Wartość własna (podsumowanie)

Pojęcia wektor własny , wartości własnej i eigenspace dotyczą endomorfizm (lub operatorów liniowych), to znaczy przekształceń liniowych o przestrzeni wektorowej w sobie. Są one ściśle powiązane i tworzą filar redukcji endomorfizm , część algebry liniowej , która ma na celu rozłożenia przestrzeni w sposób możliwie najbardziej efektywny w bezpośrednim suma o stabilnych podprzestrzeni .

Definicje i właściwości

W dalszej części, uważamy przestrzeni wektorowej E nad przemiennym polu K . Elementy E to wektory, a elementy K to skalary . W praktyce pole K jest często polem ℂ kompleksów, a przestrzeń wektorowa ma skończony wymiar . W każdej sekcji zostaną określone wszelkie ograniczenia dotyczące ciała lub rozmiaru. Przez u oznaczamy endomorfizm E, a $Id$ - endomorfizm tożsamości .

Wartość własna

Definicja - Skalar $λ$ jest wartością własną u, jeśli istnieje niezerowy wektor x taki, że u ( x ) = $λ$ x .

Wartości własne u są zatem skalarami $λ$ takimi, że u - $λId$ nie jest iniekcyjny (innymi słowy, jego jądro nie jest zredukowane do wektora zerowego ).

Wartości własne macierzy kwadratowej A o rozmiarze n są wartościami własnymi endomorfizmu K n macierzy A na podstawie kanonicznej .

Jeśli E ma skończony wymiar n , wartości własne u (lub jego macierzy A na dowolnej podstawie ):

są pierwiastkami ich wspólnego charakterystycznego wielomianu , det ( X Id - u ) = det ( X I n - A );
są wszystkie wartości widmowych z U (lub A ): elementy ich wspólnej częstotliwości .

Przykłady:

jeśli u = $Id,$ to u ma tylko jedną wartość własną: 1.
jeśli u jest zdefiniowane na ℝ 2 , wtedy u ma dwie wartości własne: u(x1,x2)=(x1+6x2,x1+2x2){\ Displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} + 6x_ {2}, x_ {1} + 2x_ {2})} $u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} + 6x_ {2}, x_ {1} + 2x_ {2})$
- 4 ponieważ $u (2,1) = (8,4) = 4 (2,1)$
- –1 ponieważ $u (-3,1) = (3, -1) = - 1 (-3,1)$
- brak innej wartości własnej, ponieważ wymiar wynosi 2.

Czysty wektor

Definicja - Niech x będzie niezerowym wektorem E , x jest wektorem własnym u, jeśli istnieje taki skalar $λ$ , że u ( x ) = $λ$ x . Mówimy, że x jest wektorem własnym skojarzonym z wartością własną $λ$ .

Wektory własne (związane z wartością własną $λ$ ) macierzy kwadratowej A o rozmiarze n są wektory (związane z wartością własną $λ$ ) z endomorfizm w K N reprezentowane przez A .

Wektor własny nie może być powiązany z dwoma różnymi wartościami własnymi
Rodzina k wektorów własnych związanych z k różnymi wartościami własnymi tworzy wolną rodzinę .

Czyste podprzestrzenie

Definicja - Niech λ będzie wartością własną u (odp. A ); wtedy zbiór utworzony z wektorów własnych dla wartości własnej λ i wektor zerowy nazywamy wartością własną u (odp. A ) związaną z wartością własną λ.

Podprzestrzeń własna związana z wartością własną λ jest jądrem u - λ $Id$ . Jest to zatem podprzestrzeń wektorowa .
Z definicji wartości własnej, wartość własna nigdy nie jest redukowana do wektora zerowego.
Dla kwadratowej macierzy A o rozmiarze n , znajdujemy odpowiednią podprzestrzeń związaną z wartością własną λ, rozwiązując (jednorodny) układ n równań liniowych z n niewiadomymi, których zapis macierzy to ( A - $λ$ I n ) v = 0.
Przestrzenie własne E i wartości własnych λ i tworzą bezpośrednią sumę podprzestrzeni wektorów stabilnych przez u .
Jest to konsekwencja lematu jądra , zastosowanego do wielomianów X - λ i , które są między nimi dwa na dwa pierwsze.
Ta bezpośrednia suma E i jest równa E wtedy i tylko wtedy, gdy endomorfizm jest diagonalizowalny.
Jeśli dwa endomorfizmy u i v dojeżdżają , to każda właściwa podprzestrzeń u jest stabilna pod v .

Charakterystyczny wielomian

Zakładamy tutaj, że E ma skończony wymiar n .

Nazywamy „charakterystycznym wielomianem” endomorfizmu u , wielomianem det ( X $Id$ - u ) i „charakterystycznym wielomianem” macierzy kwadratowej A rzędu n , charakterystycznym wielomianem endomorfizmu K n kanonicznie powiązanym z A , tj. wielomian det ( XI n - A ), gdzie I n jest macierzą tożsamości n × n . Ten wielomian jest stopnia n , więc ma co najwyżej n pierwiastków .

Albo a : E → F jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych , to znaczy liniowym bijektywem , wtedy u i aua -1 mają ten sam charakterystyczny wielomian, a zatem te same wartości własne.
W rzeczy samej, ${\ Displaystyle \ det (\ lambda {\ rm {Id}} _ {F} -aua ^ {- 1}) = \ det (a (\ lambda {\ rm {Id}} _ {E} -u) a ^ {- 1}) = \ det (\ lambda {\ rm {Id}} _ {E} -u).}$
Charakterystyczny wielomian u jest zatem równy wielomianowi jego macierzy A na dowolnej podstawie .
Korzenie charakterystycznego wielomianu u (lub A ) są jego wartościami własnymi.
Rzeczywiście, endomorfizm ma wyznacznik zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest iniekcyjny.
Jeżeli K jest algebraicznie zamknięte , lub K jest R pole liczb rzeczywistych , a n jest liczbą nieparzystą, a U ma co najmniej jedną wartości własnej.
Powiedzieć, że ciało jest algebraicznie zamknięte, to powiedzieć, że każdy nie stały wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek. Ten pierwiastek jest siłą rzeczy wartością własną, zgodnie z pierwszym punktem powyżej. Z drugiej strony rzeczywisty wielomian nieparzystego stopnia zawsze ma prawdziwy pierwiastek.

Rząd krotności algebraicznej wartości własnej λ jest rzędem krotności pierwiastka wielomianu charakterystycznego. Jest więc wykładnikiem ( X - λ) w charakterystycznym wielomianu.

W algebraicznie zamkniętym polu:
- Wyznacznik jest równy iloczynowi wartości własnych podniesionych do ich rzędu krotności algebraicznej;
- Ślad jest równy sumie wartości własnych pomnożonych przez ich rząd krotności algebraicznej.

Minimalny wielomian

Umieszczamy się tutaj w ramach przestrzeni wektorowej E o skończonym wymiarze.

Nazywamy „minimalny wielomian” od U wielomian jednostka z najmniejszym stopniu, który anuluje u . Minimalny wielomian daje liniową zależność od potęg u 0 , u 1 , u 2 ,…, endomorfizmu, a odwrotnie taka liniowa relacja zależności daje znoszący wielomian u , minimalny wielomian poprzez zminimalizowanie stopnia i przyjęcie współczynnik 1 dla największej występującej potęgi u .

Podstawą minimalnego wielomianu są wartości własne u .

Jeśli najmniejszy wielomian jest rozłożony na czynniki M = ( X - λ) Q , to M ( u ) = ( u - λ

Id

) u Q ( u ) jest zerowym endomorfizmem, podczas gdy Q ( u ) nie jest (ponieważ stopień Q jest za niski). W konsekwencji na obrazie Q ( u ) istnieją niezerowe wektory , które są wektorami własnymi dla λ.

Bardziej ogólnie dla dowolnej liczby całkowitej i ≥ 1, minimalny wielomian jest podzielny przez ( X - λ) i wtedy i tylko wtedy, gdy jądro ( u - λ $Id$ ) i jest ściśle większe niż jądro ( u - λ $Id$ ) i - 1 . W konsekwencji krotność m λ jako pierwiastka minimalnego wielomianu jest równa najmniejszemu wykładnikowi, tak że jądro ( u - λ $Id$ ) m jest równe charakterystycznej podprzestrzeni związanej z wartością własną λ. Nazywa się to minimalną wielokrotnością λ.
Niech a będzie automorfizmem od E , to u a aua -1 mają taką samą minimalną wielomianu (i w związku z tym te same wartości własne). Innymi słowy, minimalny wielomian jest niezmiennikiem podobieństwa endomorfizmu.
Rzeczywiście, P ( aua -1 ) równa aP ( U ) jest -1 dla każdej wielomianu P .
Na algebraicznie zamkniętym polu, minimalny wielomian (jak każdy wielomian niezerowy) jest podzielony , a zatem ma co najmniej jeden pierwiastek, który jest wartością własną u (wyjątek: jeśli wymiar E wynosi zero, minimalny wielomian wynosi 1, podobnie jak charakterystyczny wielomian, a u nie ma wartości własnej).
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona pozwala nam stwierdzić, że minimalny wielomian dzieli charakterystyczny wielomian

Charakterystyczne podprzestrzenie

Zakładamy, że E jest skończono wymiarowe i że K jest algebraicznie zamknięte.

Jeśli λ jest wartością własną u , której rząd wielokrotności wynosi α λ , „charakterystyczną podprzestrzeń” u związaną z wartością własną λ nazywamy jądrem ( u - λ $Id$ ) α λ . Oznaczymy tę charakterystyczną podprzestrzeń E λ .

E λ jest również jądrem ( u - λ $Id$ ) β λ, gdzie β λ jest rzędem wielokrotności λ w minimalnym wielomianu.
E λ jest stabilne przy u .
dim ( E λ ) = α λ .
Przestrzeń E jest bezpośrednią sumą jej charakterystycznych podprzestrzeni.
ograniczenie u do E λ ma minimalny wielomian ( X - λ) β λ .

Redukcja endomorfizmu

Przypuszczamy, że E ma skończony wymiar. Badanie wartości własnych pozwala na znalezienie prostszej formy endomorfizmów, nazywa się to ich redukcją.

Diagonalizacja

Endomorfizm jest całkowicie zdeterminowany przez jego wektory własne i związane z nim wartości własne, jeśli jest diagonalizowalny, tj. Jeśli istnieje podstawa wektorów własnych. Przykłady liczbowe podano w artykule „ Diagonalizowalna macierz ”. Poniższe kryteria są wszystkimi niezbędnymi i wystarczającymi warunkami, aby endomorfizm skończonej wymiarowej przestrzeni wektorowej mógł być diagonalizowalny:

Istnieje baza wektorów własnych
suma z eigenspaces jest cała przestrzeń
suma wymiarów przestrzeni własnych jest równa wymiarowi całej przestrzeni
minimalny wielomian jest podzielony na K i ma pojedyncze pierwiastki. ( Dowód w Wielomianu endomorfizmu . )
każda właściwa podprzestrzeń ma wymiar równy algebraicznej wielokrotności powiązanej wartości własnej.
dowolna reprezentacja macierzy M od u jest diagonalizowalna, tj. może być zapisana w postaci M = PDP −1 z macierzami P i D odpowiednio odwracalnymi i diagonalnymi .

Oprócz tych równoważnych właściwości istnieją następujące konsekwencje:

Jeśli istnieje dim ( E ) różne wartości własne, to u jest diagonalizowalne.
Jeśli u jest diagonalizowalne, to jego charakterystyczny wielomian jest podzielony.

W przypadku pola field ta właściwość jest prawie wszędzie prawdziwa w sensie miary Lebesgue'a . Co więcej, w topologicznej przestrzeni endomorfizmów E podzbiór tych, które są diagonalizowalne, jest wtedy gęsty .

Rozkład Dunforda

Jeśli minimalny wielomian u jest podzielony, to u można zapisać w postaci u = d + n, gdzie d jest diagonalizowalny i n jest zerowy, tak że dn = nd . Ponadto d i n są wielomianami u .

Reprezentacja Jordanii

Zakładamy, że K jest algebraicznie zamknięte.

Reprezentacja Jordana dowodzi, że wtedy każdy endomorfizm u od E jest trigonalisable . Pokazuje, że ograniczenie u do charakterystycznej podprzestrzeni związanej z wartością własną $λ$ ma reprezentację utworzoną przez bloki postaci

J_ {k} (\ lambda) = {\ begin {pmatrix} \ lambda & 1 &&&& \\ & \ lambda & 1 && (0) & \\ && \ ddots & \ ddots && \ &&& \ ddots & \ ddots & \ \ & (0) &&& \ lambda & 1 \\ &&&&& \ lambda \\\ end {pmatrix}}

zwane „blokami Jordana” i że endomorfizm ma reprezentację macierzową w postaci

{\ begin {pmatrix} J _ {{k_ {1}}} (\ lambda _ {1}) &&&& \\ & J _ {{k_ {2}}} (\ lambda _ {2}) &&& \\ && \ ddots && \\ &&& \ ddots & \\ &&&& J _ {{k_ {r}}} (\ lambda _ {r}) \\\ end {pmatrix}}

gdzie skalary $λ i$ (niekoniecznie różne) są wartościami własnymi u .

Zobacz też

Powiązane artykuły

Bibliografia

Serge Lang , Algebra [ szczegóły wydania ]
Haïm Brezis , Analiza funkcjonalna: teoria i zastosowania [ szczegóły wydań ]
Walter Rudin , Analiza funkcjonalna [ szczegóły wydań ]
(en) Nelson Dunford and Jacob T. Schwartz (en) , Linear Operators, Part I General Theory , Wiley-Interscience, 1988