Łuk styczny

Funkcja styczna łuku Graficzne przedstawienie funkcji stycznej łuku.

Ocena	${\ Displaystyle \ arctan (x)}$
Odwrotność	${\ Displaystyle \ tan (x)}$ pewnie ${\ Displaystyle \ left] - {\ Frac {\ pi} {2}}, {\ Frac {\ pi} {2}} \ right [}$
Pochodna	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$
Prymitywy	${\ Displaystyle x \, \ arctan x - {\ Frac {1} {2}} \ ln \ lewo (1 + x ^ {2} \ prawo) + C}$

Główna charakterystyka

Zestaw definicji	$\ mathbb {R}$
Zestaw ilustracji	${\ Displaystyle \ left] - {\ Frac {\ pi} {2}}, {\ Frac {\ pi} {2}} \ right [}$
Parytet	dziwny

Wartości specjalne

Wartość zerowa	0
Limit w + ∞	${\ frac \ pi 2}$
Limit w -∞	${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}$

Cechy szczególne

Asymptoty	${\ displaystyle y = {\ frac {\ pi} {2}}}$ w w $+ \ infty$ ${\ Displaystyle y = - {\ Frac {\ pi} {2}}}$ $- \ infty$

W matematyce , styczna łuku z liczby rzeczywistej jest wartością o zorientowanych pod kątem , którego tangens jest równy tej liczby.

Funkcja , która kojarzy wartość jego tangens w radianach z dowolnej liczby rzeczywistej jest odwrotnością tego ograniczenia z trygonometrycznych funkcji stycznej do przedziału . Notacja to arctan lub arctan (znajdujemy również atan , arctg w notacji francuskiej; atan lub tan −1 w notacji anglosaskiej, przy czym ten ostatni można pomylić z notacją odwrotną ( $1 / tan$ )). $\ left] - {\ frac {\ pi} 2}, {\ frac {\ pi} 2} \ right [$

Dla wszystkich prawdziwych $x$ :

{\ Displaystyle y = \ arctan x \ iff \ tan y = x {\ tekst {i}} y \ w \ lewo] - {\ Frac {\ pi} {2}}, {\ Frac {\ pi} {2 }} \ dobrze [}

W kartezjańskim układzie współrzędnych ortonormalnym do płaszczyzny krzywą reprezentującą funkcję styczną łuku uzyskuje się z krzywej reprezentującej ograniczenie funkcji stycznej do przedziału przez odbicie osi linii równania $y = x$ . $\ left] - {\ frac {\ pi} 2}, {\ frac {\ pi} 2} \ right [$

Parytet

Funkcja arctan jest nieparzysta , tj. (Dla wszystkich rzeczywistych $x$ ) ${\ Displaystyle \ arctan (-x) = - \ arctan x}$ .

Pochodna

Jako pochodną wzajemnej zależności , $arctg$ to rozróżnialne i spełnia: ${\ Displaystyle \ arctan '(x) = {\ Frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$ .

Rozwój seryjny Taylora

Rozszerzeniem szeregu Taylora funkcji stycznej łuku jest:

{\ displaystyle \ forall x \ in [-1,1] \ quad \ arctan x = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ Frac {x ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = x - {\ frac {1} {3}} x ^ {3} + {\ frac {1} {5}} x ^ {5} - {\ frac {1} {7}} x ^ {7} + \ cdots}

Ta cała seria zbiega się w $arctan,$ gdy $| x | \leq 1$ i $x \neq \pm i$ . Jednak funkcja styczna łuku jest określona na wszystkich ℝ (a nawet - por. § „Funkcja odwrotna” - w dziedzinie płaszczyzny zespolonej zawierającej jednocześnie ℝ i zamknięty dysk jednostkowy pozbawiony dwóch punktów $\pm i$ ).

Zobacz także Funkcja hipergeometryczna # Przypadki specjalne .

Demonstracja

Cała seria

\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {2k + 1}}

wynosi zero w 0, jego promień zbieżności jest wart 1, a jego pochodna (na otwartym dysku jednostkowym ) jest równa szeregowi geometrycznemu

{\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- x ^ {2}) ^ {k} = {\ Frac {1} {1 + x ^ {2}}} = \ arctan '( x)}

Dlatego pokrywa się na tym dysku z funkcją $arctanu$ . Co więcej, zgodnie z dowodem testu Dirichleta (przez sumowanie częściowe ), cała ta seria zbiega się równomiernie na zamkniętym dysku jednostkowym pozbawionym arbitralnie małego sąsiedztwa $\pm i$ . W $\pm i$ rozbiega się jak szereg harmoniczny .

Funkcja $arctan$ może być używana do obliczania przybliżeń $π$ ; najprostsza formuła , zwana wzorem Leibniza , to przypadek $x = 1$ powyższego rozwinięcia szeregu:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {4}} = 1 - {\ Frac {1} {3}} + {\ Frac {1} {5}} - {\ Frac {1} {7}} + \ ldots}

Równanie funkcjonalne

Możemy wydedukować $arctan (1 / x )$ z $arctan x$ i odwrotnie, korzystając z następujących równań funkcyjnych :

{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ arctan {\ Frac {1} {x}} + \ arctan x = {\ Frac {\ pi} {2} }}

;

{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {-} ^ {*} \ quad \ arctan {\ Frac {1} {x}} + \ arctan x = - {\ Frac {\ pi} {2 }}}

. Demonstracje

Udowodnijmy pierwsze równanie (drugie jest z niego wywnioskowane przez niejednorodność lub jest udowodnione w ten sam sposób).

Pierwsza metoda polega na sprawdzeniu, czy pochodna wynosi zero.

W rzeczywistości mamy:

{\ Displaystyle \ arctan 'x = {\ Frac {1} {1 + x ^ {2}}}}

{\ Displaystyle \ lewo (\ arctan {\ Frac {1} {x}} \ prawej) '= {\ Frac {-1} {x ^ {2}}} ~ {\ Frac {1} {1 + {\ frac {1} {x ^ {2}}}}} = {\ frac {-1} {1 + x ^ {2}}}}

w związku z tym

{\ Displaystyle \ lewo (\ arctan {\ Frac {1} {x}} + \ arctan x \ prawej) '= 0}

Wnioskujemy, że $arctan (1 / x ) + arctan x$ jest stała na $] 0, + \infty [$ i łatwo znajdujemy wartość tej stałej, obliczając na przykład wartość przyjmowaną przy $x = 1$ .

Drugą metodą jest zauważenie, że dla wszystkich $x > 0$ , jeśli $θ$ oznacza arcus tangens $x,$ to

{\ frac {1} {x}} = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} = \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) \ qquad { \ text {et}} \ qquad 0 <{\ frac {\ pi} {2}} - \ theta <{\ frac {\ pi} {2}}, \ quad {\ text {hence}}

{\ Displaystyle \ arctan {\ Frac {1} {x}} = {\ Frac {\ pi} {2}} - \ theta = {\ Frac {\ pi} {2}} - \ arctan x}

Trzecią metodą jest wyprowadzenie tego wzoru z niezwykłego wzoru poniżej, powodując, że $y$ dąży do $1 / x$ przy niższych wartościach.

Funkcja wzajemna

Z definicji funkcja stycznej łuku jest funkcją odwrotną ograniczenia funkcji stycznej do przedziału : $\ left] - {\ frac {\ pi} 2}, {\ frac {\ pi} 2} \ right [$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad y = \ arctan x \ iff \ tan y = x {\ tekst {i}} y \ in \ lewo] - {\ Frac {\ pi} {2 }}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [}$ .

Zatem dla wszystkich rzeczywistych $x$ , $tan (arctan x ) = x$ . Lecz równanie $arctg (tg y ) = y$ jest zaznaczona jedynie dla $istnieje$ między i . ${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac \ pi 2}$

W płaszczyźnie zespolonej, funkcja styczna bijective o $] -π / 2, π / 2 [+ I$ ℝ w ℂ pozbawiony dwóch pół linii $] -\infty -1] i$ i $[1 + \infty [I$ z l ' czysta urojona oś , zgodnie z jej powiązaniem z hiperboliczną funkcją styczną i właściwościami tej ostatniej. Dlatego powyższa definicja arctanu rozciąga się na: ${\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {C} \ setminus {\ duży (} {\ rm {i}} \ lewo (] - \ infty, -1] \ cup [1, + \ infty [\ po prawej) {\ big)} \ quad y = \ arctan x \ iff \ tan y = x {\ text {et}} y \ in \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [+ {\ rm {i}} ~ \ mathbb {R}}$ .

Złożony logarytm

Z założenia funkcja arcus tangens jest powiązana z funkcją argumentu stycznego hiperbolicznego i dlatego jest wyrażona, podobnie jak ona, przez logarytm zespolony :

{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {C} \ setminus \ lewo ({\ rm {i}} \ lewo (] - \ infty, -1] \ cup [1, + \ infty [\ prawej) \ prawej ) \ quad \ arctan x = {\ frac {1} {\ rm {i}}} \ operatorname {artanh} ({\ rm {i}} x) = {\ frac {1} {2 {\ rm {i }}}} \ ln {\ frac {1 + {\ rm {i}} x} {1 - {\ rm {i}} x}} = {\ frac {\ ln (1 + {\ rm {i} } x) - \ ln (1 - {\ rm {i}} x)} {2 {\ rm {i}}}}}

Integracja

Prymitywny

Funkcja pierwotna funkcji stycznej łuku, która znika przy 0, uzyskuje się dzięki całkowaniu przez części :

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {x} \ arctan t \; \ mathrm {d} t = x \, \ arctan x - {\ Frac {1} {2}} \ ln \ lewo (1 + x ^ {2} \ right)}

Korzystanie z funkcji stycznej łuku

Funkcja stycznej łuku odgrywa ważną rolę w integracji wyrażeń formy

{\ frac {1} {ax ^ {2} + bx + c}}

Jeżeli wyróżnik $D = B 2 - 4 AC$ jest dodatni lub zerowy, integracja jest możliwe powrót do częściowego frakcji . Jeśli dyskryminator jest ściśle negatywny, możemy go zastąpić

u = {\ frac {2ax + b} {\ sqrt {| D |}}}

co daje wyrażenie do integracji

{\ frac {4a} {| D |}} ~ {\ frac {1} {1 + u ^ {2}}}.

Zatem całka jest

{\ Displaystyle {\ Frac {2} {\ sqrt {| D |}}} \ arctan {\ Frac {2ax + b} {\ sqrt {| D |}}}}

Niezwykła formuła

Jeśli $xy \neq 1$ , to:

{\ Displaystyle \ arctan x + \ arctan y = \ arctan {\ Frac {x + y} {1-xy}} + k \ pi}

lub

{\ Displaystyle k = {\ rozpocząć {przypadków} 0 i {\ tekst {si}} xy <1, \\ 1 i {\ tekst {si}} xy> 1 {\ tekst {z}} x {\ tekst { (i}} y {\ text {)}}> 0, \\ - 1 & {\ text {si}} xy> 1 {\ text {with}} x {\ text {(i}} y {\ text {)}} <0. \ End {cases}}}

Uwagi i odniesienia

(de) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku niemieckim zatytułowanego „ Arkustangens und Arkuskotangens ” ( patrz lista autorów ) .

Ekstrakty z ISO 31-11 standardem do użytku przez CPGEs , str. 6 .
Oficjalny Program Edukacji Narodowej ( MPSI , 2013), s. 6 .
Aby zapoznać się z demonstracją, zobacz na przykład rozdział „Funkcja Arctan” na Wikiwersytecie .
Znany angielski jako „szeregowy Grzegorz ” miała rzeczywiście już odkryta przez indyjski matematyk Madhawa z XIV -tego wieku . Zobacz serię artykułów Madhava (w), aby uzyskać więcej informacji.

Zobacz też

Powiązane artykuły

Link zewnętrzny

(en) Eric W. Weisstein , „ Inverse Tangent ” , na MathWorld