Lemat jąder

W algebry liniowej , lemat jądra , zwany także jądro rozkładu twierdzenie , to wynik na redukcję endomorfizm . W przestrzeni wektorowej E nad przemiennego pola K , jeśli operator U od E, jest anulowana przez wielomian P ( X ) ze współczynników K , to lemat zapewnia rozkład E jako bezpośrednio sumę do stabilnych podzbiorów wektorów przez u . Są one zdefiniowane w postaci ziaren o wielomianów U i związane projektory same są wielomiany u .

Dowód tłumaczy tożsamość Bézouta na wielomianach na podprzestrzenie wektorowe . Zasadniczy rezultat, lemat jąder prowadzi do rozkładu Dunforda, a następnie do rozkładu Jordana . Mówiąc skromniej, lemat jądra pokazuje, że operator u jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest anulowany przez podzielony wielomian z prostymi pierwiastkami .

Stany

Lematu rdzenie  -  Niech E jest przestrzenią wektor nad polem K i F w endomorfizm z E . Jeśli (z n ściśle dodatnią liczbą całkowitą) są pierwsze między nimi dwa na dwa, to podprzestrzenie wektorowe (gdzie 1 ≤ i ≤ n ) są w sumie bezpośredniej i P.1,...,P.nie∈K.[X]{\ Displaystyle P_ {1}, \ ldots, P_ {n} \ w K [X]}Vja=ker⁡(P.ja(fa)){\ Displaystyle V_ {i} = \ ker (P_ {i} (f))}

⨁ja=1nieVja=ker⁡[(∏ja=1nieP.ja)(fa)].{\ Displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} V_ {i} = \ ker \ lewo [\ lewo (\ prod _ {i = 1} ^ {n} P_ {i} \ prawo) (f) \ dobrze].}

Ponadto rzut sumy bezpośredniej na równoległe do jest ograniczeniem do wielomianu w . V{\ displaystyle V}Vja{\ displaystyle V_ {i}}⨁jot≠jaVjot{\ displaystyle \ bigoplus _ {j \ neq i} V_ {j}}V{\ displaystyle V}fa{\ displaystyle f}

Aplikacje

Lemat jądra służy do redukcji endomorfizmów. Na przykład :

Redukcja do przekątnej blokach  -  Niech E będzie skończonych wymiarową przestrzeń liniowa nad polem K , M a endomorfizm z E i anulowanie wielomianu o f (na przykład jego minimalna wielomianowej lub jego charakterystyka wielomian według się Cayley Twierdzenie -Hamilton ) i rozkład na czynniki P za pomocą nieredukowalnych i odrębnych wielomianów P i . Wtedy istnieje bazowe B o E i matryc w taki sposób, P.∈K.[X]{\ Displaystyle P \ w K [X]}∏ja=1nieP.jamja{\ Displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} P_ {i} ^ {m_ {i}}} Wja∈Mnieja(K.){\ Displaystyle A_ {i} \ w \ mathbf {M} _ {n_ {i}} (K)}

Mwtb(fa)=(W10...00W2...0⋮⋮⋱⋮00...Wnie);{\ Displaystyle \ mathrm {Mat} _ {B} (f) = {\ początek {pmatrix} A_ {1} i 0 i \ kropki i 0 \\ 0 i A_ {2} i \ kropki i 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & A_ {n} \ end {pmatrix}};}

gdzie (w rzeczywistości część B odpowiadająca blokowi jest podstawą ) i . nieja=Słońce⁡ker⁡P.jamja(fa){\ Displaystyle n_ {i} = \ dim \ ker P_ {i} ^ {m_ {i}} (f)}Wja{\ displaystyle A_ {i}}ker⁡P.jamja(fa){\ Displaystyle \ ker P_ {i} ^ {m_ {i}} (f)}P.jamja(Wja)=0{\ Displaystyle P_ {i} ^ {m_ {i}} (A_ {i}) = 0}

Demonstracja

A zatem hipotezą , zgodnie z lematem jądra: ker⁡P.(fa)=mi{\ Displaystyle \ ker P (f) = E}

mi=⨁ja=1nieker⁡P.jamja(fa).{\ Displaystyle E = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} \ ker P_ {i} ^ {m_ {i}} (f).}

Każda podprzestrzeń jest stabilna przez f , więc macierz f w dowolnej bazie E odpowiedniej do poprzedniej dekompozycji na stabilne podprzestrzenie jest blokowana po przekątnej zgodnie z potrzebą. ker⁡P.jamja(fa){\ Displaystyle \ ker P_ {i} ^ {m_ {i}} (f)}

Uwaga

1. Aby zapoznać się z demonstracją, zobacz „Lemme rdzenie” w lekcji „Redukcja endomorfizmów” na Wikiwersytecie .