W matematyce The podstawowym twierdzenie Algebra , zwany również D'Alembert'a-Gaussa twierdzenie i D'Alembert'a twierdzenie , oznacza, że każdy nie- stała wielomian , z złożonych współczynników , przyjmuje co najmniej jeden pierwiastek . W związku z tym każdy wielomian o współczynnikach całkowitych , wymiernych, a nawet rzeczywistych dopuszcza co najmniej jeden pierwiastek zespolony, ponieważ te liczby są również zespołami. Gdy wynik ten ustalono, staje się proste aby pokazać, że w ℂ, w zakresie liczb złożonych, każdy wielomian P jest podzielone , np stałe lub produkt wielomianów stopnia 1.
Czas sprawił, że wyrażenie podstawowego twierdzenia algebry stało się nieco paradoksalne. Rzeczywiście nie ma czysto algebraicznego dowodu tego twierdzenia. Do jego demonstracji konieczne jest wykorzystanie wyników topologicznych lub analitycznych . Wyrażenie pochodzi z czasów, gdy algebra była zasadniczo utożsamiana z teorią równań , czyli rozwiązywaniem równań wielomianowych. Granice algebry się zmieniły, ale nazwa twierdzenia utknęła.
Konsekwencje twierdzenia są liczne; w algebrze liniowej wynik ten jest niezbędny do redukcji endomorfizmu ; w analizie , to interweniuje w rozkładzie do prostych elementów z funkcji wymiernych stosowanych znaleźć prymitywne . Można je również znaleźć w algebraicznej teorii liczb , w podstawowym wyniku wskazującym, że każde algebraiczne rozszerzenie ciała wymiernych może być uważane za podciało kompleksu.
Historia pokazuje twierdzenie znaczenie wyników w oczach matematyków z XVIII -tego wieku . Największe nazwiska, takie jak d'Alembert , Euler , Lagrange czy Gauss , z różnym szczęściem przystąpiły do jego demonstracji. Różnorodność i bogactwo opracowanych w tym celu metod była potężnym motorem rozwoju badań matematycznych, a zwłaszcza lepszego zrozumienia liczb zespolonych.
Zasadnicze twierdzenie algebry przyznaje kilka równoważnych oświadczenia.
Twierdzenie D'Alemberta-Gaussa - Każdy niestały wielomian ze złożonymi współczynnikami dopuszcza co najmniej jeden złożony pierwiastek .Na przykład 1 + i jest pierwiastkiem wielomianu X 4 + 4. W tej postaci twierdzenie stwierdza istnienie pierwiastka wielomianu P ( X ), ale nie wyjaśnia, jak jednoznacznie go znaleźć. To stwierdzenie egzystencjalne opisuje bardziej właściwość ciała liczb zespolonych. Mówi się, że ciało jest algebraicznie domknięte, jeśli dowolny wielomian o ściśle dodatnim stopniu i współczynnikach w tym polu dopuszcza co najmniej jeden pierwiastek w tym polu. Twierdzenie można zatem przeformułować w następujący sposób:
(i) Pole ℂ jest algebraicznie domknięte.Ten wynik można również przeformułować pod kątem faktoryzacji wielomianów o złożonych współczynnikach:
(ii) Każdy wielomian o zespolonych współczynnikach jest dzielony .Wyniki te wskazują, że wielomian o zespolonych współczynnikach stopnia n , który można zapisać a n X n +… + a 1 X + a 0 jest również zapisany a n ( X - α 1 )… ( X - α n ). Tutaj rodzina (α k ), dla k zmieniającej się od 1 do n , jest rodziną pierwiastków. Niektóre numery a K może być równe; wtedy mówimy o wielu korzeniach .
Podstawowe twierdzenie algebry jest równoważne każdemu z następujących stwierdzeń:
(iii) Każdy wielomian niestały o współczynnikach rzeczywistych ma co najmniej jeden pierwiastek złożony. (iv) Wielomiany nierozkładalne o współczynnikach rzeczywistych to dokładnie wielomiany stopnia 1, a wielomiany stopnia 2 z dyskryminacją ściśle ujemną (pisząc aX 2 + bX + c, z niezerem i b 2 - 4 ac < 0 ) . (v) Każdy niestały wielomian o rzeczywistych współczynnikach jest zapisywany jako iloczyn wielomianów o rzeczywistych współczynnikach stopnia 1 lub 2. Wykazanie równoważności(i) ⇒ (ii): Udowodnijmy (ii) przez indukcję na n , stopniu wielomianu, z (i). Jeśli n jest równe 0, nie ma nic do udowodnienia. Załóżmy, że zbiór wyników dla dowolnego wielomianu stopnia ni niech P jest wielomianem stopnia n + 1. (i) implikuje istnienie pierwiastka α P . Następnie zapisuje się wielomian P ( X ) = ( X - α ) Q ( X ) z Q stopnia n, a zatem podzielonym przez hipotezę indukcyjną, tak że P również jest dzielony, dlatego (ii) jest udowodnione.
(ii) ⇒ (v): Przez (ii) dowolny wielomian P o rzeczywistych współczynnikach jest dzielony przez ℂ. Jeśli α jest złożonym (nierzeczywistym) pierwiastkiem P ( X ), to jest on sprzężony α , o tym samym rzędzie krotności , a ( X - α ) ( X - α ) ma współczynniki rzeczywiste. Dlatego otrzymujemy (v) grupując terminy dla każdego złożonego pierwiastka.
(v) ⇒ (iv): Zgodnie z (v), jeśli P jest nieredukowalne, to może być tylko stopnia 1 lub 2. Jeśli jest stopnia 1, jest rzeczywiście nieredukowalne. Jeśli jest stopnia 2, jest nieredukowalny (na ℝ) wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest ściśle ujemny.
(iv) ⇒ (iii): Wielomian niestały P o współczynnikach rzeczywistych dopuszcza co najmniej jeden nierozkładalny dzielnik R na ℝ. Takie R jest, zgodnie z (iv) stopniem 1 lub 2, a zatem ma kompleks korzeniowy, który jest wówczas również pierwiastkiem P .
(iii) ⇒ (i): Niech P ( X ) będzie wielomianem o zespolonych współczynnikach, a P * ( X ) wielomianem otrzymanym przez zastąpienie każdego współczynnika P ( X ) jego sprzężeniem. Wtedy P ( X ) P * ( X ) = R ( X ) ma rzeczywiste współczynniki. Przez (iii), R ( X ) dopuszcza pierwiastek zespolony α, więc P (α) P * (α) = 0. Więc jeśli α nie jest pierwiastkiem P , to P * (α) = 0, co daje P ( α ) = P * (α) = 0 = 0. Zatem α lub jego koniugat jest pierwiastkiem P , co dowodzi (i).
Czasami wydaje się konieczne obliczenie funkcji pierwotnej funkcji wymiernej , czyli funkcji ilorazowej dwóch funkcji wielomianowych. Możemy rozważyć funkcję f zdefiniowaną przez:
Wniosek z twierdzenia fundamentalnego wskazuje, że mianownik jest rozłożony na elementy pierwszego stopnia; tutaj znajdujemy:
Rozkład na prostych elementów przedstawień funkcyjnych istnienie trzech wartości , b i c tak, że:
Szybkie obliczenia pokazują, że a = 3/2, b = 1 i c = 5/2; obliczenie funkcji pierwotnej staje się wtedy łatwo osiągalne.
Redukcja endomorfizmu wykorzystuje wielomiany. Możemy wybrać jako szczególny przypadek jest autoadjoint endomorfizm A o przestrzeni euklidesowej E zilustrować zastosowanie twierdzenia. Jej macierz w bazie ortonormalnej jest więc symetryczna, a wszystkie jej wartości własne są rzeczywiste. Charakterystyczne wielomianu o a przyznaje się, zgodnie z podstawową twierdzenia Algebra, a Î głównego. Jest wartością własną . Zauważając, że ortogonalna przestrzeń F do przestrzeni własnej wartości własnej λ jest stabilna przez a , rozumiemy, że endomorfizm jest diagonalizowalny . Rzeczywiście, wystarczy teraz zastosować tę samą redukcję do ograniczenia od a do F , które jest również samopołączone . Stopniowo endomorfizm a ulega zatem diagonalizacji.
Ten przykład został wybrany spośród wielu innych. Diagonalizacja endomorfizmu pojawia się często jako konsekwencja istnienia pierwiastka wielomianu charakterystycznego lub minimalnego .
Jednym z przedmiotów tradycyjnej algebraicznej teorii liczb jest badanie ciał liczbowych , czyli skończonych rozszerzeń ℚ ciała liczb wymiernych. Wszystkie te pola są algebraiczne na ℚ więc są one zanurzone w algebraicznej zamknięcia , pole ℚ z liczb algebraicznych . Zgodnie z podstawowym twierdzeniem algebry ℚ zanurza się w ℂ.
Przedstawiony tu dowód uszczegóławia dowód Cauchy'ego .
Rozważamy wielomian stopnia n > 0 ze złożonymi współczynnikami, P ( X ) = a 0 + a 1 X +… + a n X n .
Po pierwsze, istnienie globalnego minimum dla funkcji w Z łączy jednostkę z P ( Z ) ma siedzibę. W tym celu zauważamy, że jeśli moduł z jest wystarczająco duży, moduł P ( z ) jest również duży, a zatem zbiór z, dla którego | P ( z ) | nie jest zbyt duży, jest z konieczności ograniczony. Następnie wykorzystujemy fakt, że każda ograniczona domknięta z ℂ jest zwarta i że funkcja ciągła zwartej w ℝ ma sam obraz zwarty, a więc domknięty i ograniczony , co oznacza, że funkcja osiąga swoje dolne ograniczenie w pewnym punkcie z 0 .
Na koniec rozumujemy na podstawie absurdu: zakładamy, że obraz z 0 przy P nie jest zerem. Znajdujemy „kierunek” c (niezerową liczbę zespoloną) taki, że funkcja ℝ in ℝ, która wiąże się z t modułem P ( z 0 + tc ), jest dla każdego t > 0 całkiem mała, ściśle mniejsza niż jego wartość w 0 . Ta sprzeczność pozwala nam podsumować.
Dowód ten jest zatem zasadniczo oparty na fakcie, że ℝ ma własność górnej granicy .
Szczegółowa demonstracjaPokażmy najpierw lemat , który odpowiada bardzo szczególnemu przypadkowi równania wielomianowego.
Przeanalizujmy teraz przypadek ogólny.
Istnieje zatem zespół z 0 taki, że | P ( z 0 ) | = m . Oznaczmy przez P ( X ) wielomian P ( z 0 + X ) . Jest to wielomian tego samego stopnia co P , którego moduł przyjmuje w punkcie 0 jego minimalną wartość m . Wprowadzamy notacje dla jego współczynników:
.Tutaj k oznacza najmniejszy ściśle dodatni indeks taki, że współczynnik b k nie jest równy zero. Ten indeks istnieje, ponieważ wielomian nie jest stały.
Lemat pozwala nam ustalić następującą tezę, która kończy dowód.
Bardzo zwięzły dowód oparty jest na twierdzeniu Liouville'a w analizie zespolonej . W tym celu rozważymy wielomian P ze złożonymi współczynnikami, stopnia co najmniej równego 1. Przypuszczamy, że nie ma on pierwiastka: dlatego funkcja wymierna 1 / P jest liczbą całkowitą i ograniczoną (ponieważ dąży do 0 do nieskończoności, zgodnie z poprzednią demonstracją); twierdzenie Liouville'a, dedukujemy, że jest ono stałe, co jest sprzeczne z założeniem co do stopnia, i w ten sposób dowodzimy przez sprzeczność, że istnieje co najmniej jeden pierwiastek z P .
Inny zwięzły dowód opiera się na twierdzeniu Rouché w analizie zespolonej . Rozważamy wielomian p o wartościach w określonych przez:
zakładając, że współczynnik a n jest niezerowy. Wystarczy wówczas porównać ten wielomian z a n Z n na kole wystarczająco duży wywnioskować, stosując twierdzenie Rouche jest, że p ma tyle zer (o krotności) jak w n Z n , czyli - powiedzmy n .
Trzeci zwięzły dowód opiera się na twierdzeniu całkowym Cauchy'ego w analizie zespolonej . Przez absurd przypuśćmy, że dla wszystkich z ∈ ℂ , P ( z ) ≠ 0 i rozważmy następującą funkcjęP ' ( z )P ( z )który jest holomorficzny na ℂ . Z twierdzenia całkowego Cauchy'ego mamy
,Jednak wykonując dzielenie wielomianowe P ' ( z )P ( z ), otrzymujemy po odwróceniu sumy i całki na bezwzględnie zbieżnym szeregu, że
Istnieje zatem sprzeczność i wielomian P ma co najmniej jeden pierwiastek.
Ponieważ P jest ciągłe, a odwzorowanie P jest właściwe, jego obraz Im( P ) jest zamknięty, więc donc \Im( P ) jest otwarty . Ponadto, zgodnie z lokalnym twierdzeniem o inwersji ,
P ({ z ∈ ℂ | P ' ( z ) ≠ 0}) jest otwarte; jego przecięcie ze zbiorem R : = ℂ \ P ( { z ∈ ℂ | P ' ( z ) = 0} ) wartości , które albo nie są osiągane przez P , albo osiągane ale nie krytyczne , jest zatem otwarciem R , komplementarny w R poprzedniego otwartego.
Teraz (ponieważ P' ma tylko skończoną liczbę pierwiastków) R jest skończone, a zatem połączone . Jedna z dwóch otwartych jest zatem pusta. Nie może być drugim, ponieważ jest równe Im ( P ) \ P ({ z ∈ ℂ | P ' ( z ) = 0}) .
Dlatego ℂ \ Im ( P ) = ∅ , co implikuje Im ( P ) = ℂ . Mamy zatem 0 ∈ Im ( P ) i dlatego istnieje liczba z ∈ ℂ taka , że P ( z ) = 0 .
Homotopia pomiędzy dwiema pętlami to ciągła deformacja pozwalająca na przejście od pierwszej koronki do drugiej. Szczegółowy artykuł pokazuje, że jeśli P jest wielomianem stopnia n i jeśli ρ jest wystarczająco dużą liczbą rzeczywistą, to odchylenie α określone na jednostkowym okręgu przez:
okrąż okrąg n razy. Gdyby wielomian P nie miał pierwiastka, ta koronka byłaby w pewnym momencie homotopiczna. Ta sprzeczność jest podstawą demonstracji zaproponowanej w szczegółowym artykule.
Nie ma czysto algebraicznego dowodu na „podstawowe twierdzenie algebry”, ponieważ w tym czy innym miejscu z konieczności interweniują względy ciągłości. Kwestia ta została w pełni wyjaśniona dopiero w 1927 roku przez Emila Artina i Otto Schreiera z teorią ciał uporządkowanych i zamkniętych ciał rzeczywistych . Autorzy doprowadziły do następujących algebry twierdzenia „przypisać” przez N. Bourbakiego do Eulera i Lagrange'a :
Twierdzenie — dla dowolnego pola przemiennego K następujące dwie właściwości są równoważne:
Mówimy wtedy, że K jest „ciałem maksymalnie uporządkowanym”, a nawet „ciałem rzeczywistym zamkniętym”.
Dowód 1 ⇒ 2Zauważmy najpierw, że dla dowolnego całkowicie uporządkowanego pola K , –1 nie jest sumą kwadratów w K (w szczególności K ma charakterystykę 0, a zatem nieskończoną ). Pozostaje wykazać, czy K spełnia nawet (1.a) i (1.b), to K ( i ) jest algebraicznie domknięta.
Dla pola ℝ spełnione są warunki (1.a) i (1.b), zgodnie z dwoma twierdzeniami analizy wyprowadzonymi z twierdzenia o wartościach pośrednich . W konsekwencji ciało ℂ kompleksów, otrzymane przez dodanie do niego i = √ –1 , jest algebraicznie domknięte.
UwagiW czasie François Viète ( 1540 - 1603 ) , dosłowne rachunek właśnie został odkryty przez to matematyka, a także stosunków między współczynnikami i korzeni . Zauważa też, że zawsze można skonstruować równanie mające dokładnie n danych pierwiastków. W 1608 roku Peter Roth twierdził, że liczba pierwiastków równania wielomianowego jest ograniczona jego stopniem ( Remmert 1998 ) . Przez „korzeń” niekoniecznie miał na myśli pierwiastki postaci a + i b . Pierwsza poprawna oświadczenie wydane przez Albert Girard ( 1595 - 1632 ) , który w 1629 roku , w swoim traktacie zatytułowanym wynalazków Nouvelles en l'Algebre ( Dahan i Peiffer 1986 , str. 248). ogłasza, że:
„ Wszystkim równaniom algebry podano tyle rozwiązań, ile pokazuje denominacja największej ilości. "
Pomysł ten rozpuszcza się w Geometry of Kartezjusza ( 1596 - 1650 ) , który po raz pierwszy używa terminu wyimaginowany , aby zakwalifikować się korzenie: ”... czasami tylko urojone, to znaczy, że zawsze można sobie wyobrazić, jak wiele jak powiedziałem w każdym równaniu, ale że czasami nie ma ilości odpowiadającej temu, co sobie wyobrażamy… ” . Ze swojej strony Albert Girard nazwał je niewytłumaczalnymi. Ich zrozumienie jest wciąż niewystarczające, aby nadać sens idei demonstracji. Liczba urojona jest tutaj liczbą fikcyjną, która dla wielomianów wyższych stopni odgrywałaby taką samą rolę jak symbol √-1 sformalizowany przez Bombelliego dla równań małego stopnia.
W tamtym czasie i przez ponad sto lat tego typu wypowiedzi nie podlegały demonstracji, a udowodnienie definicji, a co gorsza wyobraźni , nie miało najmniejszego sensu ( Dahan i Peiffer 1986 , s. 248-249) .
Potrzeba ponad wieku, aby przejść od liczb urojonych , fikcyjnych lub niemożliwych Girarda i Kartezjusza do znanych nam liczb zespolonych, to znaczy postaci a + i b , gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Stopniowo matematycy oswajają liczby zespolone. Korzystanie z rozwoju seryjny , Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 - 1716 ) daje jednoznacznego znaczenia równości BOMBELLI za ( Dahan i Peiffer 1986 , str. 253) :
Posługiwanie się jednostką urojoną i staje się coraz częstsze i to w kontekstach bardzo odmiennych od teorii równań. Matematyk Abraham de Moivre przedstawia wzór noszący jego imię i rzuca światło na związek między trygonometrią a liczbami zespolonymi. Wreszcie słynna formuła Eulera e iπ + 1 = 0, opublikowana w 1748 roku , przekonuje największych sceptyków.
W 1746 r. Jean le Rond D'Alembert wyraził potrzebę zademonstrowania podstawowego twierdzenia algebry . Jego motywacja nie jest w żaden sposób algebraiczna, chce wykazać istnienie rozkładu na proste elementy dowolnej funkcji wymiernej w celu uzyskania prymitywów. Jeśli świat matematyczny natychmiast zaakceptuje słuszność potrzeby wykazania, podejście D'Alemberta nie jest atrakcyjne. Jego proces opiera się na zbieżności sekwencji i rodzin krzywych, podejściu czysto analitycznym. Jest również niekompletny i zakłada bez dowodu, że funkcja ciągła na zwartej i o rzeczywistych wartościach osiąga swoje minimum. Zakłada również, że udowodniono wynik zbieżności szeregów, znany obecnie pod nazwą twierdzenia Puiseux . Wielkie nazwiska jego czasów chciały algebraicznego dowodu o tej samej naturze co twierdzenie.
Dowód D'Alemberta został zrewidowany przez Arganda w 1814 roku. Ten ostatni zastąpił twierdzenie Puiseux prostą nierównością, znaną dziś jako nierówność Arganda . Ale dowodów pozostaje niekompletny aż do połowy XIX th wieku.
Dwie próby udowodnienia są dziełem Leonhard Euler ( 1707 - 1783 ) i Joseph Louis Lagrange ( 1736 - 1813 ) . Podążają za sobą, a później Lagrange ma na celu wypełnienie pewnych luk pozostawionych przez Eulera.
Dowody wykorzystują fakt, że jeśli stopień n wielomianu o rzeczywistych współczynnikach jest nieparzysty, to „oczywiste” jest, że wielomian dopuszcza pierwiastek rzeczywisty, ponieważ jeśli ilość jest wystarczająco duża, obraz przez wielomian tej wielkości i jej przeciwne są przeciwne znaki. Będziemy musieli poczekać, aż praca Bernarda Bolzano z 1816 r. uzyska dowód rygorystycznego twierdzenia o wartości pośredniej i aby ten wynik nie był już „oczywisty”.
Jeśli n nie jest już nieparzyste, ale ma postać 2 p q z q nieparzystym, celem Eulera i Lagrange'a jest wykazanie, przez indukcję na p (por. powyżej, Zamknięte pole rzeczywiste ), że wszystkie pierwiastki urojone w sens Girarda lub Kartezjusza, są złożone w tym sensie, że są kombinacjami liniowymi o rzeczywistych współczynnikach 1 oraz i . Dowód Eulera jest rygorystyczny do stopnia 4, ale ledwo zarysowane w ogólnym przypadku, że od Lagrange jest oparta na racjonalnych funkcje niezmiennicze przez co obecnie nazywa się grupa z permutacji z korzeni ( Dahan i Peiffer 1986 , str. 250) . Inne próby o podobnym charakterze to prace Focenexa i Laplace'a .
Carl Friedrich Gauss napisał pracę doktorską na ten temat w 1799 roku . Krytykuje luźne podejście swoich poprzedników, z wyjątkiem d'Alemberta, który posługuje się rozumowaniem analitycznym o innym charakterze (ale też mającym luki). Wszystkie zakładają istnienie n pierwiastków i pokazują, że te pierwiastki są liczbami zespolonymi. Znaczenie, jakie należy nadać tym n pierwiastkom, powoduje zakłopotanie Gaussa, który wyraża się w ten sposób: „Podstawową hipotezą dowodu, aksjomatem, jest to, że każde równanie ma faktycznie n możliwych lub niemożliwych pierwiastków. Jeśli rozumiemy przez realne możliwości i przez niemożliwe, złożone , ten aksjomat jest niedopuszczalny, ponieważ właśnie o to chodzi w przypadku wykazania. Ale jeśli rozumiemy przez możliwe rzeczywiste i złożone ilości oraz przez niemożliwe wszystko, czego brakuje, aby mieć dokładnie n pierwiastków, ten aksjomat jest do przyjęcia. Niemożliwe oznacza zatem ilość, która nie istnieje w całej domenie wielkości ( Dahan i Peiffer 1986 , s. 252) . „ Słabością jest to, że jeśli nie istnieją i że całe pole ilości, czy rozsądne jest obliczanie ich tak, jak Euler i Lagrange?
Pierwszy dowód Gaussa, przedstawiony w 1799 roku i oparty na zarysie d'Alemberta, pozostaje niekompletny. W tamtym czasie nie wykazano istnienia minimum osiąganego przez funkcję ciągłą określoną na zwięźle. W 1814 roku szwajcarski amator o nazwisku Jean-Robert Argand przedstawił dowód, który był zarówno solidny, jak i prosty, oparty na zarysie d'Alemberta. Dowód Cauchy'ego w jego Analizie Cours (w) jest inspirowany, przynajmniej pośrednio, dowodem Arganda.
Według Remmerta ( Remmert 1998 ) , ten pierwszy dowód Gaussa jest pięknym dowodem geometrycznym, ale nadal pozostaje niekompletny. Zera są interpretowane jako przecięcia dwóch rzeczywistych krzywych algebraicznych Re P = 0 i Im P = 0. W nieskończoności te krzywe mają 2 n gałęzi, które zmieniają się (łatwa część dowodu). Niestety wnioskowanie o istnieniu n punktów przecięcia liczonych z wielokrotnością nie jest bezpośrednim zastosowaniem twierdzenia o wartości pośredniej. Poda go dopiero w 1920 r . Ostrowski .
Drugi dowód Gaussa z 1815 r. odwołuje się do podejścia Eulera i Lagrange'a. Tym razem zamienia korzenie na nieokreślone , co daje rygorystyczny dowód, ale późniejszy niż Arganda. Jedyne dwa założenia przyjęte przez Gaussa to: (i) każde równanie algebraiczne nieparzystego stopnia ma pierwiastek rzeczywisty; (ii) każde równanie kwadratowe ze złożonymi współczynnikami ma dwa złożone pierwiastki.
Trzeci dowód Gaussa pochodzi z 1816 r. Jest to właściwie wynik lokalizacji zer funkcji wielomianowych, których uogólnieniem (w 1862 r.) na funkcje holomorficzne jest twierdzenie Rouché .
Czwarty dowód Gaussa pochodzi z 1849 roku. Chodzi o wariant pierwszego dowodu, w którym Gauss rozważa tym razem wielomiany o złożonych współczynnikach.
Historia kończy się wypełnieniem luki w demonstracji Lagrange'a. Évariste Galois ( 1811 - 1832 ) ponownie wykorzystuje pomysły Lagrange'a z bardziej innowacyjnego punktu widzenia, który jest prefiguracją współczesnej algebry. Idee te, podjęte przez Ernsta Kummera i Leopolda Kroneckera , prowadzą do istnienia pola zawierającego wszystkie pierwiastki wielomianu i to niezależnie od jakiejkolwiek konstrukcji na liczbach zespolonych. Ciało to nazywane jest ciałem dekompozycji , jego użycie pozwala na wznowienie idei Lagrange'a, w całkowicie rygorystyczny sposób ( Dahan i Peiffer 1986 , s. 252) .
Remmert ( Remmert 1998 , s. 100) przypisuje tę aktualizację dowodu Lagrange'a Adolfowi Kneserowi . Współczesna wersja autorstwa Artina , wykorzystująca teorię Galois i pierwsze twierdzenie Sylowa , dowodzi, że jedynymi skończonymi rozszerzeniami ℝ są ℝ i ℂ.
Nawet uzupełniony i poprawiony dowód D'Alemberta i d'Arganda nie jest konstruktywny: wykorzystuje fakt, że moduł wielomianu osiąga swoje minimum, nie precyzując, w którym momencie. Pożądana byłaby jednak możliwość zbliżenia się do pierwiastków wielomianów, na przykład dzięki dowodowi wyjaśniającemu sposób pokazywania pierwiastka lub ciągu liczb zespolonych, który jest zbieżny do pierwiastka. Twierdzenia o lokalizacji na zerach funkcji holomorficznych można wydedukować z twierdzenia o resztach ze względu na Cauchy'ego, ale nie są one naprawdę skuteczne: trudno jest zaimplementować algorytm aproksymacyjny oparty na nich (i są one bezużyteczne w praktyce bez potężnych komputerów); dokładniejszą analizę tych metod można znaleźć w tej części artykułu Hipoteza Riemanna , ponieważ tylko one mogą być użyte do zlokalizowania zer funkcji .
Według Remmerta, pierwszą znaczącą próbę zaproponował Weierstrass w 1859 roku. Chociaż proponowana metoda nie działa dobrze, pomysł jest interesujący: jest iteracją funkcji.
.Daje to sekwencję, która, jeśli jest zbieżna, zbiega się do zera P . Pomysł ten jest wykorzystywany na przykład do pokazania twierdzenia o punkcie stałym dla funkcji kontrakcyjnych . Jednak zbieżność nie jest tutaj automatyczna: zbiór wartości x, dla których iterowany ciąg jest ograniczony, nie jest ogólnie ℂ; nawet ograniczając się do ograniczonej dziedziny, często zdarza się, że sekwencja rozbiega się niemal w każdym punkcie wyjścia; te, dla których pozostaje ona ograniczona, tworzą ponadto jeden z najbardziej znanych „ fraktali ”: zbiór Julii (wypełniony) związany z P , który często jest pyłem Cantora , o zerowym wymiarze Hausdorffa ; tak jest na przykład w przypadku wielomianu P ( X ) = - X 2 + X - 1.
Z praktycznego punktu widzenia inny ciąg, częściej zbieżny, podaje metoda Müllera ; na każdym kroku prosi o obliczenie pierwiastka kwadratowego (kompleks).
Jeżeli pierwiastki badanego wielomianu P są proste (co jest warunkiem ogólnym ), można zastosować metodę Newtona . Polega na iteracji funkcji
który z x kojarzy „punkt zniesienia stycznej P w x ”. Ponownie, jeśli wynik jest zbieżny, granica wynosi zero P , a tym razem zbieżność jest zapewniona, jeśli wybrana wartość początkowa jest wystarczająco blisko pierwiastka P .
Ważną poprawkę dokonali Morris Hirsch i Stephen Smale w 1979 r. Polega ona na iteracji funkcji
gdzie funkcja H jest zdefiniowana jako funkcja wielomianu P wzorem
I są współczynniki P i C jest racjonalną funkcją zmiennej rzeczywistej. Hirsch i Smale wykazali, że otrzymana sekwencja z k zawsze jest zbieżna do zera wielomianu P , niezależnie od wartości początkowej z 0 .
Weierstrassa zaproponowano również w 1891 iteracyjny sposób, znany obecnie jako metody Durand-Kerner (Pl) , które są bardziej wydajne zbieżny (w dobrych warunkach) nie do jednego pierwiastka, lecz w kierunku zestawu z n pierwiastki : bliskim którego iteracja ma korzenie jako punkt stały.