jak asystent, jest to, że jest to forma bilinearna lub półtoraliniowa w asocjacjach x i y ( a ( x ) | y ) = ( x | a * ( y )).

• Norma złożonego z a i jego dodatku jest równa kwadratowi tego z a  :

‖W celu∘W celu*‖=‖W celu‖2.{\ displaystyle \ | a \ circ a ^ {*} \ | = \ | a \ | ^ {2}.}

Aplikacja asystenta

Isometry * , z ℒ ( H ) w sobie, którego operator A współpracownicy asystent * nazywany jest asystent mapę .

Twierdzenie  -  isometry ↦ * z ℒ ( H ) w sobie;

• w kratę(W celu∘b)*=b*∘W celu* ;{\ displaystyle (a \ ok b) ^ {*} = b ^ {*} \ ok a ^ {*} ~;}
• jest półliniowy:(W celu+λb)*=W celu*+λŻb* ;{\ displaystyle (a + \ lambda b) ^ {*} = a ^ {*} + {\ overline {\ lambda}} b ^ {*} ~;}
• jest ewolucjonista  :W celu**=W celu.{\ displaystyle a ^ {**} = a.}

Demonstracje

• Zastępca związku:∀x,tak∈h(W celu∘b(x)|tak)=(b(x)|W celu*(tak))=(x|b*∘W celu*(tak)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a \ circ b (x) | y) = (b (x) | a ^ {*} (y)) = (x | b ^ {*} \ około ^ {*} (y)).}
• Półliniowość:∀x,tak∈h((W celu+λb)(x)|tak)=(W celu(x)|tak)+λ(b(x)|tak)=(x|(W celu*+λŻb*)(tak)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad ((a + \ lambda b) (x) | y) = (a (x) | y) + \ lambda (b (x) | y) = (x | (a ^ {*} + {\ bar {\ lambda}} b ^ {*}) (y)).}
• Inwolucja:∀x,tak∈h(W celu(x)|tak)=(x|W celu*(tak))=(W celu*(tak)|x)Ż=(tak|W celu**(x))Ż=(W celu**(x)|tak).{\ displaystyle \ forall x, y \ w H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y)) = {\ overline {(a ^ {*} (y) | x )}} = {\ nadkreślenie {(y | a ^ {**} (x))}} = (a ^ {**} (x) | y).}

Jako endomorfizm inwoltywny rzeczywistej przestrzeni wektorowej jest więc symetrią, to znaczy jest diagonalizowalna wartościami własnymi 1 i –1 (więcej szczegółów podano w § „Symetria” artykułu o diagonalizacji ).

Operator równy (odp. przeciwny) swojemu asystentowi mówi się, że jest hermitistą lub samopomocnikiem (odp. antyhermicjanem lub antysamopomocnikiem). Taki operator jest normalny , to znaczy przełącza się ze swoim asystentem. Inną rodziną operatorów normalnych jest rodzina automorfizmów ortogonalnych .

Normalne endomorfizmy przestrzeni hermitowskiej i samosprzężone endomorfizmy przestrzeni euklidesowej są diagonalizowalne.

Ortogonalność

W tym kontekście obecne są własności ortogonalności związane z kształtami dwuliniowymi:

• Jądro z pomocą * jest prostopadły z obrazem z  :KerW celu*=(JestemW celu)⊥.{\ displaystyle {\ tekst {Ker}} \, a ^ {*} = ({\ tekst {im}} \, a) ^ {\ bot}.}Rzeczywiście, ∀x∈h,x∈KerW celu*⇔∀tak∈h(W celu*(x)|tak)=0⇔∀tak∈h(x|W celu(tak))=0⇔x∈(JestemW celu)⊥.{\ displaystyle \ forall x \ in H, \; x \ in {\ text {Ker}} \, a ^ {*} \ Leftrightarrow \ forall y \ in H \ quad (a ^ {*} (x) | y ) = 0 \ Leftrightarrow \ forall y \ in H \ quad (x | a (y)) = 0 \ Leftrightarrow x \ in ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}.}Bezpośrednim następstwem - również udowodnić matricially - jest to, że w ograniczonym wymiarze A i * mają taką samą rangę , ponieważ każdy wektor podprzestrzeń jest wtedy zamknięty więc jego prostopadłe jest dodatkowy jeden .

Biorąc ortogonalny z dwóch członków, można z niego wywnioskować:

• Ortogonalny jądra a * to adhezja obrazu a  :(KerW celu*)⊥=JestemW celuŻ.{\ displaystyle ({\ tekst {Ker}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} = {\ overline {{\ tekst {im}} \, a}}.}Adhezja zbioru E , oznaczona jako E , jest najmniejszym zamkniętym, który go zawiera. Na przykład jeśli * jest injective , następnie ma gęsty obraz w H , który w nieskończonym wymiarze, nie oznacza, że jest suriekcją .
• Niech E będzie stabilny podprzestrzeń przez , prostopadły z E jest stabilny przez o *. Rzeczywiście, niech Y jest elementem prostopadłej do E , jego obraz, a * jest prostopadła do E , ponieważ
  ∀x∈mi(x|W celu*(tak))=(W celu(x)|tak)=0.{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad (x | a ^ {*} (y)) = (a (x) | y) = 0.}Nieskończonym wymiar, jeżeli E nie jest zamknięty, odwrotna jest fałszem (na przykład, jeżeli E jest niezamknięte hiperpłaszczyzna jej prostopadłe zawsze jest stabilny przez * -, ponieważ zmniejsza się do wektora zerowej - podczas e n nie jest stabilna przez a ogólnie).

Widmo

Widmo operatora a jest zbiorem skalarów λ takim, że odwzorowanie a - λId nie jest bijektywne (Id oznaczające odwzorowanie tożsamości). W wymiarze skończonym widmo jest zbiorem wartości własnych . W wymiarze nieskończonym może być szerszy (patrz artykuły Widmo operatora liniowego i Wartość widmowa ).

• Widmo operatora a * jest sprzężeniem tego z a .

Własności widma są określone, jeśli H ma wymiar skończony:

• Jeśli H ma wymiar skończony, wyznacznik (odpowiedni wielomian charakterystyczny) a * jest sprzężeniem tego z a .

• Jeśli H jest skończoną wymiar, minimalna wielomianu o a * oznacza sprzężoną niż .

W konsekwencji, jeśli λ jest wartością własną krotności m operatora a (tj. pierwiastkiem rzędu m jego wielomianu charakterystycznego), to sprzężenie λ jest wartością własną krotności m operatora a * i podobnie, jeśli λ jest pierwiastkiem rzędu m wielomianu minimalnego a (co jest równoważne stwierdzeniu, że m jest najmniejszą liczbą całkowitą taką, że jądro ( a - λId) m jest równe jądru ( a - λId) m + 1 ), wtedy sprzężenie λ jest pierwiastkiem rzędu m wielomianu minimalnego a *.

Demonstracje

• Widmo operatora a * jest sprzężeniem tego z a  :

Operator jest bijektywny wtedy i tylko wtedy, gdy jego adiunktem jest (zgodnie z właściwością ). Stosując to do a - λId, wynik jest wywnioskowany. (W celu∘b)*=b*∘W celu*{\ displaystyle (a \ ok b) ^ {*} = b ^ {*} \ ok a ^ {*}}

• Jeśli H ma wymiar skończony, wyznacznik (odpowiedni wielomian charakterystyczny) a * jest sprzężeniem tego z a  :

Artykuł Determinant (matematyka) pokazuje, że macierz kwadratowa ma taki sam wyznacznik jak jej transpozycja. Ponadto wyznacznikiem matrycy sprzężonej jest koniugat wyznacznika. Fakt, że wyznacznik endomorfizmu jest równy wyznacznikowi jego macierzy, pokazuje, że wyznacznikiem towarzyszącym a jest sprzężenie tego z a . Te same właściwości zastosowane do endomorfizmu a - λId wskazują na równość wielomianów charakterystycznych.

• Jeśli H ma wymiar skończony, minimalny wielomian a * jest sprzężeniem wielomianu a  :

Niech P ( X ) będzie minimalnym wielomianem a . Endomorfizm P ( a ) wynosi zero, a jego sprzężenie jest również zerem, co pokazuje, że sprzężony wielomian P ( X ) anuluje sprzężenie, jego sprzężenie jest zatem wielokrotnością wielomianu a *. Pokazujemy również, że wielomian sprzężony wielomianu minimalnego elementu towarzyszącego anuluje a . Oba wielomiany są wielokrotnością, oba są unitarne, co pozwala stwierdzić, że istnieje równość.

Przestrzeń Banacha

Należy sprawdzić treść tego artykułu matematycznego (grudzień 2016).

Popraw to lub przedyskutuj rzeczy do sprawdzenia . Jeśli właśnie umieściłeś baner, wskaż punkty do sprawdzenia tutaj .

Porównaj z artykułem w języku angielskim w: Operator bez ograniczeń

Wiele właściwości, ważnych dla Hilbertów, można uogólnić. Analiza asystenta operatora w bardziej ogólnych ramach Banacha ma pewne analogie z poprzednim przypadkiem. Stosowane techniki są jednak nieco inne. W tym punkcie E i F oznaczają Banach i ma to nieograniczony operatora od E do F .

Termin „operator nieograniczony” oznacza mapę liniową bez precyzji w odniesieniu do ciągłego charakteru operatora. Matematyk Haïm Brezis precyzuje: Może się zatem zdarzyć, że operator nieograniczony jest ograniczony. Terminologia nie jest zbyt szczęśliwa, ale jest szeroko stosowana i nie powoduje zamieszania!

Istnienie i wyjątkowość

Jak poprzednio, każdy podmiot został przyjęty jednego zastępcę. Dokładniej :

• Dla dowolnego nieograniczonego operatora a z D ( a ) w F istnieje unikalny dodatek, a dodatek jest liniowy.

Powstaje zatem pytanie, czy D ( a *) jest gęste w liczbie podwójnej F .

• Jeśli a jest operatorem domkniętym, to słaba topologia funkcji dualnej F , D ( a * ) jest gęsta w funkcji dualnej F . Jeśli ponadto F jest zwrotne, to D ( a *) jest gęste dla zwykłej topologii.

Demonstracja

• Dla dowolnego nieograniczonego operatora a z D ( a ) w F istnieje unikalny dodatek, a dodatek jest liniowy.

Zauważ najpierw, że D ( a *) jest przestrzenią wektorową. Niech y 1 * (odp. Y 2 *) będzie wektorem D ( a *), λ elementem K i c 1 (odp. C 2 ) stałą spełniającą następującą własność:

∀x∈D(W celu)|⟨tak1*,W celu(x)⟩|≤vs1‖x‖oraz|⟨tak2*,W celu(x)⟩|≤vs2‖x‖{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y_ {1} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq c_ {1} \ | x \ | \ quad {\ text {i}} \ quad | \ langle y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq c_ {2} \ | x \ |}

Poniższy wzrost pokazuje, że y 1 * + λ y 2 * jest rzeczywiście elementem D ( a *).

∀x∈D(W celu)|⟨tak1*+λ.tak2*,W celu(x)⟩|≤|⟨tak1*,W celu(x)⟩|+λ.|⟨tak2*,W celu(x)⟩|≤(vs1+|λ|.vs2).‖x‖{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y_ {1} ^ {*} + \ lambda .y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq | \ langle y_ {1} ^ {*}, a (x) \ rangle | + \ lambda. | \ langle y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq (c_ { 1} + | \ lambda | .c_ {2}). \ | X \ |}

Niech y * będzie elementem D ( a *). Domyślnie a * ( y *) jest ciągłą formą liniową nad D ( a ). Zbiór przybycia K jest zupełny, forma jest ciągła, a więc ciągła Cauchy'ego i jest rozszerzona przez ciągłość w unikalny sposób. Zatem odwzorowanie a * ( y *) jest rzeczywiście elementem E *.

Liniowość a * pochodzi bezpośrednio z dwuliniowości 〈⋅, ⋅〉.

Asystent ciągłości

Twierdzenie o domkniętym grafie wskazuje, że operator a jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy jego graf jest zamknięty. Wykres a jest wektorową podprzestrzenią E x F utworzoną przez punkty ( x , a ( x )) gdy x przechodzi przez D ( a ). Operator mający graf zamknięty mówi się, że jest zamknięty , co sprowadza się do powiedzenia ograniczonego lub ciągłego. Ze względów stylistycznych częściej mówi się o zamkniętym, nieograniczonym operatorze niż o ograniczonym, niezamkniętym operatorze, nawet jeśli znaczenia są takie same.

• Nieograniczony operator a z gęstą domeną ma zamkniętego opiekuna.

Demonstracja

Niech ( v n *) będzie ciągiem D ( a *) zbieżnym do v * w układzie dualnym F i takim, że ciąg (a * ( v n *)) również jest zbieżny, ale tym razem w kierunku u * w układzie dualnym od E . Celem jest pokazanie, że ( v *, u *) jest elementem grafu elementu towarzyszącego a . Sprawdzana jest następująca równość:

∀x∈mi,∀nie∈NIE⟨vnie*,W celu(x)⟩=⟨W celu*(vnie*),x⟩{\ displaystyle \ forall x \ in E, \; \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ langle v_ {n} ^ {*}, a (x) \ rangle = \ langle a ^ {*} ( v_ {n} ^ {*}), x \ rangle}

Przejście do limitu pokazuje, że:

∀x∈mi⟨v*,W celu(x)⟩=⟨ty*,x⟩≤‖ty*‖.‖x‖{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad \ langle v ^ {*}, a (x) \ rangle = \ langle u ^ {*}, x \ rangle \ leq \ | u ^ {*} \ |. \ | x \ |}

Ostatni wzrost pokazuje, że v * jest elementem D ( a *), a ostatnia równość pokazuje, że u * jest obrazem v * przez a *. W konsekwencji punkt ( v *, u *) jest elementem grafu a *, który potwierdza twierdzenie.

Ortogonalność

Jeśli a jest zamknięte i ma gęstą domenę, to własności ortogonalności odpowiadające sytuacji Hilberta pozostają prawdziwe:

• Jądro a jest równe ortogonalnemu obrazowi a * a jądro a * jest równe ortogonalnemu obrazowi a .

KerW celu=(JestemW celu*)⊥orazKerW celu*=(JestemW celu)⊥{\ displaystyle {\ tekst {Ker}} \, a = ({\ tekst {im}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} \ quad {\ tekst {i}} \ quad {\ tekst { Ker}} \, a ^ {*} = ({\ tekst {im}} \, a) ^ {\ bot}}

Sytuacja jest nieco inna dla ortogonalnych jąder.

• Ortogonalny jądra a zawiera adhezję obrazu zastępcy a, a ortogonalny jądra zastępcy a to adhezja obrazu a .

(KerW celu)⊥⊃JestemW celu*Żoraz(KerW celu*)⊥=JestemW celuŻ{\ displaystyle ({\ tekst {Ker}} \, a) ^ {\ bot} \ supset {\ overline {{\ tekst {im}} \, a ^ {*}}} \ quad {\ tekst {i} } \ quad ({\ tekst {Ker}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} = {\ overline {{\ text {im}} \, a}}}

Jeżeli przestrzeń E jest zwrotna, to ortogonalny jądra a jest równy adhezji obrazu a *; w przeciwnym razie równość nie jest gwarantowana.

Przy założeniach domknięcia i gęstości dziedziny a  :

• Następujące cztery właściwości są równoważne:

(1) Obraz a jest zamknięty. (2) Zastępca za obraz został zamknięty. (3) Obraz a jest ortogonalnym jądrem towarzyszącym. (4) Obraz adiunktu jest ortogonalnym jądrem a . Demonstracje

• Jądro a jest równe ortogonalnemu obrazowi a * a jądro a * jest równe ortogonalnemu obrazowi a  :

Zauważmy, że ponieważ a jest ciągła, dziedzina a * jest liczbą podwójną liczby całkowitej F , a zatem:

x∈KerW celu⇔∀tak*∈F*⟨tak*,W celu(x)⟩=0⇔∀tak*∈D(W celu*)⟨W celu*(tak*),x⟩=0{\ displaystyle x \ in {\ text {Ker}} \, a \ Leftrightarrow \ forall ^ {*} \ in F ^ {*} \; \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle = 0 \ Leftrightarrow \ forall y ^ {*} \ in {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) \; \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle = 0}

Co pokazuje pierwszą równość.

Zauważmy, że ponieważ D ( a ) jest gęste w E , wektor dualny E jest zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadły do D ( a ), a zatem:

tak*∈KerW celu*⇔∀x∈D(W celu)⟨W celu*(tak*),x⟩=0⇔∀x∈D(W celu)⟨tak*,W celu(x)⟩=0{\ displaystyle y ^ {*} \ in {\ text {Ker}} \, a ^ {*} \ Leftrightarrow \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \; \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle = 0 \ Leftrightarrow \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \; \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle = 0}

Co pokazuje drugi remis.

• Ortogonalny jądra a zawiera adhezję obrazu zastępcy a, a ortogonalny jądra zastępcy a to adhezja obrazu a  :

Badanie ciągłych kształtów dwuliniowych pokazuje, że ortogonalna ortogonalna przestrzeni wektorowej zawiera adhezję przestrzeni początkowej. Ortogonalny do ortogonalnego obrazu adiunkta a zawiera zatem przyleganie obrazu adiunkta a . Poprzednia propozycja pozwala wywnioskować o następującym wpisie:

(KerW celu)⊥⊃JestemW celu*Ż{\ displaystyle ({\ tekst {Ker}} \, a) ^ {\ bot} \ supset {\ overline {{\ tekst {im}} \, a ^ {*}}}}

Uwagi i referencje

Uwagi

1. Patrz na przykład S. Lang , Analyze Réelle , InterEditions, Paris, 1977 ( ISBN  978-2-72960059-4 ) , s.  157 .
2. Jacques Dixmier , Les C*-algebry i ich reprezentacje , Gauthier-Villars, 1964, reed. J. Gabay, 1996 ( ISBN  978-2-87647-013-2 ) .
3. Patrz np. Brezis , s.  27.
4. Jest to jedna z wersji twierdzenia Hellingera-Toeplitza  (w)  : RE Edwards, „  Twierdzenie Hellingera-Toeplitza  ”, J. London Math. Soc. , S. 1, t. 32, n o  4, 1957 , str.  499-501 .
5. Brezis , s.  27.

Bibliografia

• Walter Rudin , Analiza rzeczywista i zespolona: Lekcje i ćwiczenia , Dunod, 3 rd ed. 1998 ( ISBN  978-210004004-9 )
• Serge Lang , Algebra [ szczegóły wydań ]
• Haïm Brezis , Analiza funkcjonalna: teoria i zastosowania ,1999 [szczegóły wydań]
• (en) Joram Lindenstrauss i Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces tom I , Springer, 1996 ( ISBN  978-354060628-4 )
• (en) Gert Pedersen, C*-algebry i ich grupy automorficzne , Academic Press, London, New-York, 1979 ( ISBN  978-012549450-2 )

Załączniki

Linki wewnętrzne

• Transformacja Aluthge

Linki zewnętrzne

• Adiunkt endomorfizmu i jego własności autorstwa A. Morame z University of Nantes 2006. Kurs dotyczy przypadku rzeczywistego w wymiarze skończonym.
• Asystent endomorfizmu przestrzeni hermitowskiej na stronie les-mathematiques.net, C. Antonini i in. Ten kurs zajmuje się złożonym przypadkiem głównie w wymiarze skończonym.
• Asystent strony endomorfizmu firmy Cabrilog wspieranej przez CNRS i Uniwersytet Josepha Fouriera z Grenoble. Zajmuje się euklidesowym przypadkiem drugiego wymiaru.
• Analiza funkcjonalna i teoria spektralna B. Maurey University of PARIS VII. Odpowiada kursowi magisterskiemu i zajmuje się ogólnym przypadkiem Banacha.
• Asystent operatora przy J.Ch. Gilbert z Inrii. Ten tekst dotyczy tylko przypadku Banacha.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">