Diagonalizacja

W matematyce The diagonalizacja jest procesem liniowym Algebra co sprawia, że możliwe jest uproszczenie opisu niektórych endomorfizm o przestrzeń wektorową , w szczególności niektórych kwadratowych macierzy . Polega na znalezieniu i wyjaśnieniu podstawy przestrzeni wektorowej utworzonej z wektorów własnych , jeśli taka istnieje. W wymiarze skończonym diagonalizacja sprowadza się do opisania tego endomorfizmu za pomocą macierzy diagonalnej .

Proces ten sprowadza się zatem do maksymalnej redukcji endomorfizmu, to znaczy do rozkładu przestrzeni wektorowej na bezpośrednią sumę linii wektorowych, które są stabilne przez endomorfizm. W każdej z tych linii endomorfizm jest zredukowany do homoteci . Diagonalizacja endomorfizmu pozwala na szybkie i proste obliczenie jego potęg oraz wykładniczy , co umożliwia numeryczne wyrażenie pewnych liniowych układów dynamicznych , otrzymanych przez iterację lub równania różniczkowe .

metoda

• Czasami konieczne jest obliczenie charakterystycznej wielomianów matrycy, w celu określenia jego wartości własnych oraz związanych eigen podprzestrzeni :
  Na , charakterystyczny wielomian gdzie jest nieokreślone i że n jest macierzą tożsamości z . Wartości własne λ i są pierwiastkami , więc istnieje co najwyżej n wartości własnych wielokrotności m i . Następnie określa się, dla każdej wartości własnej, podprzestrzeń własną, która jest z nią związana:M∈Mnie(K.){\ Displaystyle M \ w M_ {n} (K)}χM(X)=remit(Xjanie-M){\ displaystyle \ chi _ {M} (X) = {\ rm {det}} (XI_ {n} -M)}X{\ displaystyle X}Mnie(K.){\ Displaystyle M_ {n} (K)}
  χM{\ displaystyle \ chi _ {M}}
  miλja=K.mir(M-λjajanie).{\ Displaystyle E _ {\ lambda _ {i}} = {\ rm {Ker}} (M- \ lambda _ {i} I_ {n}).}Macierz jest diagonalizowalna tylko wtedy, gdy wymiar każdej podprzestrzeni własnej E λ i jest równy krotności m i wartości własnej λ i , co oznacza, że ​​dla każdego mamy bazę wektorów własnych m i, które l 'oznaczamy przez X i, j , 1 ≤ j ≤ m i . Wtedy istnieje odwracalna macierz U taka, że U −1 MU jest równa macierzy diagonalnej D, której współczynniki przekątnej są λ i powtórzone m i razy, a U jest macierzą, której kolumny są wektorami X i, j (rząd l 'nie nie ma znaczenia, ale jeśli mamy wektor X i, j na k- tej kolumnie U , to mamy wartość własną λ i w k- tej kolumnie D ).miλja{\ textstyle E _ {\ lambda _ {i}}}
  
• Możliwe jest również bezpośrednie określenie wartości własnych i podstaw powiązanych podprzestrzeni własnych. Macierz M jest diagonalizowalna wtedy i tylko wtedy, gdy suma wymiarów różnych podprzestrzeni własnych jest równa n . Jeśli macierz jest diagonalizowalna, to istnieje odwracalna macierz P, otrzymana przez umieszczenie jednej obok drugiej, a odpowiednie kolumny tworzą podstawę każdej z podprzestrzeni, a macierz D = P −1 MP jest wtedy diagonalna. Wymiar eigenspace związanego z wartością własną odpowiada liczbie cykli, to ostatnie jest powtarzany na przekątnej przekątnej macierzy D, podobnym do macierzy M .
• Endomorfizm u, który ma tylko skończoną liczbę wartości własnych (co zawsze ma miejsce w skończonym wymiarze) jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest anulowany przez rozszczepiony wielomian z prostymi pierwiastkami . Ponadto rzutniki na odpowiednich podprzestrzeni są następnie wyrażane jako wielomiany in u (patrz Lemat jąder ).

Przykłady

Pierwszy przykład

Rozważ macierz:

W=(1200302-42).{\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 2 i 0 \\ 0 i 3 i 0 \\ 2 i -4 i 2 \ koniec {pmatrix}}.}

Ta macierz przyjmuje jako wartości własne  :

λ1=3,λ2=2,λ3=1.{\ Displaystyle \ lambda _ {1} = 3, \ quad \ lambda _ {2} = 2, \ quad \ lambda _ {3} = 1.}

Zatem A, który ma rozmiar 3, ma 3 różne wartości własne, a zatem jest diagonalizowalny.

Jeśli chcemy diagonalizować A , musimy określić odpowiednie wektory własne . Są na przykład:

v1=(11-2),v2=(001),v3=(10-2).{\ Displaystyle V_ {1} = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \ koniec {pmatrix}}, \ quad v_ {2} = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}, \ quad v_ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ - 2 \ end {pmatrix}}.}

Możemy to łatwo zweryfikować . Wvk=λkvk{\ displaystyle Av_ {k} = \ lambda _ {k} v_ {k}}

Teraz niech P będzie macierzą mającą te wektory własne jako kolumny:

P.=(101100-21-2).{\ displaystyle P = {\ początek {pmatrix} 1 i 0 i 1 \\ 1 i 0 i 0 \\ - 2 i 1 i -2 \ koniec {pmatrix}}.}

Następnie „  P przekątna A  ”, jak pokazuje proste obliczenie:

P.-1WP.=(0102011-10)(1200302-42)(101100-21-2)=(300020001).{\ displaystyle P ^ {- 1} AP = {\ początek {pmatrix} 0 i 1 i 0 \\ 2 i 0 i 1 \\ 1 i -1 i 0 \ koniec {pmatrix}} {\ początek {pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & -2 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}

Zauważ, że wartości λ k pojawiają się na przekątnej matrycy w tej samej kolejności, że umieściliśmy konkretne kolumny do formularza P .

Drugi przykład

Jest W=(03-12-11002)∈M3(R){\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 3 i -1 \\ 2 i -1 i 1 \\ 0 i 0 i 2 \ koniec {pmatrix}} \ w M_ {3} (\ mathbb {R} )}

χW(T)=det⁡(Tja3-W)=|T-31-2T+1-100T-2|=(T-2)2(T+3){\ displaystyle \ chi _ {A} (T) = \ operatorname {det} (TI_ {3} -A) = {\ początek {vmatrix} T & -3 i 1 \\ - 2 i T + 1 i -1 \\ 0 & 0 & T-2 \ end {vmatrix}} = (T-2) ^ {2} (T + 3)}(zobacz obliczenia wyznacznika )

Więc wartości własne to:

• 2 z krotności 2,
• –3 wielokrotności 1.

Obliczanie podprzestrzeni własnych:

Obliczenie E 2  : Szukamy takich, które:X=(x1x2x3){\ Displaystyle X = {\ rozpocząć {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ koniec {pmatrix}}}(W-2ja3)X=0{\ textstyle (A-2I_ {3}) X = 0}

Złoto:

(W-2ja3)X=0⇔(-23-12-31000)(x1x2x3)=0⇔-2x1+3x2-x3=0{\ Displaystyle (A-2I_ {3}) X = 0 \ Leftrightarrow {\ rozpocząć {pmatrix} -2 i 3 i -1 \\ 2 i -3 i 1 \\ 0 i 0 i 0 \ koniec {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} = 0 \ Leftrightarrow -2x_ {1} + 3x_ {2} -x_ {3} = 0}

W związku z tym mi2=Vect⁡{(320),(10-2)}{\ displaystyle E_ {2} = \ operatorname {Vect} \ left \ {{\ begin {pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ - 2 \ end {pmatrix}} \ right \}}

Postępujemy w ten sam sposób dla E –3 i otrzymujemy:

mi-3=Vect⁡{(1-10)}{\ Displaystyle E _ {- 3} = \ operatorname {Vect} \ lewo \ {{\ początek {pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \ koniec {pmatrix}} \ prawo \}}

Mamy: i dlatego ta macierz jest diagonalizowalna. Słońce⁡(mi2)=2{\ displaystyle \ operatorname {dim} (E_ {2}) = 2 \,}Słońce⁡(mi-3)=1{\ displaystyle \ operatorname {dim} (E _ {- 3}) = 1 \,}

Możliwa diagonalizacja to :, zb=U-1WU=(20002000-3){\ Displaystyle B = U ^ {- 1} AU = {\ rozpocząć {pmatrix} 2 i 0 i 0 \\ 0 i 2 i 0 \\ 0 i 0 i {- 3} \ koniec {pmatrix}}}U=(31120-10-20).{\ Displaystyle U = {\ rozpocząć {pmatrix} 3 i 1 i 1 \\ 2 i 0 i -1 \\ 0 i -2 i 0 \ koniec {pmatrix}}.}

Projektor

Niech (w każdym wymiarze) P będzie projektor , to znaczy w idempotentnych endomorfizm  : P 2 = s . Jest on anulowany przez wielomian X 2 - X = ( X - 1) X , który jest podzielony i ma pojedyncze pierwiastki. Jest zatem diagonalizowalny, o wartościach własnych 1 i 0. Projektory na dwóch odpowiadających im podprzestrzeniach własnych ( dodatkowo jedna z pozostałych) to p i id - p . Jeśli przestrzeń jest znormalizowana (lub bardziej ogólnie, jeśli jest to topologiczna przestrzeń wektorowa ) i jeśli p jest ciągłe , te dwie podprzestrzenie są zatem nawet dodatkowymi topologicznymi .

Symetria

Zawsze w dowolnym wymiarze, daj e być symetryczne , to znaczy jest involutive endomorfizm  : s 2 = Id. Jest ona anulowana przez wielomian X 2 - 1 = ( X - 1), ( X + 1), która jest podzielona, i pierwiastki jak tylko pole z skalarów ma charakterystyczne różnią się od 2. W związku z tym, w tym przypadku diagonalizowalne, jej dwie wartości własne (dla wartości własnych 1 i –1) są ponadto (dla wartości własnych 1 i 0) projektora p = ( s + id) / 2.

Na przykład w przestrzeni ℒ ( H ) operatorów ograniczonych w przestrzeni Hilberta H na K = ℝ lub ℂ , symetria, która każdemu operatorowi przypisuje jego dodatek, jest zawsze ℝ-liniowa i diagonalizowalna jako taka  : operatory Hermitians i Antihermitians form dwie dodatkowe podprzestrzenie wektorów rzeczywistych (topologiczne). (Gdy H ma skończony wymiar n nad K , zapis macierzy pokazuje, że ich wymiary są odpowiednio równe n ( n + 1) / 2 i n ( n - 1) / 2, jeśli H jest euklidesowe , a oba są równe n 2 jeśli H jest hermitem ).

Ograniczenia i ogólność

Nie wszystkie endomorfizmy można diagonalizować. Jednak:

• charakterystyczny wielomian endomorfizmu jest podzielony wtedy i tylko wtedy, gdy jego minimalny wielomian jest podzielony , a na algebraicznie zamkniętym polu, takim jak ℂ , zawsze tak jest. W tym przypadku rozkład Dunforda zapewnia, że ​​endomorfizm rozkłada się jako suma diagonalizowalnego endomorfizmu i przemieszczającego się potencjału zerowego, co ułatwia obliczenie jego potęg i wykładników  ;
• w zbiorze kwadratowych macierzy o stałej wielkości ze złożonymi współczynnikami (które wszystkie są trygonalne na ℂ) zbiór diagonalizowalnych macierzy jest gęsty (dla zwykłej topologii );
• w zbiorze kwadratowych macierzy o ustalonym rozmiarze z rzeczywistymi współczynnikami, które mogą być trygonalizowane na ℝ (tj. których wartości własne - zespolona a priori - są rzeczywiste), zbiór macierzy diagonalizowalnych jest gęsty.

Jednoczesna diagonalizacja

Jeśli rodzina endomorfizmów przestrzeni E jest jednocześnie diagonalizowalna , to znaczy jeśli istnieje właściwa podstawa E dla wszystkich , to jest jasne, że przemieszczają się one po dwóch . (uja)ja∈ja{\ displaystyle (u_ {i}) _ {ja \ in I}}uja{\ displaystyle u_ {i}}uja{\ displaystyle u_ {i}}

Mamy tylko częściową odwrotność: jeśli E ma skończony wymiar lub jest skończony, każda rodzina diagonalizowalnych endomorfizmów E, które dojeżdżają dwa na dwa, jest jednocześnie diagonalizowalna. ja{\ displaystyle I}(uja)ja∈ja{\ displaystyle (u_ {i}) _ {ja \ in I}}

Uwagi i odniesienia

1. Yoann Gelineau ( Université Claude-Bernard Lyon 1 ), Gęstość diagonalizowalnych macierzy w ℳ n (ℂ) , za Rombaldim, Thèmes pour l ' agregation de mathematics , s.  51 .
2. Poprawione ćwiczenia Diagonalizacja i stabilne podprzestrzenie na Wikiversity .

Bibliografia

(en) Richard S. Varga, Matrix Iterative Analysis , Springer, 2010 ( ISBN  978-3-64205154-8 )

Powiązane artykuły

• Analiza głównych składowych
• Macierz zerowa (na przykład macierze trygonalizowalne, ale nie diagonalizowalne ); Macierz diagonalizowalna (w tym macierze jednocześnie diagonalizowalne )
• Redukcja matrycy
• Redukcja endomorfizmu