Transformacja Aluthge'a
W matematyce , a dokładniej w analizy funkcjonalnej The transformacji Aluthge to operacja zdefiniowana w zbiorze ograniczonych operatorów o powierzchni Hilberta ; jest ważnym narzędziem do badania pewnych klas operatorów liniowych .
Pozwolić przestrzeń Hilberta . Oznaczymy samą algebrę ciągłych operatorów liniowych .
H.{\ displaystyle H}
b(H.){\ Displaystyle B (H)}
H.{\ displaystyle H}![H.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
Pozwól , być jego
operator asystent i
pierwiastek kwadratowy z operatorem . Istnieje unikalna
izometria częściowa, taka że i .
T∈b(H.){\ Displaystyle T \ w B (H)}
T∗{\ Displaystyle T ^ {*}}
|T|{\ displaystyle | T |}
T∗T{\ displaystyle T ^ {*} T}
U{\ displaystyle U}
T=U|T|{\ Displaystyle T = U | T |}
ker(U)⊃ker(T){\ Displaystyle \ ker (U) \ supset \ ker (T)}![{\ Displaystyle \ ker (U) \ supset \ ker (T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980977180b264788e2b6b6b601b756463e163751)
Definicja
Niech i jego polarny rozkład. Transformacja Aluthge'a jest operatorem zdefiniowanym przez:
T∈b(H.){\ Displaystyle T \ w B (H)}
T=U|T|{\ Displaystyle T = U | T |}
T{\ displaystyle T}
Δ(T){\ Displaystyle \ Delta (T)}![{\ Displaystyle \ Delta (T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9304c98d2ed413fdbc25d2c7d5b425c8b28f06a)
Δ(T)=|T|12U|T|12{\ Displaystyle \ Delta (T) = | T | ^ {\ Frac {1} {2}} U | T | ^ {\ Frac {1} {2}}}![{\ Displaystyle \ Delta (T) = | T | ^ {\ Frac {1} {2}} U | T | ^ {\ Frac {1} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1cec15e695c2025439467c49af17d6a5b844c71)
.
Mówiąc bardziej ogólnie, dla dowolnej liczby rzeczywistej nazywamy -transformację Aluthge operatora .
λ∈[0,1]{\ Displaystyle \ lambda \ in [0,1]}
λ{\ displaystyle \ lambda}
T{\ displaystyle T}
Δλ(T): =|T|λU|T|1-λ∈b(H.){\ Displaystyle \ Delta _ {\ lambda} (T): = | T | ^ {\ lambda} U | T | ^ {1- \ lambda} \ in B (H)}![{\ Displaystyle \ Delta _ {\ lambda} (T): = | T | ^ {\ lambda} U | T | ^ {1- \ lambda} \ in B (H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3d3af3a5b390f0f12a4eecf338d5db0a98405c)
Przykład
Dla dwóch wektorów , to operator określa się jako: . Podstawowe obliczenia pokazują, że jeśli tak .
x,y∈H.{\ displaystyle x, y \ in H}
x⊗y{\ displaystyle x \ otimes y}
∀z∈H.x⊗y(z)=⟨z,y⟩x{\ displaystyle \ forall z \ in H \ quad x \ otimes y (z) = \ langle z, y \ rangle x}
y≠0{\ displaystyle y \ neq 0}
Δλ(x⊗y)=Δ(x⊗y)=⟨x,y⟩‖y‖2y⊗y{\ Displaystyle \ Delta _ {\ lambda} (x \ otimes y) = \ Delta (x \ otimes y) = {\ Frac {\ langle x, y \ rangle} {\ lVert y \ rVert ^ {2}}} y \ otimes y}![{\ Displaystyle \ Delta _ {\ lambda} (x \ otimes y) = \ Delta (x \ otimes y) = {\ Frac {\ langle x, y \ rangle} {\ lVert y \ rVert ^ {2}}} y \ otimes y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80fbf53d550026100e2fad25464b9581ce9ff8da)
Uwagi i odniesienia
-
(en) Fadil Chabbabi i Mostafa Mbekhta, „ Mapy produktów Jordanii dojeżdżających z transformacją λ-Aluthge ” , J. Math. Analny. Appl. , vol. 450 n o 1,2017, s. 293-313 ( DOI 10.1016 / j.jmaa.2017.01.036 ) ; (en) Fadil Chabbabi, „ Product commuting maps with the λ-Aluthge transform ” , on HAL ,2016, prop. 2.1.
Link zewnętrzny
(en) „ Ariyadasa Aluthge ” na stronie Mathematics Genealogy Project
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">